1、数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐docx17数列前n项和求法知识点一倒序相加法特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中an a1 anj a ,具有这样特点的数列.思考： 你能区分这类特征吗？知识点二 错位相减法特征描述：此种方法主要用于数列 anbn的求和，其中an为等差数列，bn是公比为q的等比数列，只需用 Srl -qSn便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论 q=1和q 1两种情况.思考：错位时是怎样的对应关系？知识点三 分组划归法1 1 1特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如 1, 1 , 1亠 亠, 2 2 41 1 11 +需,可将其通项写成等比、等差等我们熟
2、悉的数列分别进行求和，再综2 4 2合求出所有项的和.思考：求出通项公式后如何分组？知识点四 奇偶求合法特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列例如Sn=d -3 5 7川川(-1)2(2n -1),要求Sn,就必须分奇偶来讨论，最后进行综合.思考：如何讨论？1 1 1特征描述：此方法主要针对 这样的求和，其中an是等差数列.aia2 a2a3 an Jan思考：裂项公式你知道几个？知识点六 分类讨论法特征描述：此方法是针对数列an的其中几项符号与另外的项不同， 而求各项绝对值的和的 问题，主要是要分段求 思考：如何表示分段求和?考点一倒序相加法例题1：等差数列求和Sn =a1 a2
3、 an变式 1：求证：c： 3Cn 5C2 (2n 1)Cn = (n 1)2n变式 2：数列求和 Sin 1 sin 2 sin 3 Sin 89考点二错位相减法例题2：试化简下列和式： Sn -1 2x 32亠亠nn(xO)变式1:已知数列1,3a,5a2, ,(2n -1)an4(j 0),求前n项和。变式3：求和：Sn考点三：分组划归法1 1 11 + + 的和.2 4 21 1 1例三：求数列1, 1 , 1 -2 2 4变式1:5, 55, 555, 5555, -(10n -1),；9变式2：1 3,2 4,3 5, ,n(n 2)；变式3：数列 1,(1+2),(1+2+22)
4、,(1+2+2 2+ +21),前 n 项的和是 ( )A. 2 n B. 2 n 2 C. 2 n+1 n 2 D. n2n考点四:奇偶求合法例四：Sn =1 -3 5 7 (T)n(2n -1)变式 1 求和：SrIw (-1 )n(4n-3) n n变式2：已知数列an中a1=2, an+0n1=1, Sh为an前n项和，求Sn变式3：已知数列an中 a1=1， a2=4， an=a-2+2 (n3)， Snl为an前 n 项和，求 SI考点五：裂项相消法Z t IIII例五：an为首项为a,公差为d的等差数列，求 Sn :变式2：数列通项公式为an求该数列前n项和3-132 a?a3
5、a3a4 aan变式3：:(2n)2(2n -1)(2n 1)考点六：分类讨论法例六：在公差为d的等差数列a*中，已知a= 10,且a, 2a? + 2, 5a3成等比数列.(1)求 d, an； 若 dk4 =S2k -a2k = -2k -(4k -I)=2k -1=n综合得：S1=( -1)n1n变式1:解：当 n 为偶数时：Sn=：i1_5 9_13.亠.n _ - ：n -4 -：nn-1当 n 为奇数时：S =(1 书严(9一13)七十 (4n曲+(处3)二(-4(4n-3)= 2n_i变式2:解：当n为偶数时：aI a2 a3 a4 .ananFI a2)伽E乩石专V当 n 为奇
6、数时：S = (a2 a3)(a4 a5) (an an)=22 2变式3:解： an-an-2=2 (n3)n为偶数时:Sn=(1 2 3 n) - 22 a,a 3,a 5,a 2n-为等差数列；a2,a 4,a 6,a 2n为等差数歹Un为奇数时:考点五例五：解：.1 _ 1 = 1 _ak d - akakak 1 ak(ak d) d a/ak d)d ak ak d 八&d a? d a? a31 1 1+-(-) d an 1 an1 1 1d(-)a? a? a31 1( )aan J and a1ITa1a1 (n - 1)d变式1:ak2(2k) (2k -1)(2k 1)
7、2(2k)-11 =1 . 1 才 1(丄(2k -1)(2k 1) (2k-1)(2k 1) 2 2k -112k 11 1 1)n 尹)2n 12n 12n(n 1)2n 1变式2:考点六例六：2解：(1)由题意得 a 5a3= (2a2+ 2), 即 d - 3d 4 = 0.所以d=- 1或d = 4.所以 an= n + 11, n N或 an= 4n + 6, n N.n+ 11,则(2)设数列an的前n项和为S.因为d0,由(1)得d = 1, an= 当 n 11 时，a 1| + |a 2 + 阴 + Ianl1 2 21=尹+尹t 丄 1 2 21110.当 n 12 时，|a 1 + |a 2 + |a 3 + |a n| = Sn + 2S1 = n n，1 2 21尹 + 尹 n 11, 综上所述，|a 1 + |a 2 + |a 3 + |a n| =1 2 21n n + 110, n 12.2 2变式1:2* 13n2 1160,n 3变式2:变式3:nd 7 -n解：an =a1 q =2COOVUq 甘卜AUQ)CxlZU -US甘旨u 卜“ Ue0- H Uq 1 1 1 Sn =1 (1 1) (V 1 丄)2 2 4
