小升初专题行程问题.docx
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小升初专题行程问题
第一讲行程问题
是一种最基本的数量关系,在小学的应用题中,这样的数量关系也是最常见的,例如
总量=每个人的数量X人数.
工作量=工作效率X时间.
因此,我们从行程问题入手,掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧,就能解其他类似的问题.
当然,行程问题有它独自的特点,在小学的应用题中,行程问题的内容最丰富多彩,饶有趣味.
它不仅在小学,而且在中学数学、物理的学习中,也是一个重点内容.因此,我们非常希望大家能
学好这一讲,特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧
这一讲,用5千米/小时表示速度是每小时5千米,用3米/秒表示速度是每秒3米
一、追及与相遇
有两个人同时在行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的距离,也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快,乙走得慢,在相同时间内,
甲走的距离-乙走的距离
=甲的速度X时间-乙的速度X时间=(甲的速度-乙的速度)X时间
通常,“追及问题”要考虑速度差
例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米,小轿车和面包车同时从学校开出,沿着同
小轿车已离城门9千米,
6千米/小时,因此
9千米,说明小轿车的速
一路线行驶,小轿车比面包车早10分钟到达城门,当面包车到达城门时,问学校到城门的距离是多少千米?
解:
先计算,从学校开出,到面包车到达城门用了多少时间
此时,小轿车比面包车多走了9千米,而小轿车与面包车的速度差是所用时间=9十6=1.5(小时).
小轿车比面包车早10分钟到达城门,面包车到达时,小轿车离城门度是
54〔千朮"卜时)一60
面包车速度是54-6=48(千米/小时).
城门离学校的距离是
48X1.5=72(千米).
答:
学校到城门的距离是72千米.
例2小张从家到公园,原打算每分种走50米.为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.问家到公园多远?
解一:
可以作为“追及问题”处理
还有一种不少人采用的方法.
解二=水张加快速度后,每走1氷,可节绚时间(务分钟.因此
家到公园的距离是
因此,自行车的速度是
20
60
米的地方追上了他•然后爸爸立即回家,至像后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分?
解:
画一张简单的示意图:
图上可以看出,从爸爸第一次追上到第二次追上,小明走了
8-4=4(千米)•
而爸爸骑的距离是4+8=12(千米).
这就知道,爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12十4=3(倍).按照这个倍数计算,
小明骑8千米,爸爸可以骑行8X3=24(千米).
但事实上,爸爸少用了8分钟,骑行了
4+12=16(千米).
少骑行24-16=8(千米).
摩托车的速度是1千米/分,爸爸骑行16千米需要16分钟.
8+8+16=32.
答:
这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”•
小王从甲地到乙地,小张从乙地到甲地,两人在途中相遇,实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离•如果两人同时出发,那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度x时间+乙的速度x时间
=(甲的速度+乙的速度)x时间.
“相遇问题”,常常要考虑两人的速度和•
例5小张从甲地到乙地步行需要36分钟,小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时
出发,几分钟后两人相遇?
解:
走同样长的距离,小张花费的时间是小王花费时间的36十12=3(倍),因此自行车的速
度是步行速度的3倍,也可以说,在同一时间内,小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.
如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段,小王走了3段,小张走了1段,小张花费的时间是
36+(3+1)=9(分钟).
答:
两人在9分钟后相遇.
例6小张从甲地到乙地,每小时步行5千米,小王从乙地到甲地,每小时步行4千米.两人同
时出发,然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇,求甲、乙两地间的距离•
解:
画一张示意图
1千米
I1
甲中上乙
离中点1千米的地方是A点,从图上可以看出,小张走了两地距离的一半多1千米,小王走了
两地距离的一半少1千米.从出发到相遇,小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走(5-4)千米,从出发到相遇所用的时间是2+(5-4)=2(小时).
因此,甲、乙两地的距离是
(5+4)x2=18(千米).
本题表面的现象是“相遇”,实质上却要考虑“小张比小王多走多少?
”岂不是有“追及”的特点吗?
对小学的应用题,不要简单地说这是什么问题•重要的是抓住题目的本质,究竟考虑速度
差,还是考虑速度和,要针对题目中的条件好好想一想•千万不要“两人面对面”就是“相遇”,
“两人一前一后”就是“追及”•
请再看一个例子•
例7甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还从A,B两地同时出发相向而行,则相遇地
点距C点16千米.求A,B两地距离.
