数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐docx.docx
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1・7数列前n项和求法
知识点一倒序相加法
特征描述:
此种方法主要针对类似等差数列中
an■a1^anj■a^,具有这样特点的数列.
思考:
你能区分这类特征吗?
知识点二错位相减法
特征描述:
此种方法主要用于数列{anbn}的求和,其中{an}为等差数列,{bn}是公比为q
的等比数列,只需用Srl-qSn便可转化为等比数列的求和,但要注意讨论q=1和q≠1两种
情况.
思考:
错位时是怎样的对应关系?
知识点三分组划归法
111
特征描述:
此方法主要用于无法整体求和的数列,例如1,1,1亠亠,
224
111
1+……+需,可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和,再综
242
合求出所有项的和.
思考:
求出通项公式后如何分组?
知识点四奇偶求合法
特征描述:
此种方法是针对于奇、偶数项,要讨论的数列
例如Sn=d-3•5•7川…川'(-1)2(2n-1),要求Sn,就必须分奇偶来讨论,最后进行综合.
思考:
如何讨论?
111
特征描述:
此方法主要针对这样的求和,其中{an}是等差数列.
aia2a2a3anJan
思考:
裂项公式你知道几个?
知识点六分类讨论法
特征描述:
此方法是针对数列{an}的其中几项符号与另外的项不同,而求各项绝对值的和的问题,主要是要分段求•思考:
如何表示分段求和?
考点一倒序相加法
例题1:
等差数列求和Sn=a1∙a2•…∙an
变式1:
求证:
c:
3Cn5C2(2n1)Cn=(n1)2n
变式2:
数列求和Sin1sin2sin3Sin89
考点二错位相减法
例题2:
试化简下列和式:
Sn-12x3χ2亠■亠nχn'(x^O)
变式1:
已知数列1,3a,5a2,,(2n-1)an4(^τj0),求前n项和。
变式3:
求和:
Sn
考点三:
分组划归法
111
1++的和.
242
111
例三:
求数列1,1,1-
224
变式1:
5,55,555,5555,∙∙∙,-(10n-1),…;
9
变式2:
13,24,35,,n(n2)「;
变式3:
数列1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+22+∙∙∙+2「1),……前n项的和是()
A.2nB.2n—2C.2n+1—n—2D.n2n
考点四:
奇偶求合法
例四:
Sn=1-357(T)n'(2n-1)
变式1求和:
SrI∙w•…(-1)n((4n-3)n∙n
变式2:
已知数列{an}中a1=2,an+0n1=1,Sh为{an}前n项和,求Sn
变式3:
已知数列{an}中a1=1,a2=4,an=a∩-2+2(n≥3),Snl为{an}前n项和,求SI
考点五:
裂项相消法
ZtIIII
例五:
{an}为首项为aι,公差为d的等差数列,求Sn:
变式2:
数列通项公式为an
求该数列前
n项和
3-132a?
a3a3a4a^^an
变式3:
:
(2n)2
(2n-1)(2n1)
考点六:
分类讨论法
例六:
在公差为d的等差数列{a*}中,已知aι=10,且aι,2a?
+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
⑵若d<0,求|ai|+|a2∣+|a3∣+∙∙∙+|an|.
变式1在等差数列{a*}中,ai6-a仃■ai8=ag--36,其前n项和为Sn.
(1)求Sn的最小值,并求出Sn的最小值时n的值;
(2)求Trl=印+a?
]+…+an.
变式2:
设数列{an}满足ai-5,ani=2anWn1,已知存在常数p,q使数列
{an+pn+q}为等比数列•求a1+a2+…÷an.
、1
变式3:
已知等比数列{an}中,a1=64,q=,设bn=log2an,求数列{∣bn|}的前n项和Sn.
2
答案及解析
考点一
例一:
等差数列求和
Sn=a1∙a?
:
:
;…:
:
;‘an
=a1(a1d)--[a1(n-1)d]①
把项的次序反过来,则:
Sn=an'(an-d)[an-(n-1)d]②
①+②得:
n个
2Sn=Qan(aιa.)“印an)
=n佝an)
n(aιan)
2
变式1:
思路分析:
由Cm=Cnld可用倒序相加法求和。
证:
令Sn=Cnl+3C11+5C:
十…÷(2n+1)Cnn
(1)
则Sn=(2n1)C:
(2n-1)C:
5C;3C:
Cnl⑵
n-m
n
(1)⑵有:
2Sn=(2n2)Cl(2n2)C:
(2n2)C「(2n2)Cn
■Sn-(n1)[C∏C1C2-C;^(n1)2n等式成立
变式2:
设S=Sin21sin22Sin23sin289,
又∙.∙S=Sin289sin288Sin287亠亠Sin21,
C89
∙∙∙2S-89,S=——.
