高中数学第一章集合122集合的运算学案新人教B版必修1Word下载.docx
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阅读教材P17“图1-4”以下~P17“例5”以上部分,完成下列问题.
交集的运算性质
并集的运算性质
A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
A∩A=A
A∪A=A
A∩∅=∅
A∪∅=A
A⊆B⇔A∩B=A
A⊆B⇔A∪B=B
(1)集合M={直线}与集合N={圆}无交集.( )
(2)两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数.( )
(3)若A∩B=C∩B,则A=C.( )
【解析】
(1)∵M∩N=∅,∴
(1)对.
(2)∵A∪A=A∩A,∴
(2)错.
(3)设A={0,1},B={1},C={1,2},则A∩B=C∩B,但A≠C,故(3)错.
【答案】
(1)√
(2)×
[小组合作型]
求并集
(1)若集合M={-1,0,1},集合N={0,1,2},则M∪N=( )
A.{0,1}B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
(2)已知集合P={x|x<
3},集合Q={x|-1≤x≤4},则P∪Q=( )
A.{x|-1≤x<
3}B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
【精彩点拨】
(1)集合M和集合N都是含有三个元素的集合,把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可,注意不要违背集合中元素的互异性.
(2)欲求P∪Q,只需将P,Q用数轴表示出来,取它们所有元素构成的集合,即得P∪Q.
【自主解答】
(1)因为M={-1,0,1},N={0,1,2},
所以M∪N={-1,0,1}∪{0,1,2}={-1,0,1,2}.
(2)P={x|x<
3},Q={x|-1≤x≤4},如图,P∪Q={x|x≤4}.
【答案】
(1)D
(2)C
1.若集合中元素个数有限,则直接根据并集的定义求解,但要注意集合中元素的互异性.
2.若集合中元素个数无限,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值的取舍.
[再练一题]
1.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为______.
【解析】 ∵A={1,2,3},B={2,4,5},∴A∪B={1,2,3,4,5},
∴A∪B中元素个数为5.
【答案】 5
求交集
(1)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B=( )
A.{x|2<x<5} B.{x|x<4或x>5}
C.{x|2<x<3}D.{x|x<2或x>5}
(2)设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.6B.5
C.4D.3
【精彩点拨】
(1)欲求A∩B,只需将A,B用数轴表示出来,找出它们的公共元素,即得A∩B.
(2)用列举法表示{x∈Z|1≤x≤5}即可.
【自主解答】
(1)A={x|2<
x<
4},B={x|x<
3或x>
5},
如图A∩B={x|2<
3}.
(2)∵A={x|1≤x≤5},Z为整数集.
∴A∩Z={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5}.
【答案】
(1)C
(2)B
求两个集合的交集时,要注意:
1求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.
2若集合中元素个数无限,常借助数轴,把集合表示在数轴上,利用交集的定义求解,这样处理比较形象直观.
2.若A={x|x2=1},B={x|x2-2x-3=0},则A∩B=________.
【解析】 ∵A={x|x2=1}={-1,1},B={x|x2-2x-3=0}={-1,3},∴A∩B={-1}.
【答案】 {-1}
[探究共研型]
并集、交集的运算性质及应用
探究1 设A、B是两个集合,若已知A∩B=A,A∪B=B,由此可分别得到集合A与B具有什么关系?
【提示】 A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B,即A∩B=A,A∪B=B,A⊆B三者为等价关系.
探究2 若A⊆B,那么集合A是否可能为空集?
【提示】 因为空集是任何集合的子集,所以集合A有可能为空集.
探究3 集合{x|x2+2x-a=0}是否可能为空集,如果可能是空集,求出实数a的取值范围,若不可能,说明理由?
【提示】 集合{x|x2+2x-a=0}可能为空集.当方程x2+2x-a=0的判别式Δ=4+4a<
0,即a<
-1时,方程x2+2x-a=0无解,则集合{x|x2+2x-a=0}为空集.
设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
【精彩点拨】
(1)根据条件A∩B={2},得2∈B,建立方程即可求实数a的值.
(2)A∪B=A等价为B⊆A,然后分别讨论B,建立条件关系即可求实数a的取值范围.
【自主解答】
(1)由题可知:
A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,
将2带入集合B中,得4+4(a-1)+a2-5=0,解得a=-5或a=1.
当a=-5时,集合B={2,10},符合题意;
当a=1时,集合B={2,-2},符合题意.
综上所述:
a=-5,或a=1.
(2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={1,2},∴B=∅或B={1}或{2}或{1,2}.
①若B=∅,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3,
②若B={1},则
即
不成立.
③若B={2},则
不成立,
④若B={1,2},
则
此时不成立,
综上a>3.
1.在进行集合运算时,若条件中出现A∩B=A或A∪B=B,应转化为A⊆B,然后用集合间的关系解决问题,并注意A=∅的情况.
2.集合运算常用的性质
(1)A∪B=B⇔A⊆B;
(2)A∩B=A⇔A⊆B;
(3)A∩B=A∪B⇔A=B等.
