完整版北京市各区一模数学文科试题分类汇编12导数及其应用Word文件下载.docx
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13、(延庆区2019届高三一模)已知函数f(x)1.
(l)当a1时,求曲线yf(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(口)求函数f(x)的单调区间;
(m)当a1时,求函数f(x)在上区间0,e零点的个数.
参考答案
1、解:
(I)求导得f(x)aex4.定义域xR.
当a0时,f(x)0,函数f(x)在R上为减函数.
4
当a0时,令f(x)0得xln—,f(x)为增函数;
令f(x)0碍xln—,f(x)为减函数.
所以a0时,函数f(x)减区间是(,).44
当a。
时,函数f(x)增区间是(ln—,);
减区间是(,ln—).……5•分
(口)依题意,只需证ex4xx210.设F(x)ex4xx21.x
则F(x)e42x,设G(x)F(x).
因为G(x)ex20,所以G(x)在(,)上单调递增.
又因为G(0)30,G
(1)e20,所以G(x)0在(0,1)内有唯一解,记为x0即
e"
42x0.
当xx°
时,F(x)0,F(x)单调递减;
时,F(x)0,F(x)单调递增;
所以F(x)minF(x°
)e~4x0xo21xo26x05,x°
(0,1).
22
设g(x)x6x5(x3)4,x(0,1).则g(x)g
(1)0.所以F(x0)0.
所以F(x)0,即曲线yf(x)在抛物线yx21上方.……13分
2、解(I)由f(x)aex,得f(x)aex,所以f(0)a1分
1
由g(x)lnx,碍g(x)^,所以9。
)1••…2分
由已知f(0)g
(1),得a1,……3分
经检验,a1符合题意.……4分
(H)由题意|PQ||e*lnt|,t0
设h(x)exlnx,x0,……1分
则h(x)ex1,......2分
设(x)ex1,x
贝U(x)ex/0,所以(x)在区间(0,)单调递增,……3分
1—
又
(1)e10>
(―)^e20,4分
所以(x)在区间(0,)存在唯一零点,
设零点为为,则x0(―,1),且ex°
—.5分
2x。
当x(0,x0)时,h(x)0;
当x(x0,),h(x)0.
所以,函数h(x)在(0,刈)递减,在g,)递增,……6分
x0■1.
h(x)>
h(xo)eInxo—Inx0,
x0
x1一
由e——,碍Inx0x0
11.、
所以hg)—x0>
2,由于x0(-,1)h(x0)2.……8分
xo2
从而h(x)2,即exlnx2,
也就是etlnt2,|etlnt|2,
即|PQ|2,命题得证.……9分
3、解:
(I)f(x)定义域为(0,).
由已知,得f'
(1)0,解得a=1.
当a=1时,f'
(x)(2x1;
(x1).
所以f'
(x)00x1,f'
(x)0x1.
所以f(x)减区间为(0,1),增区间为(1,+?
).
所以函数f(x)在x1时取得极小值,其极小值为f
(1)=0,符合题意
所以a1.5分
(II)令f'
(x)(2x1尸1)。
,由0<
a<
1,得x=1>
1.
11
(x)00x,f'
(x)0x.
aa
所以f(x)减区间为(0,1),增区间为([,+?
).111
所以函数f(x)在x-时取得极小值,其极小值为f(-)=lna+1--.
因为0<
1,所以ina0,11.
1一一11
所以1—0.所以f(―)=ina+1-—<
0.
1、a(a-21(a-21(a-2+e)
四为f
(一)==++1>
+1=,
eeeee
又因为0<
1,所以a-2+e>
0.
所以f
(1)>
根据零点存在定理,函数f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
a
22
因为x>
inx,f(x)ax(a2)xinxax(a2)xxx(axa3).
令axa30,得x>
——.
1,所以3—^>
1.
所以当x>
-一-时,f(x)>
0.a
根据零点存在定理,函数f(x)在(1,+?
)上有且仅有一个零点.
