特殊四边形培优习题精选及答案.doc
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特殊平行四边形习题精选
《特殊平行四边形习题精选》
1、矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则∠BOE=________°
2、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,△AOB的周长为,∠ABC=60º,则菱形ABCD的面积为__________
3、如图,矩形ABCD长为a,宽为b,若s1=s2=(s3+s4),则s4等于()
(A)(B)(C)(D)
4、菱形ABCD中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF=_________°
5、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上,,已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半,求∠MAN的度数。
6、如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点E处,求证:
EF=DF.
7、如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,E为BC的中点,求∠AED的度数;
8、如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边,延长AB到E,使AE=AC,以AE为一边作菱形AEFC,若菱形的面积为,求正方形边长;
9、如图AD是⊿ABC边BC边上的高线,E、F、G分别是AB、BC、AC的中点,求证:
四边形EDGF是等腰梯形;
10、如图1,正方形ABCD边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H。
(1)求证:
①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE。
(2)当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?
请说明理由。
11、如图,正方形ABCD中,过D做DE∥AC,∠ACE=30°,CE交AD于点F,求证:
AE=AF;
12、如图,在⊿ABC中,∠BAC=,AD⊥BC于D,CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC于F,求证:
四边形AEFG是菱形;
13、如图,正方形ABCD中,F在CD上,AE平分∠BAF,E为BC中点,求证:
AF=BC+CF
14、已知ΔABC中,E、F分别为AB、AC的中点,CD平分∠BCA交EF于D,
求证:
AD⊥DC
15、已知:
平行四边形ABCD中,AB+BC=11cm,∠A=150°,平行四边形ABCD的面积是15cm2,求AB,BC。
16、如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、
△BCE、△ACF,猜想:
四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论.
17、已知:
P是正方形ABCD对角线BD上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂足.
求证:
AP=EF.
18、如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)求证:
△ACD≌△CBF.
(2)点D在线段BC上何处时,四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°.
19、如图,在Rt⊿ABC中,∠C=,AC=AB,AB=30,矩形DEFG的一边DE在AB上,顶点G、F分别在AC、BC上,若DG:
GF=1:
4,求矩形DEFG的面积是;
20、如图,AC、BD是矩形ABCD的对角线,AH⊥BD于H,CG⊥BD于G,AE为∠BAD的平分线,交GC的延长线于E,求证:
BD=CE;
答案:
1、∵AE平分∠BAD∵∠BAE=45°∴△ABE是等腰直角三角形∴BE=BA∵∠BAE=45°,∠CAE=15°
∴∠BAO=60°∵OA=OB∴⊿ABO是等边三角形∴BA=OB=BE∴∠BEO=∠BOE∵∠EBO=∠CAD=30°∴∠BOE=75°
2、菱形对角线即角平分线∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°,即AB=2AO,设AO=x,则AB=2x,
则OB==x,即(3+)x=3+即x=1,∴菱形的对角线长为2、2,
故菱形ABCD的面积为S=×2×2=2.故答案为2.
3、解设BF=xEB=y
所以矩形ABCD面积=abs1=1/2a(b-x)s2=1/2b(a-y)s3=1/2xy
因为s1=s2=1/2(s3+s4)所以s1+s2=s3+s4=1/2ab所以s4=1/2ab-s3
s1=s2=1/4abs3=1/8ab所以s4=3/8ab
4、连AC,因为ABCD为菱形且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,所以AC=AD,∠FAD=∠BAD-∠BAE-∠EAF=120°-20°-60°=40°,而且,∠ACD=ADF=60°,所以三角形ACE全等于三角形ADF,所以AE=AF,又因为∠EAF=60°,所以三角形EAF为等边三角形。
所以∠AEF=60°,又因为∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF,而∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-20°=100°,所以∠CEF=180°-100°-60°=20°。
5、延长MB到点E使BE=DN,连接AE,易证△ADN≌△ABE,∠DAN=∠BAE,AN=AE
∴∠EAN=90°∵△CMN的周长等于正方形周长的一半∴MN=BM+DN=ME
∵AM=AM∴△EAM≌△NAM∴∠MAN=1/2∠EAN=45°
6、∵AE=AB=CD, ∠E=∠B=90°=∠D, ∠AFE=∠CFD,∴△AFE≌△CFD,∴EF=DF.
7、解:
取AD的中点F,连接EF,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∵BC=2AB,E为BC中点,∴AB=BE,
∴∠BAE=∠AEB,∵BE=AF,∴四边形ABEF是平行四边形
∴四边形ABEF是菱形,∴AB∥EF,∴∠BAE=∠AEF,
∴∠AEF=∠AEB,同理:
∠FED=∠CED,∴∠AED=∠AEF+∠FED=×180°=90°.
8、设正方形的边长为x,则AC=AE=x,菱形的面积为底×高,x•x=9,可求出x的长为3.即正方形边长为3.