解:
先画一张行程示意图如下
IF=11
kDCEB
设乙加速后与甲相遇于D点,甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间,是由速度和
决定的•不论甲加速,还是乙加速,它们的速度和比原来都增加5千米,因此,不论在D点相遇,
还是在E点相遇,所用时间是一样的,这是解决本题的关键
下面的考虑重点转向速度差•
在同样的时间内,甲如果加速,就到E点,而不加速,只能到D点•这两点距离是12+16=
28(千米),加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时•因此,在D点
(或E点)相遇所用时间是
28-5=5.6(小时)•
比C点相遇少用6-5.6=0.4(小时)•
甲到达D,和到达C点速度是一样的,少用04小时,少走12千米,因此甲的速度是
12-0.4=30(千米/小时)•
同样道理,乙的速度是
16-0.4=40(千米/小时)•
A到B距离是(30+40)X6=420(千米)•
答:
A,B两地距离是420千米•
很明显,例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8如图,从A到B是1千米下坡路,从B到C是3千米平路,从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时•
问:
(1)小张和小王分别从A,D同时出发,相向而行,问多少时间后他们相遇?
(2)相遇后,两人继续向前走,当某一个人达到终点时,另一人离终点还有多少千米?
解:
(1)小张从A到B需要1十6X60=10(分钟);小王从D到C也是下坡,需要2.5十6X60=25(分钟);当小王到达C点时,小张已在平路上走了25-10=15(分钟),走了小為=1(千氷)
因此在B与C之间平路上留下3-1=2(千米)由小张和小王共同相向而行,直到相遇,所需时间是
2+(4+4)X60=15(分钟)•
从出发到相遇的时间是
25+15=40(分钟)•
(2)相遇后,小王再走30分钟平路,到达B点,从B点到A点需要走1+2X60=30分钟,即他再走60分钟到达终点.
小张走15分钟平路到达D点,45分钟可走
爭咚+(节米)-
小张离终点还有2.5-1.5=1(千米).
答:
40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时,小张离终点还有1千米.
二、环形路上的行程问题
人在环形路上行走,计算行程距离常常与环形路的周长有关
例9小张和小王各以一定速度,在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
(1)小张和小王同时从同一地点出发,反向跑步,75秒后两人第一次相遇,小张的速度是多
少米/分?
(2)小张和小王同时从同一点出发,同一方向跑步,小张跑多少圈后才能第一次追上小王?
解:
(1)75秒-1.25分.两人相遇,也就是合起来跑了一个周长的行程•小张的速度是
500-1.25-180=220(米/分).
(2)在环形的跑道上,小张要追上小王,就是小张比小王多跑一圈(一个周长),因此需要的时间是
500-(220-180)=12.5(分).
220X12.5-500=5.5(圈).
答:
(1)小张的速度是220米/分;
(2)小张跑5.5圈后才能追上小王.
例10如图,A、B是圆的直径的两端,小张在A点,小王在B点同时出发反向行走,他们在C
点第一次相遇,C离A点80米;在D点第二次相遇,D点离B点60米.求这个圆的周长•
解:
第一次相遇,两人合起来走了半个周长;第二次相遇,两个人合起来又走
了一圈.从出发开始算,两个人合起来走了一周半.因此,第二次相遇时两人合起来
所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍,那么从A到D的距离,应该
是从A到C距离的3倍,即A到D是
80X3=240(米).
240-60=180(米).
180X2=360(米).
答:
这个圆的周长是360米.
在一条路上往返行走,与环行路上行走,解题思考时极为类似,因此也归入这一节
6千米,小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走
.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回,在离甲村
•问小张和小王的速度各是多少?
如图,第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离,第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍,因此所需时间是
40X3-60=2(小时).
从图上可以看出从出发至第二次相遇,小张已走了
6X2-2=10(千米).
小王已走了6+2=8(千米).
因此,他们的速度分别是小张10十2=5(千米/小时),小王8十2=4(千米/小时).
例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回),他们在离甲村3.5千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇•问他们两人第四次相
遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)?
3.5X3=10.5(千米).
从图上可看出,第二次相遇处离乙村2千米.因此,甲、乙两村距离是
10.5-2=8.5(千米).
每次要再相遇,两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时,两人已共同走
了两村距离(3+2+2)倍的行程.其中张走了
3.5X7=24.5(千米),
24.5=8.5+8.5+7.5(千米).
就知道第四次相遇处,离乙村
8.5-7.5=1(千米).
答:
第四次相遇地点离乙村1千米.
下面仍回到环行路上的问题.
例13绕湖一周是24千米,小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小
时速度每走1小时后休息5分钟;小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问:
两人出发多少时间第一次相遇?
解:
小张的速度是6千米/小时,50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表:
小王
时■间
1少时5分
"刑分
3小时15分
行程
4千米
呂干米
12干米
小张
时间
2勺、时
g谢分
行程
5千米
10千米
15千米
12+15=27比24大,从表上可以看出,他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.
