八年级下四边形动点问题.doc
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八年级下四边形动点问题.doc
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2012-11-23(周五)】 已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:
cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
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答案:
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE
∵EF垂直平分AC,垂足为O
∴OA=OC
∴△AOE≌△COF
∴OE=OF
∴四边形AFCE为平行四边形
∵EF⊥AC
∴四边形AFCE为菱形
设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得:
解得x=5
∴AF=5cm.
(2)①当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理:
当P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形.
只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,此时PC=QA.
∵PC=5t,QA=12-4t
∴5t=12-4t,解得t=
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒.
②由题意得,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.分三种情况:
i)当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12;
ii)当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12;
iii)当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
【2012-11-21(周三)】 如图,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,动点M从点D出发,按折线DCBAD方向以2cm/s的速度运动,同时动点N从点D出发,按折线DABCD方向以1cm/s的速度运动,相遇时停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)t为何值时,两点相遇?
(2)若点E在线段BC上,BE=1cm,当点M在BC边上时,
①t为何值时,以A、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
②t为何值时,以A、E、M、N为顶点的四边形是等腰梯形?
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答案:
解:
(1)∵矩形ABCD的周长为24cm
∴t+2t=24,t=8
∴t=8时两点相遇.
(2)
①∵点M在线段BC上
∴
如图,当时
∵AN与EM平行
∴只需AN=EM即可.
∵ND=t,DC+CM=2t
∴AN=8-t,CM=2t-4
∵BE=1
∴EC=7,EM=EC-MC=11-2t
∴8-t=11-2t
∴t=3
当时,
∵AN与EM平行
∴只需AN=EM即可
∵ND=t,DC+CM=2t
∴AN=8-t,CM=2t-4
∵BE=1
∴EC=7,EM=MC-EC=2t-11,
∴8-t=2t-11∴t=(舍去)
∴当t=3时,点A、E、M、N组成平行四边形.
②∵点M在边BC上
∴
当时,AN与EM平行,只需AE=NM即可.
过点N作NF⊥BC于点F,则BE=MF,
∵ND=t,CM=2t-4,CF=ND=t
∴MF=t-4
∵BE=1
∴1=t-4
∴t=5
当时,AN与EM平行,只需AM=EN即可.
过点N作NF⊥BC于点F,则BM=EF,
∵ND=t,CM=2t-4,CF=ND=t
∵BE=1
∴EC=7,EF=7-t,BM=BC-CM=12-2t,
∴7-t=12-2t
∴t=5(舍去)
综上所述,当t=5时,点A、E、M、N组成等腰梯形.
2012-11-20(周二)】 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=30°,AD=8cm,CD=16cm,BC=28cm.点P、Q分别是梯形某边上同时出发的动点,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点随之停止运动,其中点P移动的速度是1cm/s,点Q移动的速度是2cm/s.
(1)在图1中,点P从点A出发向点D移动,点Q从点C出发向点B移动,设移动的时间为t秒,t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
(2)在图2中,点P从点A出发向点D移动,点Q从点C出发向点D移动,设移动的时间为t秒,用关于t的式子表示△PQB的面积,并求出t的取值范围.
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答案:
解:
(1)由题意得:
∵PD∥CQ
∴当PD=CQ,四边形PQCD为平行四边形
∵AP=t,CQ=2t
∴PD=8-t
∴8-t=2t,t=
∴当t=时,四边形PQCD为平行四边形
(2)
如图,过点D作DE⊥BC于点E,过点Q分别作QF⊥AD延长线于点F,QG⊥BC于点G.
由题意得:
∵∠C=30°,CQ=2t,AD=8,AP=t,CD=16,BC=28
∴QG=t,PD=8-t,DQ=16-2t,∠QDF=30°
∴QF=8-t,DE=8
∴=(AD+BC)DE=144
=APDE=4t
=PDQF=
=BCQG=14t
∴=()
【2012-11-19(周一)】 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC于E,且DE=,AD=18,∠C=60°.
(1)BC= ;
(2)若动点P从点D出发,速度为2个单位/秒,沿DA向点A运动,同时,动点Q从点B出发,速度为3个单位/秒,沿BC向点C运动,当一个动点到达端点时,另一个动点同时停止运动,设运动的时间为t秒.
①t= 秒时,四边形PQED是矩形;
②t为何值时,线段PQ与梯形ABCD的边构成平行四边形?