2
考点二
例二:
Sn=12x3x2nxn'(x=O)
解:
①若x=1,则Sn=1+2+3+∙∙∙+n=
n(n1)
2
②若χ≠1,则Sh=1∙2x∙3χ2•…∙nχn'
23h
XSn=X2x3x「-nx
两式相减得:
(1_x)Sn=IXX+…+χnj1_nxh
n
1-x
-nx
nn
S1-xnx
变式1:
思路分析:
已知数列各项是等差数列1,3,5,…2n-1与等比数列a0,a,a2,…,an^1对应项
积,可用错位相减法求和。
解:
Sn=13a5a2(2n-1)anj1
aSn=a3a25a(2n-1)an2
1-2:
(^a)Sn=12a2a22a32an'-(2n-1)an
Sn
1a-(2n1)an(2n-1)an1
两式相减得
(1_a)Sn=aa2a3…an_na
n1a(1-a
n)
-nan1,
∙Snan^-(n+1)an*+a
…Sn—
(1-a)2
变式3:
SnJ
a
解:
⑴
3n
+p+…+—
3n
aa
a=1时,Sn
n(n1)
Sn
=I
a
_2_
a2
1
—+
a2
1Sn
a
由①一②得:
1
(I)Sn
a
所以
Sn
A
a3
a3
(1-
亠•亠n
an
n—1_+
an
1n)
a
a(an-1)
an1
-n(a1)
an(a-1)2
综上所述,
n(n1)
SI=
2
-1)-n(a-1)
a(an
n.八2
a(a-1)
a=1)
考点三
例三:
1
求数列1,21-,1
111+
24
1
+产的和.
11
解:
•••
an=1丄1
24
1心
22
1-1
11
=(2-I)(^i)(^^)
=2n_(111…」
24
2心
1
=2n_2~rr
2
变式1:
n个n个
I.r⅜≡-a厂I-r⅜≈-a
5
Sn=555555555(99999—999)
=5[(10-1)(102-1)(103一1)"-h(1On-1)]
9
523n50n5
[1010210310n-n](10n-1)n.
9819
变式2:
2
τn(n2)=n2n,
2222n(n+1)(2n+7)
•••原式=(122232-n2)2(123…n)≡
6
变式3:
C
考点四
例四:
解:
当n=2k(kN+)时,
&=S2k=(1-3)(5-7)
■-[(4k-3)-(4k-1)]
=-2k=-n
当n=2k-1(kN.)时,
S^=S>k4=S2k-a2k=-2k-[-(4k-I)]
=2k-1
=n
综合得:
S1=(-1)n1n
变式1:
解:
当n为偶数时:
Sn=:
i1_5■9_13「..亠「.n_-:
n-4--:
n
n-1
当n为奇数时:
S=(1书严(9一13)七十(4n曲]+(处3)二~(-4^(4n-3)=2n_i
变式2:
解:
①当n为偶数时:
aIa2a3a4•….an」an
FIa2)伽E…乩石专V
②当n为奇数时:
S=α■(a2a3)(a4a5)(an」■an)
=2
22
变式3:
解:
∙an-a∣n-2=2(n≥3)
②n为偶数时:
Sn=(123…n)-2
2
∙∙∙aι,a3,a5,…,a2n-ι为等差数列;a2,a4,a6,…,a2n为等差数歹U
①n为奇数时:
考点五
例五:
解:
...1_1=1_ak∙d-ak
akak1ak(akd)da/akd)
d'akakd八&
da?
da?
a3
111
+…+-(——-—)dan1an
111
d[(---)
a?
a?
a3
11
()]
a
anJan
da1
IT
a1[a1(n-1)d]
变式1:
ak
2
(2k)(2k-1)(2k1)
2
(2k)-11=1.1才1(丄
(2k-1)(2k1)(2k-1)(2k1)22k-1
1
2k1
111
)"n尹「)
2n1
2n1
2n(n1)
2n1
变式2:
考点六
例六:
2
解:
(1))由题意得aι∙5a3=(2a2+2),即d-3d—4=0.
所以d=-1或d=4.
所以an=—n+11,n∈N或an=4n+6,n∈N.
n+11,则
(2)设数列{an}的前n项和为S.因为d<0,由
(1)得d=—1,an=—当n≤11时,∣a1|+|a2∣+阴+∙∙∙+Ianl
1221
=—尹+尹
t丄1221
110.
当n≥12时,|a1∣+|a2∣+|a3∣+…+|an|=—Sn+2S1=^n—㊁n,
1221
—尹+尹n≤11,综上所述,|a1∣+|a2∣+|a3∣+∙∙∙+|an|=
1221
n—n+110,n≥12.
.22
变式1:
2*1
3n211^60,n3
变式2:
变式3:
nd7-n
解:
an=a1q=2
CO
OVUq甘卜AU≡Q)
Cxl
ZU-US甘旨
u—卜“Ue⅛0-HUq•••
111
∙∙∙Sn=1(11)(V1丄)
224
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