第7章线性离散系统的理论基础习题答案Word下载.docx
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如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽,并且有直到■■max(rad/S)频率分量,则只要采样角频率■■S满足,s_2,max或
2兀
T(S)。
;
.■?
max
采样定理实际是指明了从采样信号中不失真地复现原连续信号所必须的理论上的最小采样周期T(复现原信号所必须的最低采样频率)。
如果「S:
:
2maκ,则相邻部分频谱会出现重叠现象,这就难以准确的恢复原来的连续信号了。
(4)为了实现对被控对象的有效控制,必须把采样信号恢复成相应的连续信号,这种从采样信号e*(t)中恢复出原连续信号的过程称为信号的保持(复现)。
用于实现这种过程的装置称为保持器,保持器的最主要功能就是对信号的复现。
采样控制系统中广泛采用的保持器是零阶保持器。
(5)设在零阶保持器的输入端加上单位脉冲函数√t),其输出g(t)称为零阶保持器的单位脉冲响应。
则输出g(t)的表达式是:
gUeh0t∖-1t-1t-T
对上式求拉氏变换,得零阶保持器的传递函数为
1eTs1-eTs
Gho(S)=Ll-g(t)1
SSS
对上式求Z变换,得零阶保持器的脉冲传递函数为
z(1-z_)
GhO(Z)1
ZT
(6)z变换方法就是要求取采样函数的Z变换式。
直接方法是由连续函数et求出采样函数e*t,
1
通过拉氏变换求出E*S,再令S=Tlnz,求出采样函数e*t的Z变换EZ。
此方法比较繁琐。
为了简便,还可以通过级数求和法和部分分式法这两个比较常用的求Z变换。
采样系统的被控量往往是连续信号XCt,不是离散信号x*ct为了求系统的脉冲传递函数,通常在输出端虚设一个采样开关,它与输入端采样开关一样以周期T同步工作。
必须指出的是,虚设的采样开关是不存在的,它只表明了脉冲传递函数所能描述的,只是输出连续信号XCt在采样时刻上的离散值X*ct。
这样,输出的采样信号就可就根据下式求得
X*Ct=Z-IXCZ=Z-IWZXrZ
当已知系统连续部分传递函数WS或单位脉冲响应gt,根据GZ=Zgt=ZGS即可得到系统脉冲传递函数GZ。
(7)求Z反变换常用如下方法:
1级数求和法,级数求和法直接应用Z变换的定义进行求和。
把复杂的Z变换方法转换成简单的数学上级数求和的方法,是一种简单的Z变换法。
2部分分式法,部分分式法在已知连续函数ft的拉氏变换为FS时,则可将FS展开成部分分式之和的形式,然后对各个分式求Z变换,其和即为FZ。
此方法只需记住一些特定传递函数的Z变换即可求出系统的脉冲传递函数。
(8)常系数线性差分方程的常用求解方法有两种:
一种是基于解析方法的Z变换法,另一种是基于计算机求解的迭代法。
1Z变换法
用Z变换法求解差分方程较为方便,且可求得差分方程解的数学表达式。
Z变换法求解差分方程的步骤是:
对描述离散系统的差分方程进行Z变换,并利用Z变换的实数位移定理,将时域差分方程化为Z域的代数方程,求其解,再将Z域的代数方程经Z反变换求得差分方程的时域解。
2迭代法
迭代法是已知离散系统的差分方程和输入序列、输出序列的初始值,利用递推关系逐步计算出所需要的输出值的方法。
(9)在离散控制系统中,把零初始条件下,环节或系统输出脉冲序列的Z变换式与输入脉冲序列的变换式之比,称为该环节或该系统的脉冲传递函数。
记为GZ。
脉冲传递函数反映的是系统输入
采样信号与输出采样信号之间的传递关系。
(10)如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数?