③是否存在t值,使②中的平行四边形是菱形?
若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由.
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答案:
解:
(1)
如图,过A作AF⊥BC于点F
在Rt△DEC中,∠C=60°,DE=
∴DC=8,CE=4
∵梯形ABCD为等腰梯形
∴△ABF≌△DCE
∴BF=CE=4
∵EF=AD=18
∴BC=BF+EF+CE=26
(2)①由题意知
∵BQ=3t
∴QE=BE-BQ=22-3t
∵PD=2t,QE=PD
∴2t=22-3t
即t=
②∵P,Q分别在AD,BC上,
∴PQ只能与AB、DC两边组成平行四边形
当AP=BQ时,18-2t=3t
∴t=时,四边形ABQP为平行四边形
当PD=QC时,2t=26-3t
∴t=时,四边形PQCD为平行四边形.
③当t=时,四边形ABQP为平行四边形此时AP=
∵AB=8
∴此时四边形ABQP不是菱形
当t=时,四边形PQCD为平行四边形
此时PD=
∵CD=8
∴四边形PQCD不是菱形
即不存在t值使得②中平行四边形是菱形.
在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD一动点P从A出发,以1cm/s的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P做直线PM,使PM⊥AD。
问题:
当点p运动2s时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线匀速运动,且在AB上以1cm/s的速度匀速运动,在BC上以2cm/s的速度匀速运动。
过Q作直线QN,使QN‖PM.设点Q运动时间为ts(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S平方厘米,求S关于t的函数关系式(
如图所示,三种情况,第一种情况(从左边开始),从2秒开始,P点到达B点前。
它的形状就是一梯形。
面种为S=(PM+QN)*MN/2 再把PM,QN,MN分别用AP,AQ来表示。
AP,AQ等于速度乘时间t。
最终都换成时间t的函数0<=t<=6。
第二种情况,当P点过B点,且Q点到达B点前,S等于两块面积之和。
BPMD面积S1=(PM+BD)*PB/2 ,BDNQ 面积等于S2=(BD+QN)*DN/2,再把PM,BD,PB,BD,QN,DN分别换为速度乘时间函数。
6 第三种情况,可以到达C点时Q点正好追上P点,PMNQ面积为S=(PM+QN)*PQ/2 ,把PM,QN,PQ 分别换成程度乘时间函数。 8 向左转|向右转 在矩形ABCD中,BC=16,DC=12,动点P从动点D出发,在线段DA上以每秒2的速度运动,动点Q从点C出发,在线段BC上以每秒1的速度向B运动,两点同时出发,当P运动到A时,点Q也随即停止运动,设运动时间为t (1)设△BPQ的面积为S,求S与t的函数关系式 2.是否存在时刻t,使得PQ平分BD? 若存在,求出t的值 3.当t为何值时,以BPQ三点为顶点的三角形是等腰三角形 (1)过P做PE⊥BC交BC于E BC=16 CQ=1s×t=t ∴BQ=16-t ∵AD‖BC,DC⊥BC,PE⊥BC ∴PE=DC=12 ∴S△BPQ=1/2PE×BQ=96-6t (2)设PQ,BD交于O ∵PQ平分BD ∴BO=DO ∵PQ,BD相交 ∴∠POD=∠BOQ ∵AD‖BC ∴∠PDO=∠OBQ ∴△POD≌△QOB ∴PD=BQ=2t ∵BQ=16-t ∴16-t=2t t=16/3 (3)过Q做QF⊥AD交AD于F ∵FQ⊥BC,DC⊥BC,AD‖BC ∴FQ=DC=12,FQ‖DC ∴FD=QC=t ∴PF=PD-FD-AP=16-t-(16-2t)=t ∴PQ2=PF2+FQ2 =144+t2 同理可得: BP2=AB2+AP2 =144+256-64t+4t2 =400-64t+4t2 BQ2=(16-t)2=256-32t+t2 1.当PB=PQ时 2..当PB=BQ时 3.当BQ=PQ时 四边形中的动点问题、探究性问题讲练 近年来,中考中对四边形知识进行考查时,常见两类问题: 动态几何问题与几何探究性问题。 这两类问题一般呈现问题分步多、综合性强、思维带有规律性等特点。 为提高学生解决这两类问题能力,特讲解下列例题。 1、已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O. (1)如图1,连接AF、CE.求证: 四边形AFCE为菱形. (2)如图1,求AF的长.(3)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,点P的速度为每秒1cm,设运动时间为t秒.①问在运动的过程中,以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗? 若有可能,请求出运动时间t和点Q 秒,当点P在线段AO上运动时,①请用含x的代数式表示OP的长度;②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);③是否存在时刻x,四边形PBEQ的面积为13? 若存在,求出满足条件的x的值;若不能,请说明理由. (第一题)(第二题) 3、已知等腰梯形中,AB=DC=2,AD∥BC,AD=3,腰与底相交所成的锐角为60°,动点P在线段BC上运动(点P不与B、C点重合),并且∠APQ=60°,PQ交射线CD于点Q,若CQ=y,BP=x, (1)求下底BC的长. (2)求y与x的函数解析式,并指出当点P运动到何位置时,线段CQ最长,最大值为多少? (3)在 (2)的条件下,当CQ最长时,PQ与AD交于点E,求QE的长. 4、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.