线性系统理论作业.docx
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线性系统理论作业
《线性系统理论》
设计报告
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取状态变量为X=Ud,Id,nT,
则系统的状态空间描述为:
X=AX+Bu+ETlY=CX
其中A=-1Ts001TlaR-1Tla-CeTlaR0375CTGD20B=KsTS00E=00-375GD2
C=001
代入数据得:
A=-588.2350026.709-20.833-3.678048.8210B=23529.4100
通过matlab检测系统的能控能观性并求出系统的特征值:
对应的matlab程序如下:
%原始系统能控能观性判断与特征值求解%
A=[-588.23500;26.709-20.833-3.678;048.8210];
B=[23529.4100]';
C=[001];
D=0;
disp(eig(A));%计算并输出特征值%
sys1=ss(A,B,C,D);
Qc=ctrb(A,B);%生成能控性判别矩阵%
Qo=obsv(A,C);%生成能观性判别矩阵%
iflength(A)==rank(Qc)%系统能控性判别%
disp('系统完全可控!
');
else
disp('系统不完全可控!
');
end
iflength(A)==rank(Qo)%系统能观性判别%
disp('系统完全可观!
');
else
disp('系统不完全可观!
');
end
运行结果如下:
1.0e+002*
-0.104165000000000+0.084297191975771i
-0.104165000000000-0.084297191975771i
-5.882350000000000
系统完全可控!
系统完全可观!
系统特征值实部均为负,由此可知该系统为外部稳定的能控但不能观测系统,设负载转矩为0时,输入为阶跃信号,系统的simulink仿真如下:
图1.原始开环系统结构框图
图2.原始开环系统仿真图
1、状态反馈加积分器校正的输出反馈系统
根据仿真结果可以看出原系统的调节时间大于1s,不能满足不大于0.5s的要求;又要求系统跟踪阶跃输入信号的稳态误差为零,故系统不仅要通过求解状态反馈增益矩阵改变极点配置,还需设置积分器校正的输出反馈来消除稳态误差。
因为要求被控系统A,B,C能控,又控制维数(r=1)不少于误差的维数(m=1)且rankC=1=m,即增广系统状态完全能控,因此可采用状态反馈控制律:
u=-K1x+K2w
改善系统的动态和稳态性能,式中K1=[K11K12K13]。
闭环控制系统的特征多项式为:
s4+609.068+23529.41K11s3+12434.263+628447.012K12+490188.199K11s2+30681411.558K13+4225026.46K11+105625.617s+30681411.558K2
由于最大超调量
,当振幅进入
范围内时调节时间
,其中
为系统自然振荡角频率。
由于系统设计要求为超调量不超过10%,调节时间不超过0.5秒,可计算得到:
,
,取
,
,
,取
,二阶系统的特征根
,可得期望特征值
,
,原系统闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上,故无需进行配置,再取另一个期望非主导极点为-50,则S3=-588.235,S4=-50,运用expand函数求得期望特征多项式为:
expand((s+588.35)*(s+50)*(s+9.8-9.99i)*(s+9.8+9.99i))
运行结果:
s^4+(13159*s^3)/20+(421250001*s^2)/10000+(140319505567*s)/200000+23044504567/4000
即s-s1s-s2s-s3s-s4=s4+657.95s3+42125s2+701597.528s+5761126.14
根据对应系数相等计算得到:
K11=0.00208,K12=0.04562,K13=0.01914,K2=0.18777
确定了状态反馈增益矩阵
和积分增益常数
,在未考虑扰动作用时(设d=0),闭环系统对给定输入v(t)为阶跃信号的响应可通过求解下式获得,即
式中,v(t)=1(t)
Simulink仿真如下:
图3.状态反馈加积分器校正的输出反馈系统仿真图
输出波形:
图4.状态反馈加积分器校正的输出反馈系统仿真波形
0秒时加阶跃的负载扰动,其仿真波形如下:
图5加负载扰动时仿真波形
由图4可知,该状态反馈系统的静、动态性能如下:
σ=1.0435-11×100%=4.35%,ts<0.5s,皆满足系统要求。
扰动后,曲线最终稳定在1,则系统稳态误差为0。
2、全维状态观测器的设计
闭环状态观测器的状态方程
,又由观测误差
知,通过选择输出偏差反馈增益矩阵G使
的所有特征值均位于复平面的左半平面,尽管初始时刻
时,
与
存在差异,观测器的状态
仍将以一定精度和速度渐渐逼近系统的实际状态
。
而输出偏差反馈增益矩阵G由观测器极点决定,因此,状态估计误差收敛速度是由观测器极点所决定。