1求开环脉冲传递函数时,要注意串联环节之间有无采样开关。
即两个相串联环节间无采样开关时,脉冲传递函数等于这两个环节传递函数乘积的Z变换。
当两串联环节间有采样开关时,其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。
2求闭环脉冲传递函数的一般步骤如下:
A根据已知的结构图,首先不考虑采样开关,将其看作一个连续系统,写出闭环传递函数GS。
B由GS写出输出的拉普拉斯变换表达式XCS。
C将采样开关的设置考虑进去,把XCS的分子和分母中的每个乘积项,按输入信号与环节、
环节与环节之间有无采样开关,根据环节串联时的脉冲传递函数的求法,逐项写出相应的脉冲
传递函数,进而写出XCZ。
D若XCZ可以独立出来,则可由XCZ写出闭环脉冲传递函数GZ。
否则写不出GZ,
而只能写出XCZ。
总之,在求离散系统的闭环脉冲传递函数时,一定要注意采样开关的位置,其位置的所在,直接决定闭环传递函数的求取。
(11)如果离散控制系统闭环特征方程所有的特征根Z(i=0,1,2,…n),全部位于Z平面的单位
圆内部,即
Z∣"
(i=0,1,2,…n)
则系统是稳定的,否则系统不稳定。
(12)连续系统的劳斯稳定判据,是通过系统特征方程的系数及其符号来判别系统稳定性的。
这种
对特征方程系数和符号以及系数之间满足某些关系的判断,实质是判断系统特征方程的根是否都在左半S平面。
对于线性离散控制系统,是不能直接应用连续系统劳斯稳定判据,因为离散系统需要判断系统特征方程的根是否都在Z平面的单位圆内。
因此,必须采用一种变换方法,使Z平面上的单位圆,映射为新坐标系的虚轴,这种坐标转换称为双线性变换,又称为ω变换。
令
■1Z1
Z或■,
时TZT
再令Z=Xjy=UjV
则有
22
(x+yI2y
=UJV2—-j2—T
(x_1)+y(x_1)+y
由上式可见,⑷平面内U=O(虚轴),对应于Z平面内z=χ2+y2=1(单位圆的圆周)。
⑷平面内UcO(⑷左半平面),对应着Z平面内z=x2+y2v1(单位圆的内部)。
ryr∖
¢
0平面内UaO(CO右半平面),对应于Z平面内Z=X+y>
1(单位圆的外部)。
这样,只要将Z平面上的特征方程式经过Z-变换,就可以在••平面上直接应用劳斯判据
判别系统的稳定性。
(13)采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用,采样系统的暂态
特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。
对于闭环极点我们分四种情况来分析:
1Pj位于单位圆内。
离散系统是稳定的,位置越靠近单位圆收敛越慢,越接近原点则收敛越
快。
2Pj位于单位圆上。
离散系统是临界稳定的,Pj「1时,恒值等幅振荡。
Pj=-1时,交
错等幅振荡。
3Pj位于单位圆外。
离散系统是发散的。
4Pj位于单位圆圆心。
位置越接近原点,分量项收敛越快。
Pj位于圆心位置上时,应该具有
无穷大稳定度。
闭环极点的位置与暂态特性的关系如图7.1所示。
题7.2求下列函数的Z变换
(1)
ft=cost
(2)
ft=1-e^
(3)
ft=te"
t
(4)
ft=ak
解:
ft=CoSt
因为ft=cos∙■t=Ree厂'
所以,由Z变换定义,有
F(Z)=Z—f(t)]=ZIcosbt】=ZRe(ejωt)]
D-11=Re-
]l-ejccτz-1」
D-11
=RejV
^-Zcos国T-jzSInBT一
Z(Z-cos⑷T)
Z-2zcosT1
⑵ft
由Z变换定义有
FZ=ZV^at
11
1at-1
1-Z1-eZ
_at
Z1-eat
Z-1Z-eat
⑶ft=te"
因为Z⅛U
(Z-1)
所以,根据复位移定理ZlLeatft=Fe137Z,有
TZeaT
(4)fti;
Hak
根据Z变换定义,有
⑵FS=
F(Z)=Zl11=z[1—I1
L(s+aχs+b)[.b-aιs+as+b力
e「aT-^bTZ
b-aLz-eaTZ
FS=
K
SSa
-bT
e
