高考总复习基本初等函数1第二章 22.docx
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高考总复习基本初等函数1第二章22
§2.2 函数的单调性
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f (x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f (x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f (x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f (x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有f (x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M (1)对于任意的x∈I,都有f (x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f (x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考 1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论? 提示 对∀x1,x2∈D,x1≠x2, >0⇔f (x)在D上是增函数;对∀x1,x2∈D,x1≠x2,(x1-x2)·[f (x1)-f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数.减函数类似. 2.写出函数y=x+ (a>0)的增区间. 提示 (-∞,- ]和[ ,+∞). 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f (x),有f (-1) (2)函数y=f (x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( × ) (3)函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) (4)所有的单调函数都有最大值和最小值.( × ) 题组二 教材改编 2.如图是函数y=f (x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是( ) A.f (x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数 B.f (x)在区间(-1,3)上的最大值为3,最小值为-2 C.f (x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值3 D.当直线y=t与f (x)的图象有三个交点时-1 答案 C 3.函数y= 在[2,3]上的最大值是______. 答案 2 4.若函数f (x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是________. 答案 (-∞,2] 解析 由题意知,[2,+∞)⊆[m,+∞),∴m≤2. 题组三 易错自纠 5.函数f (x)= (-2x2+x)的单调增区间是________;f (x)的值域是________. 答案 [3,+∞) 6.函数y=f (x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a+1) 答案 [-1,1) 解析 由条件知 解得-1≤a<1. 7.设函数f (x)= 是单调函数.则a的取值范围是________;若f (x)的值域是R,则a=________. 答案 (0,2] 2 解析 当x≥1时,f (x)= =x+ ,则f′(x)=1- ≥0恒成立, ∴f (x)在[1,+∞)上单调递增,∴f (x)min=f (1)=2, 当x<1时,f (x)=ax, 由于f (x)是单调函数, ∴f (x)=ax在(-∞,1)上也单调递增,且ax≤2恒成立, ∴ 故a的取值范围为(0,2], ∵当x≥1时,f (x)≥2, 由f (x)的值域是R,可得当x=1时,ax=2, 故a=2. 确定函数的单调性 命题点1 求具体函数的单调区间 例1 (1)(2019·郴州质检)函数f (x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( ) A.(-∞,-2)B.(-∞,1) C.(1,+∞)D.(4,+∞) 答案 D 解析 由x2-2x-8>0,得f (x)的定义域为{x|x>4或x<-2}. 设t=x2-2x-8,则y=lnt为增函数. 要求函数f (x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内). ∵函数t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减, ∴函数f (x)的单调递增区间为(4,+∞). 故选D. (2)设函数f (x)= g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是__________. 答案 [0,1) 解析 由题意知g(x)= 该函数图象如图所示,其单调递减区间是[0,1). 命题点2 判断或证明函数的单调性 例2 讨论函数f (x)= (a>0)在(-∞,1)上的单调性. 解 方法一 ∀x1,x2∈(-∞,1),且x1 f (x)=a =a , f (x1)-f (x2)=a -a = ,由于x1 ∴x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时,f (x1)-f (x2)>0, 即f (x1)>f (x2), ∴函数f (x)在(-∞,1)上单调递减. 方法二 f′(x)= =- , ∵(x-1)2>0,a>0,∴f′(x)<0, 故a>0时,f (x)在(-∞,1)上是减函数. 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法: 利用定义判断. (2)导数法: 适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. (3)图象法: 由图象确定函数的单调区间需注意两点: 一是单调区间必须是函数定义域的子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)性质法: 利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时,需先确定简单函数的单调性. 跟踪训练1 (1)(2019·北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y= B.y=2-x C.y= D.y= 答案 A 解析 y= = ,y=2-x= x, y= ,y= 的图象如图所示. 由图象知,只有y= 在(0,+∞)上单调递增. (2)函数f (x)=|x-2|x的单调递减区间是________. 答案 [1,2] 解析 f (x)= 画出f (x)的大致图象(如图所示), 由图知f (x)的单调递减区间是[1,2]. (3)函数f (x)= (6x2+x-1)的单调增区间为________. 答案 解析 由6x2+x-1>0得,f (x)的定义域为 . 由复合函数单调性知f (x)的增区间即y=6x2+x-1的减区间(定义域内), ∴f(x)的单调增区间为 . 