3.利用集合的并、交求参数的值或范围时,要注意检验集合元素的互异性.
3.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值集合.
【解】 A={1,2},∵A∪B=A,
∴B⊆A,故分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
(1)B=∅时,方程x2-4x+a=0无实数根,
则Δ=16-4a<
0,解得a>
4.
(2)B≠∅时,当Δ=0时,a=4,B={2}⊆A满足条件;
当Δ>
0时,若1,2是方程x2-4x+a=0的根,
由根与系数的关系知矛盾,无解,所以a=4.
综上,a的取值集合为{a|a≥4}.
1.设集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B=( )
A.{2,3}B.{0,1}
C.{0,1,4}D.{0,1,2,3,4}
【解析】 因为集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},所以A∩B={2,3},故选A.
【答案】 A
2.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5},则A∪B=( )
A.(2,3)B.[-1,5]
C.(-1,5)D.(-1,5]
【解析】 ∵集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5},∴A∪B={-1≤x≤5}.故选B.
3.已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是( )
A.2B.3
C.4D.8
【解析】 由M∪N={-1,0,1},得到集合M⊆M∪N,且集合N⊆M∪N,
又M={-1,0},所以元素1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.故选C.
【答案】 C
4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则( )
A.a=3,b=2B.a=2,b=3
C.a=-3,b=-2D.a=-2,b=-3
【解析】 ∵A∩B={(2,5)},∴
解得
故选B.
5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},求:
(1)A∪B;
(2)C∩B.
【解】
(1)由集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},把两集合表示在数轴上如图所示:
得到A∪B={x|2<x<10}.
(2)由集合B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},
则C∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
第2课时 补集及其综合应用
1.了解全集的含义及其符号表示.(易错点)
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(重点、难点)
3.熟练掌握集合的交、并、补运算.(重点)
教材整理1 全集与补集
阅读教材P18“补集”以下部分,完成下列问题.
1.全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定集合为全集,通常用符号U表示.
2.补集
自然语言
如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,记作∁UA,读作A在U中的补集.
符号语言
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
图形语言
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×
(1)一个集合的补集一定含有元素.( )
(2)集合∁ZN与集合∁ZN+相等.( )
(3)集合A与集合A在集合U中的补集没有公共元素.( )
【解析】
(1)∵∁UU=∅,∴
(1)错;
(2)∵0∉∁ZN,而0∈∁ZN+,∴
(2)错;
(3)由补集定义知(3)正确.
(3)√
2.已知M={x|x>1},N={x|x>2},则∁MN=________.
【解析】 由补集定义可得
∁MN={x|1<x≤2}.
【答案】 {x|1<x≤2}
3.已知全集为R,集合A={x|x<
1,或x≥5},则∁RA=
________.
【解析】 如图所示,集合A={x|x<
1,或x≥5}的补集是∁RA={x|1≤x<
5}.
【答案】 {x|1≤x<
5}
教材整理2 补集的性质
阅读教材P19“例6”以上部分,完成下列问题.
1.A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A.
2.∁UA∩∁UB=∁U(A∪B),∁UA∪∁UB=∁U(A∩B).
设全集为U,A={1,2,4,5},∁UA={3},则U等于( )
A.∅ B.{1,2,4,5}
C.{1,2,3,4,5}D.{3}
【解析】 因为A∪∁UA=U,所以U={1,2,3,4,5}.
求补集
(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则∁UA=( )
A.∅B.{1,3,6,7}
C.{2,4,6}D.{1,3,5,7}
(2)已知全集U={x|x>
0},∁UA={x|1<
x≤2},则A=________.
【精彩点拨】
(1)根据补集的定义求解;
(2)利用补集的性质求解.
【自主解答】
(1)∵全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则由集合的补集的定义可得∁UA={1,3,6,7},故选B.
(2)A=∁U(∁UA)={x|0<
x≤1,或x>
2}.
【答案】
(1)B
(2){x|0<
2}
如果全集及其子集是用列举法表示的,可根据补集的定义求解,如果较为复杂,还可借助于Venn图求解;
如果全集及其子集是用不等式表示的,常借助于数轴求解.
1.
(1)设全集U={1,2,3,4},且M={x∈U|x2-5x+p=0},若∁UM={2,3},则实数p的值为( )
A.-4B.4
C.-6D.6
(2)已知A={x||x|<
4,x∈Z},B={-2,1,3},则∁AB=________.
【解析】
(1)由全集U={1,2,3,4},∁UM={2,3},得到集合M={1,4},即1和4是方程x2-5x+p=0的两个解,则实数p=1×
4=4.
(2)易知A={-3,-2,-1,0,1,2,3},
所以∁AB={-3,-1,0,2}.
【答案】
(1)B
(2){-3,-1,0,2}
集合并、交、补集的综合运算
(1)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x|x≥3},则图121中阴影部分所表示的集合为( )
图121
A.{0,1,2}B.{0,1}
C.{1,2}D.{1}
(2)已知集合A={x|x≥-2},集合B={x|-2≤x≤2},则集合∁RB∩A=________.
