特殊平行四边形典型例题解析题.doc
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特殊平行四边形典型例题解析题.doc
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一、参考例题
[例1]如下图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:
EO=FO
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并说明你的结论.
分析:
(1)要证明OE=OF,可借助第三条线段OC,即证:
OE=OC,OF=OC,这两对线段又分别在两个三角形中,所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形,由已知条件即可证明.
(2)假设四边形AECF是矩形,则对角线互相平分且相等,四个角都是直角.
由已知可得到:
∠ECF=90°,由
(1)可证得OE=OF,所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.
证明:
(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.
∴∠ACE=∠BCE,∠ACF=∠DCF
∵MN∥BC∴∠OEC=∠ECB,∠OFC=∠FCD
∴∠ACE=∠OEC,∠ACF=∠OFC
∴OE=OC,OF=OC∴OE=OF
(2)当点O运动到AC的中点时,即OA=OC
又由
(1)证得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
由
(1)知:
∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形.
因此:
当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
[例2]如下图,已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O,OF⊥AD于F,OF=3cm,AE⊥BD于E,且BE∶ED=1∶3,求AC的长.
分析:
本题主要利用矩形的有关性质,进行计算.即:
由矩形的对角线互相平分且相等;可导出BE=OE,进而得出AB=AO,即得出BE=OF=3cm,求出BD的长,即AC的长.
解:
∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3∴BE∶BO=1∶2∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°,∠FAO=30°∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3cm,∴BD=12cm∴AC=BD=12cm
二、参考练习
1.如图,有一矩形纸片ABCD,AB=6cm,BC=8cm,将纸片沿EF折叠,使点B与D重合,求折痕EF的长.
解:
连结BD、BE、DF由折叠的意义可知:
EF⊥BD,EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD,AD=BC,∠C=90°,AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合∴BO=DO,∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE∴ED=BF,∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形S菱形=×BD×EF=BF×CD
∵BF=DF,∴可设BF=DF=x则FC=8-x
在Rt△FCD中,根据勾股定理得:
x2=(8-x)2+62
x=∴EF=7.5
因此,折痕EF的长为7.5cm.
2.当平行四边形ABCD满足条件_________时,它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).
答案:
∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等条件中的任一个即可.
典型例题
例1 如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且,求:
(1)的度数;
(2)对角线AC的长;(3)菱形ABCD的面积.
分析
(1)由E为AB的中点,,可知DE是AB的垂直平分线,从而,且,则是等边三角形,从而菱形中各角都可以求出.
(2)而,利用勾股定理可以求出AC.(3)由菱形的对角线互相垂直,可知
解
(1)连结BD,∵四边形ABCD是菱形,∴
是AB的中点,且,∴
∴是等边三角形,∴也是等边三角形.
∴
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC与BD互相垂直平分,
∴
∴,∴
(3)菱形ABCD的面积
说明:
本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形,这个菱形有许多特点,通过解题应该逐步认识这些特点.
例2 已知:
如图,在菱形ABCD中,于于F.
求证:
分析 要证明,可以先证明,而根据菱形的有关性质不难证明,从而可以证得本题的结论.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴,且,∴,∴,
, ∴, ∴
例3已知:
如图,菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的一点,,,求的度数.
解答:
连结AC. ∵四边形ABCD为菱形,
∴,.
∴与为等边三角形. ∴
∵,∴ ∴
∴
∵, ∴为等边三角形. ∴
∵,
∴ ∴
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质,解题关键是连AC,证.
例4 如图,已知四边形和四边形都是矩形,且.
求证:
垂直平分.
分析 由已知条件可证明四边形是菱形,再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分.
证明:
∵四边形、都是矩形
∴,,,
∴四边形是平行四边形
∵,∴ 在△和△中
∴△≌△ ∴,
∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形
∴平分 ∴平分 ∵
∴垂直平分.
例5 如图,中,,、在直线上,且.
求证:
.
分析 要证,关键是要证明四边形是菱形,然后利用菱形的性质证明结论.
证明 ∵四边形是平行四边形
∴,,,∴
∵,∴
在△和△中 ∴△≌△ ∴
∵ ∴ 同理:
∴
∵ ∴四边形是平行四边形
∵ ∴四边形是菱形 ∴.
典型例题
例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍,那么这个平行四边形的四个内角各是多少度?
分析 根据平行四边形的对角相等,邻角互补可以求出四个内角的度数.
解 设平行四边形的一个内角的度数为x,则它的邻角的度数为3x,根据题意,得,解得,∴
∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°,135°,45°,135°.
例2 已知:
如图,的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,的周长比的周长多8cm,求这个平行四边形各边的长.
分析 由平行四边形对边相等,可知平行四边形周长的一半=30cm,又由的周长比的周长多8cm,可知cm,由此两式,可求得各边的长.
解 ∵四边形为平行四边形,∴
,∴
,∴
∴
答:
这个平行四边形各边长分别为19cm,11cm,19cm,11cm.
说明:
学习本题可以得出两个结论:
(1)平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.
(2)平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.
例3已知:
如图,在中,交于点O,过O点作EF交AB、CD于E、F,那么OE、OF是否相等,说明理由.
分析 观察图形,,从而可说明
证明 在中,交于O,∴
,∴,
∴,∴
例4 已知:
如图,点E在矩形ABCD的边BC上,且,垂足为F。
求证:
分析 观察图形,与都是直角三角形,且锐角,斜边,因此这两个直角三角形全等。
在这个图形中,若连结AE,则与全等,因此可以确定图中许多有用的相等关系。
证明 ∵四边形ABCD是矩形,∴,∴
,∴,
又,∴。
∴
例5O是ABCD对角线的交点,的周长为59,,,则________,若与的周长之差为15,则______,ABCD的周长=______.
解答:
ABCD中,,.
∴的周长
∴.
在ABCD中,. ∴
的周长-的周长
∴
∴ABCD的周长
说明:
本题考查平行四边形的性质,解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.
例6 已知:
如图,ABCD的周长是,由钝角顶点D向AB,BC引两条高DE,DF,且,. 求这个平行四边形的面积.
解答:
设.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴.
又∵四边形ABCD的周长为36,∴①
∵,
∴
∴ ②
解由①,②组成的方程组,得.
∴.
说明:
本题考查平行四边形的性质及面积公式,解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.
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