人教A版高中选修21数学全册课时作业及评估检测 汇编130页含答案Word文档格式.docx
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如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;
如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,
∵a∥α,∴a∥c,∵a∥β,∴a∥d,∴d∥c,∵c⊂α,d⊄α,∴d∥α,
又∵d⊂β,∴d∥b,∴a∥b,选项C正确;
若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.
6.给定下列命题:
①若a>b,则2a>2b;
②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;
③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;
④直线x=是函数y=sinx的一条对称轴;
⑤在△ABC中,若·
>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
①是真命题;
②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;
③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”,故③为假命题;
④是真命题;
⑤·
=||||cos(π-B)>0,∴cosB<0,∴B为钝角,故⑤为真命题.
7.把命题“函数f(x)=sinx是奇函数”改写成“若p,则q”的形式是________________________________.
若一个函数是f(x)=sinx,则该函数是奇函数
8.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:
若函数f(x)=3+log2x的图象与g(x)的图象关于__________对称,则函数g(x)=________.(注:
填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形)
x轴 -3-log2x;
或y轴 3+log2(-x);
或(0,0) -3-log2(-x).(任选一种均可)
9.下列命题:
①若数列{an}是等比数列,则a2·
a4>0;
②当x=时,有sinx>cosx;
③若<1,则x>1;
④若a=(0,1),b=(0,-1),则a与b的夹角为0°
;
⑤函数y=log2x2在(1,+∞)上单调递增.
其中为真命题的是__________.(填序号)
易知①②⑤为真命题;
③中<1,解得x<0或x>1,故③为假命题;
④a与b反向,从而a与b的夹角为180°
,故④为假命题.
①②⑤
10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当ac>bc时,a>b;
(2)当m>时,mx2-x+1=0无实根;
(3)当ab=0时,a=0或b=0.
解:
(1)若ac>bc,则a>b.
∵ac>bc,c<0时,a<b,∴是假命题.
(2)若m>,则mx2-x+1=0无实根.
∵Δ=1-4m<0,∴是真命题.
(3)若ab=0,则a=0或b=0.真命题.
B组 能力提升
11.设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(a·
b)c=(c·
a)b;
②|a|-|b|<|a-b|;
③(b·
c)a-(c·
a)b不与c垂直;
④(3a+2b)·
(3a-2b)=9|a|2-4|b|2,是真命题的有( )
A.①②B.②③
C.③④D.②④
①错,数量积不满足结合律;
②对,由向量减法的三角形法则可知有|a|-|b|<|a-b|;
③[(b·
c)·
a-(c·
a)·
b]·
c=(b·
c)(a·
c)-(c·
a)(b·
c)=0.∴③错;
④对.
D
12.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )
A.a≥-3B.a>-3
C.a≤-3D.a<-3
∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3}.
又∵a∈A是假命题,即a∉A,∴a<-3.
13.已知A:
5x-1>a,B:
x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.
若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”,由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;
若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”,由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.
14.若命题p:
sinx+cosx>
m,命题q:
x2+mx+1>
0,对任意的x∈R,p和q都是真命题,求实数m的取值范围.
由题意知sinx+cosx>
m,x∈R恒成立,
即sin>
m,x∈R恒成立,∴m<
-.
又由x2+mx+1>
0,x∈R恒成立,
得Δ=m2-4<
0,即-2<
m<
2,综上可得,-2<
15.
(1)已知p:
≤0,求p为真命题时x的取值范围;
(2)q:
y=ax2-2x+1在[1,+∞)上为减函数,求q为真命题时,a的取值范围.
(1)由≤0,得即-2<x≤1.
∴p为真命题时,x的取值范围是(-2,1].
(2)当a=0时,y=-2x+1满足在[1,+∞)上为减函数;
当a≠0时,由已知可得可得a<0.
∴q为真命题时,a的取值范围是a≤0.
课时作业
(二) 四种命题 四种命题间的相互关系
1.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( )
A.若A∪B≠A,则A∩B≠B
B.若A∩B=B,则A∪B=A
C.若A∩B≠B,则A∪B≠A
D.若A∪B≠A,则A∩B=B
命题“若p,则q”的否命题为“若綈p,则綈q”,故A正确.
A
2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.若一个数是负数,则它的平方不是正数
B.若一个数的平方是正数,则它是负数
C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数
D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数
命题“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,故B正确.
3.命题:
“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是( )
A.若a,b都不是奇数,则a+b是偶数
B.若a+b是奇数,则a,b都是偶数
C.若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数
D.若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数
∵a,b都是奇数的否定为:
a,b不都是奇数,a+b是偶数的否定为:
a+b不是偶数,
∴逆否命题为:
若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数.
4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.
∵逆命题为“若a>-6,则a>-3”,∴逆命题为假命题,∴否命题为假命题.从而真命题的个数是2.
5.已知命题p:
垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是( )
A.p真,q真B.p假,q假
C.p真,q假D.p假,q真
当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α,故p为假命题.