【精彩点拨】
(1)由图观察阴影部分所代表的集合,然后求解.
(2)先求∁RB,借助于数轴求解;
【自主解答】
(1)由题意,阴影部分表示A∩∁UB.
因为∁UB={x|x<
3},所以A∩∁UB={1,2}.
(2)因为B={x|-2≤x≤2},所以∁RB={x|x<
-2,或x>
2},∁RB∩A={x|x>
【答案】
(1)C
(2){x|x>
1.集合的交、并、补运算是同级运算,因此在进行集合的混合运算时,有括号的先算括号内的,然后按照从左到右的顺序进行计算.
2.当集合是用列举法表示时,如数集,可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合;
当集合是用描述法表示时,如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解.
2.已知全集U={x|1≤x≤8且x∈N*},集合A={1,2,5,7},B={2,4,6,7},求A∩B,∁UA∪B,A∩∁UB.
【解】 因为集合A={1,2,5,7},B={2,4,6,7},所以A∩B={2,7},
因为全集U={x|1≤x≤8且x∈N*},
则∁UA={3,4,6,8},∁UB={1,3,5,8},
所以∁UA∪B={2,3,4,6,7,8},A∩∁UB={1,5}.
根据补集的运算求参数的值或范围
探究1 如果“a∈∁UB”,那么元素a与集合B有什么关系?
“a∈A∩∁UB”意味着什么?
【提示】 如果“a∈∁UB”,那么a∉B.“a∈A∩∁UB”意味着a∈A且a∉B.
探究2 是否存在元素a,使得a∈A且a∈∁UA?
若集合A={x|-2<
x≤3},则∁UA是什么?
【提示】 不存在.若集合A={x|-2<
x≤3},则∁RA={x|x≤-2或x>
(1)已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩∁UA={2},A∩∁UB={4},U=R,求实数a,b的值;
(2)已知集合A={x|2a-2<
a},B={x|1<
2},且A
∁RB,求a的取值范围.
【精彩点拨】
(1)由条件可判断元素2和4所在的集合,代入到对应的方程中,解方程组可以解出实数a,b的值.
(2)求出∁RB,根据A
∁RB,列出不等式组,可求a的取值范围.
【自主解答】
(1)∵B∩∁UA={2},∴2∈B,但2∉A.∵A∩∁UB={4},∴4∈A,但4∉B.
∴
∴a,b的值分别为
,-
.
(2)∁RB={x|x≤1或x≥2}≠∅.
∵A
∁RB,∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.
①若A=∅,此时有2a-2≥a,∴a≥2.
②若A≠∅,则有
或
∴a≤1.
综上所述,a≤1或a≥2.
1.已知元素与已知集合补集的关系,一般要转化为元素与该集合的关系求解.
2.已知补集之间的关系求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
3.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1}且A⊆∁UB,求实数a的取值范围.
【解】 若B=∅,此时∁UB=R,且A⊆∁UB;
则a+1>
2a-1,所以a<
2,
若B≠∅,则a+1≤2a-1,
即a≥2,
此时∁UB={x|x<
a+1,或x>
2a-1},
由于A⊆∁UB,
如图,
5,∴a>
4,
所以实数a的取值范围为{a|a<
2,或a>
4}.
1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁UA=( )
A.{1,2}B.{3,4,5}
C.{1,2,3,4,5}D.∅
【解析】 ∵U={1,2,3,4,5},A={1,2},
∴∁UA={3,4,5}.
2.设全集U=R,集合A={x|1<
4},集合B={x|2≤x<
5},则A∩∁UB=( )
A.{x|1≤x<
2}B.{x|x<
C.{x|x≥5}D.{x|1<
【解析】 ∁UB={x|x<
2,或x≥5},A∩∁UB={x|1<
【答案】 D
3.已知A={x|x+1>
0},B={-2,-1,0,1},则∁RA∩B=( )
A.{-2,-1}B.{-2}
C.{-1,0,1}D.{0,1}
【解析】 因为集合A={x|x>
-1},所以∁RA={x|x≤-1},则∁RA∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}.
4.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a=________.
【解析】 ∵A={x|1≤x<a},∁UA={x|2≤x≤5},
∴A∪∁UA=U={x|1≤x≤5},
且A∩∁UA=∅,因此a=2.
【答案】 2
5.已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,∁UA∩∁UB,A∩∁UB,∁UA∪B.
【解】 法一 由已知易求得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8}.
∁UA={1,2,6,7,8},∁UB={1,2,3,5,6},
∴∁UA∩∁UB={1,2,6},A∩∁UB={3,5},
∁UA∪B={1,2,4,6,7,8}.
法二 画出Venn图,如图所示,可得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},∁UA∩∁UB={1,2,6},
A∩∁UB={3,5},∁UA∪B={1,2,4,6,7,8}.
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