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例3 (1)若函数f (x)=x2,设a=log54,b= ,c= ,则f (a),f (b),f (c)的大小关系是( ) A.f (a)>f (b)>f (c)B.f (b)>f (c)>f (a) C.f (c)>f (b)>f (a)D.f (c)>f (a)>f (b) 答案 D 解析 因为函数f (x)=x2在(0,+∞)上单调递增,而0< =log53 ,所以f (b) (2)已知定义在R上的函数f (x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数.记a=f (log22),b=f (log24),c=f (2m),则a,b,c的大小关系为( ) A.a C.a 答案 B 解析 ∵定义在R上的函数f (x)=2|x-m|+1(m∈R)为偶函数,∴m=0,∴f (x)=2|x|+1,∴当x∈(-∞,0)时,f (x)是减函数,当x∈(0,+∞)时,f (x)是增函数.∵a=f (log22)=f (1),b=f (log24)=f (2),c=f (2m)=f (0),∴a,b,c的大小关系为c 命题点2 求函数的最值 例4 (1)函数f (x)= x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 答案 3 解析 由于y= x在R上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x)在[-1,1]上单调递减,故f (x)在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3. (2)(2020·深圳模拟)函数y= 的最大值为________. 答案 解析 令 =t,则t≥2, ∴x2=t2-4,∴y= = , 设h(t)=t+ ,则h(t)在[2,+∞)上为增函数, ∴h(t)min=h (2)= ,∴y≤ = (x=0时取等号). 即y最大值为 . 命题点3 解函数不等式 例5 (1)已知函数f (x)= 若f (2-x2)>f (x),则实数x的取值范围是________. 答案 (-2,1) 解析 根据函数f (x)的图象可知,f (x)是定义在R上的增函数.∴2-x2>x,∴-2 (2)已知函数f (x)=lnx+2x,若f (x2-4)<2,则实数x的取值范围是______________. 答案 (- ,-2)∪(2, ) 解析 因为函数f (x)=lnx+2x在定义域(0,+∞)上单调递增,且f (1)=ln1+2=2,所以由f (x2-4)<2得,f (x2-4) (1),所以0 . 命题点4 求参数的取值范围 例6 (1)已知f (x)= 是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是( ) A.(0,1)B. C. D. 答案 C 解析 由f (x)是减函数,得 ∴ ≤a< ,∴实数a的取值范围是 . (2)已知函数f (x)= 若f (x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为________. 答案 (1,2] 解析 由题意,得12+ a-2≤0,则a≤2,又y=ax-a(x>1)是增函数,故a>1,所以a的取值范围为1 (3)已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]是减函数,则实数a的取值范围是________. 答案 (1,2) 解析 设u=2-ax, ∵a>0且a≠1, ∴函数u在[0,1]上是减函数. 由题意可知函数y=logau在[0,1]上是增函数, ∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0, ∴ 得a<2. 综上得1 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)求最值. (3)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域. (4)利用单调性求参数. ①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较. ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. ③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值. 跟踪训练2 (1)(2019·唐山模拟)已知函数f (x)为R上的减函数,则满足f (1)的实数x的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(0,1) 解析 因为f (x)在R上为减函数,且f (1),所以 >1,即0<|x|<1,所以0 (2)函数f (x)= 的最大值为________. 答案 2 解析 当x≥1时,函数f (x)= 为减函数,所以f (x)在x=1处取得最大值,为f (1)=1;当x<1时,易知函数f (x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f (0)=2. 故函数f (x)的最大值为2. (3)已知函数y= (6-ax+x2)在[1,2]上是增函数,则实数a的取值范围为________. 答案 [4,5) 解析 设u=6-ax+x2, ∵y= u为减函数, ∴函数u在[1,2]上是减函数, ∵u=6-ax+x2,对称轴为x= , ∴ ≥2,且u>0在[1,2]上恒成立. ∴ 解得4≤a<5, ∴实数a的取值范围是[4,5). 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2)B.y=- C.y= xD.y=x+ 答案 A 解析 函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数f (x)=1- ( ) A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增 C.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减 答案 B 解析 f (x)图象可由y=- 图象沿x轴向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得到,如图所示. 3.(2019·沧州七校联考)函数f (x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( ) A.(3,+∞)B.(1,+∞) C.(-∞,1)D.(-∞,-1) 答案 A 解析 由已知易得 即x>3, f (x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)=log0.5(x+1)(x-3),x>3, 令t=(x+1)(x-3),则t在[3,+∞)上单调递增, 又0<0.5<1,∴f (x)在(3,+∞)上单调递减. 4.若f (x)=-x2+2ax与g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1)D.(0,1] 答案 D 解析 因为f (x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数,所以a≤1,又因为g(x)=
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