易知p的否命题q:
若直线l不垂直于α内无数条直线,则l不垂直于α,易知q为真命题.
6.下列有关命题的说法正确的是( )
A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;
B中,sinβ=0时,cosβ=±
1,则逆命题为假命题,故B不正确;
D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.
7.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是________________.
“若p,则q”的否命题为“若綈p,则綈q”.
若a≤b,则2a≤2b-1
8.已知命题“若m-1<x<m+1,则1<x<2”的逆命题为真命题,则m的取值范围是________.
由已知,逆命题“若1<x<2,则m-1<x<m+1”为真命题.
∴∴1≤m≤2.
1≤m≤2
9.有下列四个命题,其中真命题有__________(只填序号).
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
④“若a>b,则ac2>bc2”的逆否命题.
①中逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题.
②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题.
③的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根,则q≤1”,为真命题,由Δ=4-4q≥0,得q≤1,
④中当c=0时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题.
综上可知①③是真命题.
①③
10.设M是一个命题,它的结论是q:
x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,M的逆否命题的结论是綈p:
x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
(1)写出M;
(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题.
(1)设命题M表述为:
若p,则q那么由题意知其中的结论q为:
x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.而条件p的否定形式綈p为:
x1+x2≠-2或x1x2≠-3,故綈p的否定形式即p为:
x1+x2=-2且x1x2=-3.所以命题M为:
若x1+x2=-2且x1x2=-3,则x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.
(2)M的逆命题为:
若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2且x1x2=-3.
逆否命题为:
若x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
否命题为:
若x1+x2≠-2或x1x2≠-3,则x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根.
11.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2
C.1D.0
原命题与逆否命题等价,而原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.原命题的逆命题为:
若y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数,显然此命题为假命题.又∵逆命题与否命题同真假,∴否命题为假.故选C.
12.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是__________.
设命题p为“若m,则n”,∴命题q为“若綈m,则綈n”,命题r为“若綈n,则綈m”.∴q与r是互逆命题.
互逆命题
13.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假.
(1)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(2)若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac<0,则该二次函数图象与x轴有公共点;
(3)在△ABC中,若a>b,则∠A>∠B.
(1)该命题为真命题.
逆命题:
若四边形是圆的内接四边形,则四边形的对角互补,为真命题.
否命题:
若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,为真命题.
逆否命题:
若四边形不是圆的内接四边形,则四边形的对角不互补,为真命题.
(2)该命题为假命题.∵当b2-4ac<0时,二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,因此二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无公共点.
若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点,则b2-4ac<0,为假命题.
若在二次函数y=ax2+bx+c中,b2-4ac≥0,则该二次函数图象与x轴没有公共点,为假命题.
若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点,则b2-4ac≥0,为假命题.
(3)该命题为真命题.
在△ABC中,若∠A>∠B,则a>b,为真命题.
在△ABC中,若a≤b,则∠A≤∠B,为真命题.
在△ABC中,若∠A≤∠B,则a≤b,为真命题.
14.将命题“正偶数不是素数”改写为“若p,则q”的形式,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
原命题:
若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题;
若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题;
若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题;
若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题.
15.设a,b,c为三个人,命题A:
“如果b的年龄不是最大,那么a的年龄最小”和命题B:
“如果c的年龄不是最小,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序是否能确定?
请说明理由.
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此我们应该从它的逆否命题来看.
由命题A可知,b不是最大时,则a是最小,∴c最大,即c>b>a;
而它的逆否命题也为真,“a不是最小,则b最大”为真,即b>a>c.
同理由命题B为真可得:
a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真命题,可知b>a>c.
因此a,b,c三人的年龄的大小顺序是:
b最大,a次之,c最小.
课时作业(三) 充分条件与必要条件
1.设x∈R,则“x>”是“2x2+x-1>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由2x2+x-1>0,可得x<-1或x>,∴“x>”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件.
2.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:
ax+2y-1=0与直线l2:
x+2y+4=0平行”的( )
C.充分必要条件
l1与l2平行的充要条件为a×
2=2×
1且a×
4≠-1×
1,得a=1,故选C.
3.设命题甲:
ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,命题乙:
0<a<1,则命题甲是命题乙成立的( )
B.充要条件
C.必要不充分条件
若ax2+2ax+1>0的解集为R,
则a=0或即a=0或
∴0≤a<1.
因此乙⇒甲,但甲D⇒/乙,
命题甲是命题乙成立的必要不充分条件.
4.已知α,β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β.命题p:
a与b无公共点;
命题q:
α∥β,则p是q的( )
如图,正方体中的a,b无公共点,但α,β相交.反之,显然α∥β⇒a与b无公共点.
5.函数f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是( )
A.a≥2 B.a≥3
C.a≥0D.a=6
f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上递减的充要条件是a≥2,则判断a≥0满足条件.
6.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的( )
当0<ab<1,a<0,b<0时,有b>;
反过来,b<,当a<0时,有ab>1.
