第6讲平行四边形.docx
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第6讲平行四边形
第6讲平行四边形
第一部知识梳理
1.平行四边
(一)定义与性质
1.定义:
两组对边分别的四边形是平行四边形,平行四边形ABCD可写成____
2.平行四边形的性质:
⑴平行四边形的两组对边分别_______
⑵平行四边形的两组对角分别________
⑶平行四边形的对角线_________
(二)平行四边形的判定
⑴用定义判定
⑵两组对边分别的四边形是平行四边形
⑶一组对它的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别的四边形是平行四边形
⑸对角线的四边形是平行四边形
2,三角形中位线;三角形的中位线平行与第三边,且等于第三边的一半
第二部分精讲点拨
知识点一:
平行四边形的性质
【例1】证明平行四边形的对边相等;对角相等;等腰梯形在同一底上的两角相等;
【例2】如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:
△AEF≌△DFC.
【例3】如图,▱ABCD中,点E、F分别在AD、BC上,且ED=BF,EF与AC相交于点O,求证:
OA=OC.
变式训练
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,BE、CF交于点G.若使EF=14
AD,那么平行四边形ABCD应满足的条件是( )
A.∠ABC=60°B.AB:
BC=1:
4C.AB:
BC=5:
2D.AB:
BC=5:
8
2.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过O作OE⊥BD交BC于点E.若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为.
3.如图,在一个
知识点二:
平行四边形的判定
【例1】两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;
【例2】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
【例3】已知,如图,在▱ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.
(1)求证:
△AEM≌△CFN;
(2)求证:
四边形BMDN是平行四边形.
变式训练
1.如图,已知E、F分别是
2.如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD是对角线,将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置,试四边形AEBC的形状,并证明你的结论.
3.如图,在梯形ABCD中,CD∥AB,E是BC的中点,AE与DC的延长线交于点F连接AC、BF.
(1)在不添加辅助线的条件下,试找出一组全等三角形,并说明全等的理由;
(2)试四边形ABFC是一个什么四边形?
并说明你的理由.
知识点三:
三角形中位线
【例1】写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程.
命题:
的平行于的第三边并且等于第三边的一半.
已知:
如图,
求证:
证明:
【例2】求证:
的一条与第三边上的互相平分.
【例3】已知:
如图△ABC的三边长分别为a、b、c,它的三条组成一个新的,这个新的三条又组成了一个小.
(1)求这个小的周长.
(2)照上述方法继续做下去,到第n次时,这个小的周长是多少?
变式训练
1.在梯形ABCD,如图所示,AD∥BC,点E、F分别是AB、CD的点,连接EF,EF叫做梯形的.观察EF的置,联想的定理,请你猜想:
EF与AD、BC有怎样的置和数量关系并证明你的猜想.
2.已知的三个顶点是A(4,0)、B(6,7)、C(0,3).
(1)求BC边上的高所在直的方程;
(2)求与BC边平行的所在直的方程.(全部用一般式方程表示)
3.在证明性质“如图,已知EF是△ABC的,求证:
EF∥BC,EF=1/2BC
”时,小雨根据老师的引导给出了一种思路:
延长EF至D,使EF=DF,连接AD、CE,证明四边形AECD是平行四边形即可.
小婷思考后认为小雨的思路是正确的,可行的.
你能在这样的思路下完成证明吗?
请写出你的证明过程.
第三部分过关检测
一.选择题
1.(2012•杭州)已知平行四边形ABCD中,∠B=4∠A,则∠C=( )
A.18°B.36°C.72°D.144°
2.(2012•巴中)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行B.一组对边平行另一组对边相等
C.一组对边平行且相等D.两组对边分别相等
3.(2012•广元)若以A(-0.5,0)、B(2,0)、C(0,1)三点为顶点要画平行四边行,则第四个顶点不可能在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.(2012•益阳)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形
5.(2012•孝感)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB,AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG.有下列结论:
①∠BGD=120°;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④S△ABD=
AB2其中正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
二.填空题
1.(2012•成都)如图,将平行四边形ABCD的一边BC延长至E,若∠A=110°,则∠1=.
2.(2012•黑龙江)如图,已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点,请添加一个
条件使△ABE≌△CDF(只填一个即可).
3.(2012•咸宁)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BE平分∠ABC且交CD于E,E为CD的中点,EF∥BC交AB于F,EG∥AB交BC于G,当AD=2,BC=12时,四边形BGEF的周长为 .
4.(2012•沈阳)如图,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为 cm2.
5.(2012•深圳)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6
,则另一直角边BC的长为 .
三.解答题
1.(2012•湖州)已知:
如图,在▱ABCD中,点F在AB的延长线上,且BF=AB,连接FD,交BC于点E.
(1)说明△DCE≌△FBE的理由;
(2)若EC=3,求AD的长.
2.(2012•黄石)如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证:
∠DAE=∠BCF.
3.(2012•重庆)已知:
如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的长;
(2)求证:
AM=DF+ME.
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