通过合理选择观测器极点而配置的反馈矩阵G,状态估计误差收敛速度足够快,就能使重构状态
渐近等价于真实状态
,从而达到状态反馈的效果,即改善被控系统的稳定性、稳态误差和动态品质因数,而且可实现闭环系统的解耦控制和最优控制。
由原系统完全能观可知,可构造状态观测器对其状态给出估值。
设观测器增益矩阵
,
s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2
经过状态反馈后的系统状态空间表达式中个矩阵分别为
,
,
,
带入数据可得
A=-637.117-1073.51-450.31626.709-20.833-3.678048.8210B=23529.4100
由第一问求得反馈矩阵
K11=0.00208,K12=0.04562,K13=0.01914
F=K=[0.002080.045620.01914]
在MATLAB输入程序如下:
P=poly(A-B*K);
roots(P)
ans=
-506.563
-147.896
-7.717
图6全维状态观测器结构图
从工程实际出发,兼顾快速性、抗干扰性等,选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2-5倍。
故取s1*=-1200,s2*=-500,s3*=-35,则期望特征多项式为:
D*=s3+1735s2+659500s+21000000
D(s)=s3+609.068+g2s2+1243.4+48.821g1+609.068g2s+105625.617+1303.960g0+28718.221g1+12254.7g2
可解得g0=17853.509,g1=-563.539,g2=1125.932
带观测器的状态反馈加积分调节系统仿真结构如图6。
仿真输出与观测器输出波形图如下:
图7系统加全维观测器输出波形图
图7全维状态观测器波形图
由仿真图可知,系统的稳态误差为0,动态误差满足超调量σ<10%,调节时间Ts<0.5s的要求。
状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的配置有关。
一般而言状态观测器极点在复平面的左半开平面距离虚轴距离越远,则估计误差收敛速度越快。
但是,观测器响应速度过快会产生大量噪声,影响系统的正常工作故不宜取值过大。
综合工程实际出发,一般取为比状态反馈闭环系统快2—5倍。
3、限制电动机电枢过电流方法
为了解决反馈闭环调速系统的起动和堵转时电流过大的问题,系统中引入电流截止负反馈,电流截止负反馈调速系统通过一个电压比较环节,使电流负反馈环节只有在电流超过某个允许值时才起作用,电动机启动时,因为电流截止负反馈作用,从而限制启动电流。
正常工作时,电流截止负反馈作用很小。
电动机发生堵转时,由于电流截止负反馈的作用,使Ud大大下降,因而使Ia不致过大。
允许的堵转电流一般为电动机额定电流的2~2.5倍。
系统工作在额定值时,由于电流截止负反馈起作用,从而保证系统设备的安全。
4、二次型最优控制
由前边的计算可知原始系统为完全可控的,最优控制的性能指标函数为:
,其中,
为状态加权系数矩阵,R为控制加权系数矩阵,设Q=q11000q22000q33,R取1。
非零点给定的定常输出器设计中,
,P为代数方程
的解。
为求得最优状态反馈矩阵K和k1,先令q11=1,q22=1,q33=100,反代入上式,利用matlab中的lqr函数计算线性二次型最优控制的解。
即:
K=lqr(A,B,Q,R),运行得:
K=[0.9867,10.081,31.4838],k1=1.702
系统在零负载转矩下的阶跃响应仿真程序如下:
A=[-588.23500;26.709-20.833-3.678;048.8210];
B=[23529.4100]';
C=[001];
D=0;
R=1;
Q=[100;010;001000];
K=lqr(A,B,Q,R);
ac=A-B*K;
k1=inv((-C/(A-B*K))*B);
bc=B*k1;
cc=C;
dc=D;
step(ac,bc,cc,dc);
Grid
运行后仿真结果如下图:
图8线性二次型最优全状态反馈仿真曲线
为了研究系统二次型性能指标泛函中权矩阵Q的不同选取对动态性能的影响,对q11、q22、q33取不同值时的权矩阵进行仿真试验。
令q22=q33=1,q11取值为1、100、200、500、1000、10000,系统matlab程序如下:
a_color=['r','g','b','y','c','m','k'];%¶¨ÒåͼÐÎÑÕÉ«
A=[-588.23500;26.709-20.833-3.678;048.8210];
B=[23529.4100]';
C=[001];
D=0;
R=1;
symsQq11q22q33;
Q=[q1100;0q220;00q33];
N=[1,100,200,500,1000,10000];
symsiK;
fori=1:
6
q22=1;
q33=1;
q11=N(i);
K=lqr(A,B,subs(Q),R);
ac=A-B*K;
k1=inv(-C/(A-B*K)*B);
bc=B*k1;