动点P、Q分别是在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变. (1)求证: 梯形ABCD是等腰梯形; (2)设PC为x,MQ=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量取值范围;(3)在 (2)中,当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由. 5、如图,在△ABC中,∠ACB>90°,D是AC的中点,E是线段BC延长线上的动点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F (1)求证: DE=DF; (2)若AC丄EF试判断四边形AFCE的形状,并证明你的结论;(3)当∠B=22.5,CA=CB时,请探索: 点E在运动过程中能否使四边形成为AFCE成为正方形? 若不能,请说明理由;若能,求出BC与CE的数量关系. (第三题)(第四题)(第五题) 6、△ABC是等边三角形,点D是BC上的一个动点(点D不与点B、C.重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交AB、AC于点F、G,连接BE. (1)如图a所示,当点D在线段BC上时①求证: △AEB≌△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形? 并说明理由; (2)如图b所示,当点D在BC的延长线上时,判断 (1)中的两个结论是否成立? 7、如图,在▱ABCD中,AD=6cm,点P、Q分别是边BC、AD上的动点,点P以一定的速度沿BC从B向 C 匀速运动,与此同时 点 Q 以相同的速度沿 AD从A向D运动,连接AP、PD、BQ、CQ、AP、BQ交于点H,PD、CQ交于点I,连接HI.试猜想: 在运动的过程中,HI的长度是否变化? 若变化,请说明理由;若不变,请求出HI的长度? 图3,当点P为线段EC延长线上的任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系? 请直接写出你的猜想. 10、如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG; (2)若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;(3)如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC,连接CL,点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想;(4)观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段,并满足 (1)或 (2)的结论,写出相关题设的条件和结论. (第九题)(第十题) 9、如图①所示,已知A、B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD1⊥l于点D1,过点E作EE1⊥l于点E1. (1)如图②,当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合),试说明DD1=AB; (2)在图①中,当D、E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系,并说明理由;(3)如图③,当点E在直线l的下方时,请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系. 10、已知: 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合).以AD为边作正方形ADEF,连接CF. (1)如图1,当点D在线段BC上时,求证: ①BD⊥CF.②CF=BC-CD. (2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其它条件不变,请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系;(3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A、F分别在直线BC的两侧,其它条件不变: ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状,并说明理由. 11、如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD , O 为 AC 中点. (1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,不用说明理由; (2)如图2,当点P在线段OC上时, (1)中的猜想还成立吗? 请说明理由;(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并判断 (1)中的猜想是否成立? 若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由. 专题复习——与矩形有关的动点问题 【例1】如图,在矩形OABC中,已知点B的坐标为(9,4),点P是矩形边上的一个动点,若点E的坐标为(5,0),且△POE是等腰三角形,求点P的坐标? 【变式1】如图,在矩形OABC中,已知B(8,6),点P是边AB上的一个动点,PM⊥AC,PN⊥OB,则PM+PN的长为 【变式2】如图,在矩形OABC中,已知B(8,6),点P是对角线AC上的一个动点(不与A、C重合)设AP=x,四边形PBCO的面积为S (1)求S关于x的函数关系式并写出x的取值范围 (2)求的值并提出一个与计算结果有关的结论 【变式3】如图,在矩形ABCD中,已知B(8,6),点P是OC边上的一个动点(不与O、C重合),作PA⊥PQ交直线CB于点Q,设PO=x,CQ=y (1)求y关于x的函数关系式 (2)点x为何值时,四边形AOCQ的面积最大? 最大面积是多少? 