9、∵E、F、G分别是BC、AB、AC的中点∴FG和EF均是⊿ABC的中位线∴FG//BC,EF//AC
∴四边形EFGC是平行四边形∴EF=CG,FG=CE∵⊿ADC是直角三角形,且DG为斜边中线
∴DG=½AC=CG∴EF=DG又∵ED=CE-CD=FG-CD<FG,ED//FG∴四边形EDGF是等腰梯形
10、当DGEF是平行四边形时,应该满足对边相等的条件,即EF=GD由于CEFG是正方形,故EF=CG从而可知此时有CG=GD,即G处于CD的中点位置。
证明:
当G运动到CD的中点时,由于CEFG是正方形,EF//CG//CD//GD,且EF=CG=GD=CE=GF连接GE、DF,则由于四边形DGEF的对边DG和FE平行且相等,故DGEF为平行四边形。
3).当BH垂直平分DE时,连接GE,则三角形GHD和三角形GHE为全等的直角三角形,即有GD=GE,另,由于GCEF为正方形,股GE=(根号下2)*CG,从而:
CD=(根号下2+1)*CG=1可求得CG=根号下2-1即:
G运动到CD的(根号下2-1)处时,BH垂直平分DE。
11、作EG⊥AC,G∈AC,则EG=DO[O是中心,ED‖AC],得到EG=AC/2.
∠GCE=30º,∴CE=2EG=AC,∠AEC=(180º-30º)/2=75º
∠AFE=∠BCE=45º+30º=75º=∠AEF.∴AE=AF
12、∵EF⊥BC ∠BAC=90°∴△AEC与△FEC同是直角三角形且共斜边CE又∵CE平分∠ACB∠ACE=∠FCE∴△AEC≌△FCE ∴AE=FE AC=FC∵AC=FC ∠ACE=∠FCE △ACG与△FCG共边CG∴△ACG≌△FCG∴AG=FG 加上AE=FE∴四边形AEFG是菱形
13、过点E作EM⊥AF,交AF于M∵AE是∠BAF的角平分线∴BE=EM故AB=AM∵E是BC的中点∴BE=EC∴EC=EM,又EF为公共边∴Rt△EFM≌Rt△EFC∴MF=FC∴AF=AM+MF=AB+FC而AB=BC(正方形的边)∴AF=BC+FC
14、证明:
因为E,F为重点所以EF//BC又CD为角C的平分线那么角EDC=角DCB=角FCD又因为AF=DF=FC那么设角DAF=∠1所以∠DAF=∠ADF=∠1设EDC=角DCB=角FCD=EDC=角DCB=角FCD=∠2又∠DFA=2∠2那么在三角形DAF中∠ADF+∠DAF+∠DFA=180即2∠1+∠2=180所以∠1+∠2=90度即∠ADF+∠FDC=90度所以AD⊥DC
15、AB=6,BC=5或AB=5,BC=6
16、证明:
四边形ADEF是平行四边形.连接ED、EF,
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形,∴AB=BD,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠DBE=∠ABC.∴△ABC≌△DBE.同理可证△ABC≌△FEC,∴AB=EF,AC=DE.
∵AB=AD,AC=AF,∴AD=EF,DE=AF.∴四边形ADEF是平行四边形.
17、证明:
如图,连接PC,∵PE⊥DC,PF⊥BC,四边形ABCD是正方形,
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°,∴四边形PECF为矩形,∴PC=EF,
又∵P为BD上任意一点,∴PA、PC关于BD对称,可以得出,PA=PC,所以EF=AP.
18、
(1)在△ACD和△CBF中,根据已知条件有两边和一夹角对应相等,可根据边角边来证明全等.
(2)当∠DEF=30°,即为∠DCF=30°,在△BCF中,∠CFB=90°,即F为AB的中点,又因为△ACD≌△CBF,所以点D为BC的中点.
证明:
(1)由△ABC为等边三角形,AC=BC,∠FBC=∠DCA,
在△ACD和△CBF中,
,
所以△ACD≌△CBF(SAS);
(2)当D在线段BC上的中点时,四边形CDEF为平行四边形,且角DEF=30度按上述条件作图,连接BE,在△AEB和△ADC中,AB=AC,∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°,即∠EAB=∠DAC,AE=AD,∴△AEB≌△ADC(SAS),又∵△ACD≌△CBF,∴△AEB≌△ADC≌△CFB,∴EB=FB,∠EBA=∠ABC=60°,∴△EFB为正三角形,∴EF=FB=CD,∠EFB=60°,又∵∠ABC=60°,∴∠EFB=∠ABC=60°,∴EF∥BC,而CD在BC上,∴EF平行且相等于CD,∴四边形CDEF为平行四边形,∵D在线段BC上的中点,∴F在线段AB上的中点,∴∠FCD=×60°=30°则∠DEF=∠FCD=30°.
19、100
20、证明:
四边形ABCD是矩形∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90º又∵AD=DA∴⊿BAD≌⊿CDA(SAS)∴∠ABD=∠DCA∵AH⊥BD∴∠BAH=90º-∠ABD∵∠CAD=90º-∠DCA∴∠BAH=∠CAD∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE=45º∴∠HAE=45º-∠BAH,∠CAE=45º-∠CAD∴∠HAE=∠CAE∵CG⊥BD∴AH//CG∴∠E=∠HAE∴∠E=∠CAE∴AC=CE∵BD=AC【矩形对角线相等】∴BD=CE
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