IJ-
-
Z
SSaa
Jl=KzM丄
-S
s+a一
aT
ZVe
-aT-aT
eZe
⑷FS=
「nTs
T是采样周期
因为
L1
at-nt
根据延迟定理,有
FZ=Z
-at-nt
一e
-at
-aT
Z-e
题7.4
求下列函数的Z反变换。
Z-0.5
FZ=Z一1Z一2
2z2
FZ一z-0.1Z-0.8
FZ=z—「Z—「T
FZ=Z^0.5
fkT二0.5kT
(k=0,1,2,…)
⑵FZ;
1Z一2
将—展开,有
-1
所以
Z-2
fkT…IkT
⑶FZ=z-0.1Z-0.8
16
FZZ-0.1Z-0.87z-0.87Z-0.1
Z1
「F(z)]=
7IZ-0.8」7〔z-0.1一
16kT2kT
0.80.1
7
⑷FZ=ZdZdT
z_e^τZ-J2T
-T-2T
e一e
-T
Ze
-2Th
-2T
Z-e丿
1(Z
Z-etZ-e电TZeT
z_e^z_e「2T
题7.5用Z变换的方法求解下列差分方程,结果以Xk表示。
Xk22xk1Xk=Uk
XoiUO,X1=0,Uki=kk=0,1,2;
对差分方程进行Z变换
ZIlXk22xk1Xk=ZUk
22Z
zXz-zxO-zxl2zXz-2zx0XZ2
(z-1)
代入初值整理得
XZ22
(z+1)(z-1)
d2kdd2kI
Xk=Iimz-1XZZk一1TimZ1XZzk^1
—dzzf1dz
k-1k-1k-1
44
(b)
题7.6图
(1)题7.6(a)图所示环节为三个环节串联组成,且环节之间没有采样开关,
所以其等效的传递函数的Z变换为
GZ=ZGlZG2ZG3z
XCZ=XrZGZ
(2)根据题7.6(b)图得
XCZ=G3z](G1ZG2ZXrZ-G3ZGIZXCZ
X心G⅛≡Tw)
题7.7设开环离散系统如题7.7图所示,试求开环脉冲传递函数GZ0
R(Z)
2
Xr
5
s+2
s+5
C(Z)
(a)
s+2
题7.7图
解:
对于题7.7(a)图,环节间有采样开关
22z
ILS2z-e'
τ
5z
_s5Z-e*τ
开环脉冲传递函数:
GZ=異__IT
(z_eJ[z_e
对于题7.7(b)图,环节间没有采样开关
ZZ2
ILs■2s■5
J-2T」Tlb
10Ze-e
2t
3z-ez-e
1010
题7.8设闭环离散系统如题7.8图所示,试求闭环脉冲传递函数GZ。
题7.8图
由题7.8图得
G(Z)
1GzH2zGHiZ
题7.9已知闭环脉冲传递函数
0.530.1z'
1-0.37z^1
试求该系统的单位阶跃响应
XcZ_0.53z0.1_10.47
ZZ-1z-0.37z-1Z-0.37
进行Z反变换,得
n
XCkT严1-0.470.37
T_t=1
题7.10图
由题7.10(a)图,开环脉冲传递函数
)zH
s(10s+1J
z-11-e∙Z1-e"
.10.095
ZTz-e®
zd1Z-0.905
闭环特征方程
1Gz=1
0.095
÷
z—0.905
=0
即z-0.9050.095=z-0.81=0
特征根z=0.81,系统稳定
由题7.10(b)图,开环脉冲传递函数
GZSZ
2z
z—1
4z24z2
z-1z-e'
z2-1.368z0.368
即5z2-1.368Z0.368=0
z1,2=0.1368±
0.2343z』=0.271龙1
闭环系统稳疋。
题7.11设闭环离散系统如题7.11图所示。
试分析系统的稳定性,并确定K值的稳定范围
题7.11图
系统的开环传递函数为
对应的Z变换为
GZ=
T-1
1-eZ
1-^tz^K1-
Z=Ke-Teτ_K
若要求闭环系统稳定,则要求Z<
1。
故K值必须满足以下条件:
题7.12图
(2z-1)(1-e1)
特征方程
IGZ=1-=0
(ZT)(Z-e~)
z2I-3e^Z2ej-1=0
得出Zι,2<
1,所以闭环系统稳定,则
Xrt=5t作用下的稳态误差为e:
3I=5=5
kv
Xrt=It2作用下的稳态误差为e1=
2ka
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