∴“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必要条件,故选D.
7.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的__________条件.
当A∩B={4}时,m2=4,
∴m=±
2.
∴“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
充分不必要
8.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
∵方程有实数根,∴Δ=16-4n≥0,∴n≤4.
原方程的根x==2±
为整数,则为整数.
又∵n∈N*,∴n=3或4.
反过来,当n=3时,方程x2-4x+3=0的两根分别为1,3,是整数;
当n=4时,方程x2-4x+4=0的两根相等且为2,是整数.
3或4
9.已知a,b为两个非零向量,有以下命题:
①a2=b2;
②a·
b=b2;
③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是__________.(将所有正确命题的序号填在题中横线上)
显然a=b时,①②③均成立,即必要性成立.
当a2=b2时,(a+b)·
(a-b)=0,不一定有a=b;
当a·
b=b2时,b·
当|a|=|b|且a∥b时,a=b或a=-b,即①②③都不能推出a=b.
①②③
10.在下列各题中,p是q的什么条件(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)?
(1)p:
四边形对角线互相平分,q:
四边形是矩形;
(2)p:
x=1或x=2,q:
x-1=;
(3)p:
在△ABC中,∠A≠60°
,q:
sinA≠;
(4)p:
m>
0,q:
方程x2+x-m=0有实根.
(1)四边形对角线互相平分D⇒/四边形是矩形;
四边形是矩形⇒四边形对角线互相平分,所以p是q的必要不充分条件.
(2)x=1或x=2⇒x-1=;
x-1=⇒x=1或x=2.所以p是q的充要条件.
(3)在△ABC中,∠A≠60°
D⇒/sinA≠(如A=120°
时,sinA=);
在△ABC中,sinA≠⇒A≠60°
,所以p是q的必要不充分条件.
(4)m>
0⇒方程x2+x-m=0的Δ=1+4m>
0,即方程有实根;
方程x2+x-m=0有实根,即Δ=1+4m≥0D
0,所以p是q的充分不必要条件.
11.设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsinx<1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
由0<x<知0<sinx<1,若xsinx<1,则xsin2x<1;
若xsin2x<1,而xsinx不一定小于1.
12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
(1)a=0时适合.
(2)a≠0时显然方程没有零根.若方程有两异号的实根,则a<
0;
若方程有两个负的实根,则必须有解得0<
a≤1.
综上知:
若方程至少有一个负的实根,则a≤1;
反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
13.已知a,b是实数,求证:
a4-b4-2b2=1成立的充要条件是a2-b2=1.
证明:
(1)充分性:
若a2-b2=1成立,
则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2
=a2+b2-2b2=a2-b2=1,
所以a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件.
(2)必要性:
若a4-b4-2b2=1成立
则a4-(b2+1)2=0,
即(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0,
因为a,b为实数,所以a2+b2+1≠0,
所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1.
综上可知:
14.已知:
p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),解得1-m≤x≤1+m.
又由≤2,解得-2≤x≤10.
又p是q的充分不必要条件,
所以或解得m≥9.
课时作业(四) 简单的逻辑联结词
1.“xy≠0”是指( )
A.x≠0且y≠0 B.x≠0或y≠0
C.x,y至少一个不为0D.x,y不都是0
2.下列命题:
①矩形的对角线相等且互相平分;
②10的倍数一定是5的倍数;
③方程x2=1的解为x=±
1;
④3∉{1,2}.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A.1个 B.2个
C.3个D.4个
①中有“且”;
②中没有;
③中有“或”;
④中有“非”.故选C.
3.若条件p:
x∈A∩B,则綈p是( )
A.x∈A且x∉BB.x∉A或x∉B
C.x∉A且x∉BD.x∈A∪B
由p:
x∈A∩B,得p:
x∈A且x∈B,∴綈p是x∉A或x∉B.
4.设命题p:
函数y=sin2x的最小正周期为;
函数y=cosx的图象关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真B.綈q为假
C.p∧q为假D.p∨q为真
因周期T==π,故p为假命题.
因cosx的对称轴为x=kπ(k∈Z),
故q也为假命题,所以p∧q为假.
5.已知P:
2+2=5,Q:
3>2,则下列判断正确的是( )
A.“P∨Q”为假,“綈Q”为假
B.“P∨Q”为真,“綈Q”为假
C.“P∧Q”为假,“綈P”为假
D.“P∧Q”为真,“P∨Q”为假
由题意可知,P假、Q真,所以P或Q为真,P且Q为假,非Q为假,非P为真,故选B.
6.已知命题p:
所有有理数都是实数,命题q:
正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈p)∨qB.p∧qC.(綈p)∨(綈q)D.(綈p)∧(綈q)
命题p为真,q为假,故綈p为假,綈q为真,故选C.
7.由命题p:
正数的平方大于0,q:
负数的平方大于0组成的“p∨q”形式的命题为__________.
正数或负数的平方大于0
8.p:
<0,q:
x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围
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