cc=C;
dc=D;
sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);
end
figure
(1)
step(sys
(1),a_color
(1),sys
(2),a_color
(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5),sys(6),a_color(6));
Grid
运行得:
图9q11为不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线
对于q22、q33取不同值时其程序与仿真曲线如下:
a_color=['r','g','b'];
A=[-588.23500;26.709-20.833-3.678;048.8210];
B=[23529.4100]';
C=[001];
D=0;
R=1;
symsQq11q22q33;
Q=[q1100;0q220;00q33];
fori=1:
3
q11=1;
q22=1;
q33=1;
Q(i,i)=100;
K=lqr(A,B,subs(Q),R);
ac=A-B*K;
k1=inv(-C/(A-B*K)*B);
bc=B*k1;
cc=C;
dc=D;
sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);
end
figure
(1)
step(sys
(1),a_color
(1),sys
(2),a_color
(2),sys(3),a_color(3));
Grid
运行:
图10q11、q22、q33为不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线
(图中红色线为Q=10000010001时阶跃响应曲线,绿色线条为Q=10001000001时的阶跃响应曲线,蓝色为Q=10001000100时的阶跃响应曲线)
由不同权矩阵Q的取值仿真曲线可知,q11=100时超调量太大且调节时间久,q22=100时虽然超调量小或者没有,但是调节时间太长,综合来看,q33为100时系统动态性能最好。
权矩阵R值不同时,对系统动态性能的影响。
程序如下:
a_color=['r','g','b','y','c'];
A=[-588.23500;26.709-20.833-3.678;048.8210];
B=[23529.4100]';
C=[001];
D=0;
Q=[100;010;00100];
N=[1,100,1000,1500,10000];
symsR;
fori=1:
5
R=N(i);
K=lqr(A,B,Q,subs(R));
ac=A-B*K;
k1=inv(-C/(A-B*K)*B);
bc=B*k1;
cc=C;
dc=D;
sys(i)=ss(ac,bc,cc,dc);
end
figure
(1)
step(sys
(1),a_color
(1),sys
(2),a_color
(2),sys(3),a_color(3),sys(4),a_color(4),sys(5),a_color(5));
Grid
运行得:
图11.R取不同取值时线性二次型最优全状态反馈仿真曲线
对比可知:
R值越大调节时间越长,超调量越大。
5、降维观测器设计
负载转矩TL平缓变化,且状态变量Ud,Id,n均可准确测量时,对负载转矩进行估计的降维观测器的设计需对原系统结构进行变化。
可得增广矩阵:
由此可知,x中的后3个状态分量可用系统的3个输出变量直接代替,故状
态变量按可检测性可分解为需重构的部分TL与直接检测取得x=[UIn]的部分,由此系统可分解为两个子系统。
,
xΙxⅡ=A11A12A21A22xΙxⅡ+B1B2uy=0ImxΙxⅡ=xⅡ
式中A11=0,A21=00-37.129,A12=[000],A22=-588.2350026.709-20.833-3.678048.8210,B1=0,B2=23529.4100
故只需设计一维观测器重构xΙ=TL。
设降维观测器的反馈阵G=[g11g12g13]
由降维观测器特征多项式
fλ=detλI-(A11-G1A21)=λ-37.129g13
选择观测器期望极点为闭环极点的2—5倍,取为λ*=-1500
则可求得g13=--40.4.则状态空间中的降维观测器状态方程:
ω=A11-GA21ω+B1-GB2u+A11-GA21G+A12-GA22y=-1500ω+01972.460600y=-1500ω+1972.4Id+60600nxΙ=ω+Gy=ω+[00-40.4]y
即所对应的状态向量的估值为:
xΙ=ω-40.4n
对于负载扰动补偿由非零点给定的定常输出器设计中计算的k1=Wc-1=31.6231选取比例调节的前馈补偿:
Kp=R1+k1Ks+k2KsKsCTWc=0.2614
所求观测器的仿真结构图如下:
图10降维观测器结构图
图10无扰动时仿真波形
给定转速1500r/min在1s时负载转矩产生突变,相应波形为:
图10负载转矩突变时仿真波形
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