【变式4】如图,在矩形ABCO中,已知B(12,6),点P和点Q分别是OC和BC边上的动点,点P从点C出发以每秒2个单位的速度向点O运动,点Q从点B出发以每秒1个单位的速度向点C运动,两点同时出发,设运动时间为t(秒),△PAQ的面积为S (1)求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值 (2)在点P的运动过程中,四边形PAQC的面积是否会改变,请说明理由 (3)在点P的运动过程中,是否存在一点P,使得△PQC与△AOB相似,若存在求出点P的坐标 (4)在点P、Q的运动过程中,是否存在实数t,使得=,若存在,求出t的值 【变式5】如图,在矩形ABCO中,已知B(12,6),直线L从y轴出发,以每秒1个单位的速度向终点BC匀速平移,与边AB、OC分别交于P、Q两点,与此同时,点M从点C出发,以每秒3个单位的速度沿矩形的边CB—BA—AO—OC匀速运动,设△PQM的面积为S,运动时间为t(秒) (1)求S关于t的函数关系式并写出t的取值范围 (2)求△PQM的面积为12时t的值 (2012日照)如图,矩形ABCD的=18 ,AD=4 ,、分别从A、同时,在边上沿方向以2 的匀速,在边BC上沿BC方向以1 的匀速,为,△PBQ的面积为 2. (1)求关于的函数关系式,并写出的取值范围; (2)求△PBQ的面积的最大值. 5.(2012·福建福州质量检查)如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm,DE=4cm.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时,EF与CA重合),连接DF,设运动的时间为t秒(t≥0). (1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长; (2)在这个运动过程中,△DEF能否为等腰三角形? 若能,请求出t的值;若不能,请说明理由; (3)设M、N分别是DF、EF的中点,求整个运动过程中,MN所扫过的面积. 解 (1)BE=(t+4)cm,EF=(t+4)cm. (2)分三种情况讨论: ①当DF=EF时,有∠EDF=∠DEF=∠B, ∴点B与点D重合,∴t=0. ②当DE=EF时,∴4=(t+4), 解得: t=. ③当DE=DF时, 有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C, ∴△DEF∽△ABC.∴=, 即=, 解得: t=. 综上所述,当t=0、或秒时, △DEF为等腰三角形. (3)设P是AC的中点,连接BP,∵EF∥AC, ∴△NBE∽△PBC,∴∠NBE=∠PBC. ∴点N沿直线BP运动,MN也随之平移. 如图,设MN从ST位置运动到PQ位置,则四边形PQST是平行四边形. ∵M、N分别是DF、EF的中点, ∴MN∥DE,且ST=MN=DE=2. 分别过点T、P作TK⊥BC,垂足为K,PL⊥BC,垂足为L,延长ST交PL于点R,则四边形TKLR是矩形, 当t=0时,EF=(0+4)=, TK=EF·sin∠DEF=××=; 当t=12时,EF=AC=10, PL=AC·sinC=×10×=3. ∴PR=PL-RL=PL-TK=3-=. ∴S▱PQST=ST·PR=2×=. ∴整个运动过程中,MN所扫过的面积为cm2. 6.(2012·广东湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0). (1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式; (2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值? 若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由; (3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形? 分析 (1)根据A、B的坐标,可得到OA=6、OB=8、AB=10;当t=3时,AN=5,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标.然后利用待定系数法求出抛物线的解析式. (2)△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式,利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积. (3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长;由于△MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论: ①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可. 解 (1)由题意,A(6,0)、B(0,8), 则OA=6,OB=8,AB=10; 当t=3时,AN=t=5=AB, 即N是线段AB的中点;∴N(3,4). 设抛物线的解析式为: y=ax(x-6),则: 4=3a(3-6),a=-; ∴抛物线的解析式: y=-x(x-6)=-x2+x. (2)过点N作NC⊥OA于C; 由题意,AN=t,AM=OA-OM=6-t, NC=NA·sin∠BAO=t·=t; 则: S△MNA=AM·NC=×(6-t)×t =-(t-3)2+6. ∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6. (3)Rt△NCA中,AN=t, NC=AN·sin∠BAO=t, AC=AN·cos∠BAO=t; ∴OC=OA-AC=6-t,∴N. ∴NM==; 又: AM=6-t,AN=t(0<t<6); ①当MN=AN时,=t, 即: t2-8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去); ②当MN=MA时,=6-t,
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