出发后2小时10分小张已走了
10+5x1^=11(千米)・
此时两人相距
24-(8+11)=5(千米).
由于从此时到相遇已不会再休息,因此共同走完这5千米所需时间是
5-(4+6)=0.5(小时).
2小时10分再加上半小时是2小时40分.
答:
他们相遇时是出发后2小时40分.
例14一个圆周长90厘米,3个点把这个圆周分成三等分,3只爬虫A,B,C分别在这3个点上.它们同时出发,按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒,B的速度是5厘米/秒,C的速度是3厘米/秒,3只
爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置?
解:
先考虑B与C这两只爬虫,什么时候能到达同一位置•开始时,它们相差30厘米,每秒钟
B能追上C(5-3)厘米0.
30+(5-3)=15(秒).
因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置,B要追上C一圈,也就是追上90
厘米,需要
90+(5-3)=45(秒).
B与C到达同一位置,出发后的秒数是
15,,105,150,195,……
再看看A与B什么时候到达同一位置.
第一次是出发后
30+(10-5)=6(秒),
以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
90+(10-5)=18(秒),
A与B到达同一位置,出发后的秒数是
6,24,42,,78,96,…
对照两行列出的秒数,就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
答:
3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
请思考,3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒?
例15图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时,在BC上的
速度是120千米/小时,在CD上的速度是60千米/小时,在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB中点相遇•如果从PC中点M,同时反向各发出一辆
ASN距离_
B至N距寸
解:
两车同时出发至相遇,两车行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”,解题过程就是时间
的计算•要计算方便,取什么作计算单位是很重要的.
设汽车行驶CD所需时间是1.
根据“走同样距离,时间与速度成反比”,可得出
汽车行驶BC所需时间是~=^-
汽车行驶所需时间是=|-
汽车行驶AD所需时何是
804
分数计算总不太方便,把这些所需时间都乘以24.这样,汽车行驶CDBCAB,AD所需时间
分别是24,12,16,18.
从P点同时反向各发一辆车,它们在AB中点相遇PtD^A与PtSB所用时间相等.
PC上所需时间-PD上所需时间
=DA所需时间-CB所需时间
=18-12
=6.
而(PC上所需时间+PD上所需时间)是CD上所需时间24.根据“和差”计算得
PC上所需时间是(24+6)+2=15,
PD上所需时间是24-15=9.
现在两辆汽车从M点同时出发反向而行,MTPtdtAtN与MTCtBtN所用时间相等.M是PC中点.PTDtAtN与CtbtN时间相等,就有
BN上所需时间-AN上所需时间
=FTDtA所需时间-CB所需时间
=(9+18)-12
=15.
BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间
=16.
立即可求BN上所需时间是15.5,AN所需时间是0.5.
ASN距离_AN所需时间_05=
E至N距离=BN所需吋间=倉=31
从这一例子可以看出,对要计算的数作一些准备性处理,会使问题变得简单些
三、稍复杂的问题
在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧:
(1)在行程中能设置一个解题需要的点;
(2)灵活地运用比例.
例16小王的步行速度是4.8千米/小时,小张的步行速度是5.4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时,从乙地到甲地去.他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇.问:
小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?
解:
画一张示意图:
1
壬
II
张季
Ji
甲
1B
A
乙
图中再设置一个B点,它是张、李两人相遇时小王到达的
5分钟的时间,小王和小李共同走了B与A之间这段距离,
它等于
C^.8+1C8)X——=1.3(千朮).
60
这段距离也是出发后小张比小王多走的距离,小王与小张的速度差是(5.4-4.8)千米/小时.
小张比小王多走这段距离,需要的时间是
1.3-(5.4-4.8)X60=130(分钟).
这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/
小时的2倍.因此小李从A到甲地需要
130-2=65(分钟).
例17小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地,而他们的家要从公园门口沿马路往西.小华问姐姐:
“是先向西回家取了自行车,再骑车向东去,还是直接从公园门口步行向东去快”?
姐姐算了一下说:
“如果骑车与步行的速度比是4:
1,那么从公园门口到目的地的距离超
”请推算一下,从公园到他们家的距离是多少米?
过2千米时,回家取车才合算解:
先画一张示意图
彖公园月A
设A是离公园2千米处,
那么用同样多的时间,就能往东走到
骑车从家开始,步行从具体计算如下:
不妨设B到A的距离为个单位,从家到B的距离是
设置一个B点,公园离B与公园离家一样远.如果从公园往西走到家,B点.现在问题就转变成:
B点开始,骑车追步行,能在A点或更远处追上步行.
1个单位,因为骑车速度是步行速度的4倍,所以从家到A的距离是4
3个单位.公园到B是1.5个单位.从公园到A是
1+1.5=2.5(单位).
