数列求和方法(带例题和练习题).doc
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数列的求和
数列求和主要思路:
1.求数列的和注意方法的选取:
关键是看数列的通项公式;
2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3.转化思想的运用;
数列求和的常用方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
3、4、
5、
公式法求和注意事项
(1)弄准求和项数的值;
(2)等比数列公比未知时,运用前项和公式要分类。
例1.求和()
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
例2.求和:
例3.求数列前n项的和.
三、倒序相加法
如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发,如等差数列的前n项和就是此法推导的
例4.求的值
例4变式训练1:
求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.
例4变式训练2:
数列{an}:
,求S2002.
例4变式训练3:
在各项均为正数的等比数列中,若的值.
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例5.已知数列的通项公式,求数列的前n项和。
例5变式训练1:
求之和.
例5变式训练2:
求数列的前n项和:
;
例6.求数列的前n项和:
,…
五、裂项相消法:
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)
若为等差数列,公差为d,则;
(4)
(5)
(6)
(7)
例7.求数列的前n项和.
例8.在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
例8变式训练1:
求数列的前n项和:
;
参考答案:
例2解:
时
………………………①
设……………………….②(设制错位)
①-②得(错位相减)
∴
时略
例3解:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②(设制错位)
①-②得(错位相减)
∴
例4.解:
设………….①
将①式右边反序得
…………..②(倒序)
又因为
①+②得(反序相加)
=89
∴S=44.5
例4变式训练1:
解:
设Sn=cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°
∵(找特殊性质项)
∴Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+···
+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)
=0
例4变式训练2:
解:
设S2002=
由可得
……
∵(找特殊性质项)
∴ S2002=(合并求和)
=
=
=
=5
例4变式训练3:
解:
设
由等比数列的性质(找特殊性质项)
和对数的运算性质得
(合并求和)
=
=
=10
例5.略
例5变式训练1:
解:
由于(找通项及特征)
∴
=(分组求和)
=
=
=
例5变式训练2:
∵,
∴……
例6.解:
设
将其每一项拆开再重新组合得
(分组)
当a=1时,=(分组求和)
当时,=
例7.解:
设(裂项)
则(裂项求和)
=
=
例8.解:
∵
∴(裂项)
∴数列{bn}的前n项和
(裂项求和)
==
例8变式训练1:
∵,
∴.
数列求和练习
一、选择题
1.设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和= ( )
A. B. C. D.
2.等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列。若=1,则= ( )
A.7 B.8 C.15 D.16
3.数列,……的前n项和为 ( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列中,,记,则的值为 ( )
A.130 B.260 C.156 D.168
5.等差数列的前n项和为,已知,,则 ( )
A.38 B.20 C.10 D.9
6.等差数列是5,中,第n项到n+6项的和为,则当最小时,n的值为 ( )
A.6 B.4 C.5 D.3
7.等差数列中,是其前项和,,,则的值为
8.将二进制数转换成十进制是 ( )
A. B. C. D.
9.设等比数列的前n项和为,且,则下列等式成立的是 ( )
A. B. C.D.
10.已知二次函数,当n依次取时,其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为 ( )
A.1 B. C. D.
11.数列的前项和 ( )
A. B. C. D.
12.等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,对一切自然数n,都有=,则等于()
A. B. C. D.
13.数列的通项公式是,若前n项的和为10,则项数n为 ( )
A.11 B.99 C.120 D.121
14.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
15.数列{}的前n项和为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
16.等差数列{}前n项和为。已知+-=0,=38,则m=_______
17.已知,且对任意正整数若,则,则_____________。
18.数列中,=__________.
19.列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的11项和为_____
20.数列的前n项和,则.
21.已知等差数列的前次和为,且,则过点和()的直线方向向量的坐标可以是_____________.
22.已知数列的前项和,则数列的前项和
23.在数列则数列{bn}的前n项和为;
24.在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________。
25.在小时候,我们就用手指练习过数数.一个小朋友按如图所示的规则练习数数,数到2008时对应的指头是。
(填出指头的名称,各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).
三、解答题
26.设等差数列的前项和为,若,且它的前项的平均值是.
(1)求等差数列的公差;
(2)求使成立的最小正整数.
27.已知数列是等差数列,且,是数列的前项和.
(Ⅰ)求数列的通项公式及前项和;
(Ⅱ)若数列满足,且是数列的前项和,求与.
28.已知正项数列中,前项和。
(1)求证:
数列是等差数列;
(2)若,求数列的前项和的最小值。
29.在等比数列{an}中,,公比,且,a3与a5的等比中项为2。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Sn,当最大时,求n的值。
30.已知等差数列,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设使得对任意的;若不存在,请说明理由.
专题24数列求和参考答案
一、选择题
数列求和练习第9页共11页
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.C
7.C
8.C
9.D
10.B
11.D
12.B
13.C
14.D
15.C
二、填空题
16.10
17.1000
18.2600
19.-66
20.66
21.2
22.23.24.25.食指
三、解答题
26.解:
(1)
(2)∵
∴且,∴使成立的最小正整数为7
27.解:
(Ⅰ)设数列的公差为,由题意可知:
解得:
∴
(Ⅱ)
28.解:
(1)当时,,
整理得:
,∵数列是正项数列,∴,
∴,∴(),
∴数列是等差数列。
(2)∵,,
∴当时,。
29.解:
(1),
又,
又的等比中项为2,,
而,
,
(2),,
为首项,-1为公差的等差数列。
,
;当;当,
最大。
30.解:
(I)由题意得,
整理得
(II)
假设存在整数总成立。
又,
是单调递增的。
又的最大值为8。
数列求和第11页共11页
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