每个单位是2000-2.5=800(米).
因此,从公园到家的距离是
800X1.5=1200(米).
答:
从公园门口到他们家的距离是1200米.
这一例子中,取计算单位给计算带来方便,是值得读者仿照采用的.请再看一例.
例18快车和慢车分别从A,B两地同时开出,相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时,慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问:
两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间?
_15_
解:
画一张示意图:
10
B1CI
设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时,从C到A用了12.5-5=7.5(小时).我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位,C到A15个单位.慢车每小时走2个单位,快车每小时走3个单位.
有了上面“取单位”准备后,下面很易计算了
慢车从C到A,再加停留半小时,共8小时.此时快车在何处呢?
去掉它在B停留1小时.快车
行驶7小时,共行驶3X7=21(单位).从B到C再往前一个单位到D点.离A点15-1=14(单位).
现在慢车从A,快车从D,同时出发共同行走14单位,相遇所需时间是14-(2+3)=2.8(小时).
慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了
7.5+0.5+2.8=10.8(小时).
答:
从第一相遇到再相遇共需10小时48分.
例19一只小船从A地到B地往返一次共用2小时.回来时顺水,比去时的速度每小时多行驶8
千米,因此第二小时比第一小时多行驶6千米.求A至B两地距离.
解:
1小时是行驶全程的一半时间,因为去时逆水,小船到达不了B地.我们在B之前设置一
个C点,是小船逆水行驶1小时到达处.如下图
3
IF1
扎cer
第二小时比第一小时多行驶的行程,恰好是C至B距离的2倍,它等于6千米,就知C至B是
3千米.
为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米,在图中再设置D点,D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.D至B是5千米顺水行驶,与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此
顺水速度:
逆水速度=5:
3.
由于两者速度差是8千米.立即可得出
逆水速度=8-^=12(千米f小时).
A至B距离是12+3=15(千米).
答:
A至B两地距离是15千米.
例20从甲市到乙市有一条公路,它分成三段.在第一段上,汽车速度是每小时40千米,在第
二段上,汽车速度是每小时90千米,在第三段上,汽车速度是每小时50千米.已知第一段公路的
长恰好是第三段的2倍.现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行.1小时20分后,在
第二段的
;处(从甲到乙方向的;处)相遇,那么,甲、乙两市相距多少千米?
解一:
画出如下示意图:
当从乙城出发的汽车走完第三段到C时,从甲城出发的汽车走完第一段的
2505
到达D处,这样,D把第一段分成两部分
22
—:
(1-=2:
3.
两车衽第二段的+处相遇,说明甲城汽车从D起到E走気笫一段,与
乙城汽车走完第二段的+从涮F,所用时间相同•设这一时间劝粉,1小
时20分相当于
|+1+1=2|(粉)
一份有切亠2卜郭(分钟).
因此就知道,汽车在第一段需要
2
30X-430=50(分钟)I
第二段需要30X3=90(分钟);
第三段需要30X1=20(分钟)
甲、乙两市距离是
40X宾+gox尖十刃Xj^=lS5(千米).
606060
答:
甲、乙两市相距185千米.
把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成三段,而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过
“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例&例13也是类似思路,仅仅
是问题简单些.
还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间
解二=走第一段的与走第三段时间一样就得岀
第一段所用时间:
第三段所用时间=5:
2.
71
D至陌C至F所用吋间一样’就是走第一段的f与走第二的才所用
时间一样.
第一段所用时间:
第二段所用时间=5:
9.
因此,三段路程所用时间的比是
5:
9:
2.
汽车走完全程所用时间是80X2=160(分种).
第一段所用时间=160X—1—=50(分钟);
第二^所用时间=160X(分钟);
-2
第三段所坤时间=160X齐衆"0〔分钟).
例21一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20%,可以比原定时间提前一小时到达;如果以原速行驶120千米后,再将速度提高25%,则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米?
解:
设原速度是1.
%后,所用时间缩短到原时间的
1f
_5
1+20%
6
这是具体地反映:
距离固定,时间与速度成反比用原速行驶需要
1亍(11云)=氐〔小时)•
同样道理,车速提高25%,所用时间缩短到原来的
1_4
1+25%=?
换一句话说.缩題了扌现在要充分利用这个£
如果一开始就加速25%,可少时间
360X1=72(分钟).
现在只少了40分钟,72-40=32(分钟).
说明有一段路程未加速而没有少这个32分钟,它应是这段路程所用时间
的右因此这段路所用时间是
光+|=160(分钟).
真巧,320-160=160(分钟),原速的行程与加速的
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- 小升初 专题 行程 问题