所以,当0<
1时,f(x)有两个零点.14•分•
4、(I)当m2时,fxx3x22,所以fx3x22x
所以f12,f11,所以切线方程为yx1
x23m2
(n)g(x),的正义域是xx
g(x)—―*2'
m,令g'
(x)0,得x1m,x23m4分
x1
①当m。
时,g(x)x,x0所以函数g(x)的单调增区间是(,0),(0,)
5分
②当m。
时,x,g(x),g(x)变化如下:
(
3m)
3m
(3m,m)
(m,m)
m
(m,
)
g(x)
g(x)
Z
]
所以函数g(x)的单调增区间是,3m,m,,单调减区间是3m,m,m,m,
③当m。
(,m)
(m,m)
(m,3m)
(3m)
所以函数g(x)的单调增区间是,m,3m,,单调减区间是m,m,m,3m,
8分
(ni)因为fxx3x2(2m)x2,所以fx3x22x(2m)
当m0时,4122m12m200,
所以f'
x0在0,1上恒成立,所以fx在0,1上单调递增,
所以fx在0,1上的最小值是f02,最大值是f14m,
由(n)知当1m0时,0m1
gx在0,m上单调递减,在m,1上单调递增,
因为g
2m2,所以不合题意
当m
1时,
m1,gx在0,1上单调递减,
0,1上的最大值为g03m,最小值为g1
13m2
所以g
X在
所以当
01
时,
gx的取值范围为
"
12分
使得f(Xi)gX0
成立”
等价于
“1
3m2
[2,4m]”
1
m
3m2
2,曰得
1或m-
3
解
1m
3m4
所以m的取值范围为
2,
5、解:
(i)
f(x)定义域为
(0,),
当a
0时,
f(x)
Xe—,
X
eX(x1)f'
(x)I,
令f'
(x)0得X1
令f'
(x)0得0
“对于任意
总存在X1
X。
13分
X1.
所以f(X)的增区间为(1,),减区间为(0,1).
(H)f'
(X)(ea)(X1)
(1)当a<
e时,若X(1,),则eXa>
eXe>
函数f(X)在X1处不可能取得极大值.
(2)当ae时,Ina1.
(0,1)
(1,lna)
f'
(x)
+
-
/
极大值
函数f(X)在X1处取得极大值.
综上可知,a的取值范围是(e,).
…„……1352-,
6、解:
(I)当a6,x0时,f(x)-x-x6x1
(x)x25x6(x2)(x3),
令f'
(x)0,得x2,或x3.
当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
(0,2)
(2,3)
(3,)
极小值
所以f(x)在(0,+)上的单调递增区间是(0,2),(3,),单调递减区间是(2,3)
(口)当a
若x
0,则
13f(x)x
52x
ax1,
所以
x5xa
x(x
5)a
因为
x0,a
0,所以f'
0,则
13
f(x)-x3
52
—x
x25xa
(x)0,
254a
0,
所以有两个不相等的实根x1,x2,且x1x20
不妨设由0,所以当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
(,0)
(0*)
x2
02,)
无定义
因为函数f(x)图象是连续不断的,所以当a0时,f(x)即存在极大值又有极小值
7、解:
(I)f(x)的定义域为R,
当a。
时,f(x)2x31,f'
(x)=6x,
f
(1)=6,f
(1)=3,所以f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程是6x-y-3=0.5分
(n)f(x)=6x(x+a),
1当-a=0时,f(x)=6x2>
g贝Uf(x)在(—oo,+oo)上为增函数;
2当—av0,即a>
0时,由f(x)=6x(x+a)>
0
得x<
-a或x>
0,所以f(x)的单调增区间为(-8,-a)和(0,+°
°
);
由f(x)=6x(x+a)v0得-avxv0,所以f(x)的单调减区间为(-a,0);
3当一a>
0即av0时,
由f(x)=6x(x+a)>
0得x>
-a或xv0,
所以f(x)的单调增区间为(-8,0)和(-a,+00);
由f(x)=6x(x+a)v0,得0vxv-a,所以f(x)的单调减区间为(0,-a).
综上所述,当a=0时,f(x)的单调增区间为(-8,+oo);
当a>
0时,f(x)的单调增区间为(-一a)和(0,+00),f(x)的单调减区间为(-a,
0);
当av0时,f(x)的单调增区间为(-8,0)和(-a,+00),f(x)的单调减区间为
(0,-a).
10分
(山)①当-avo即aAO时,由(n)可知,f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(0)=1;
②当0v-av2,即-2vav0时,由(n)可知,f(x)在[0,-a)上单调递减,在(-a,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;
③当-aA2即a。
2时,由(n)可知,f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)的最小值为f
(2)=17+12a.
综上所述,当aAO时,f(x)的最小值为f(0)=1;
-2vav0时,f(x)的最小值为f(-a)
=a3+1;
a。
2时,f(x)的最小值为f
(2)=17+12a.14分
8、解:
(I)由题意得:
f/(x)aex(x1)f/(0)aa1
(n)(i)g(x)f(x)b(—x)xexb(—x)g/(x)(x1)(exb)
当x[0,)时,若b1,exb0g,(x)0,g(x)递增,则g(x)g(0)0
当x[0,)时,若b1,g/(x)0xi1(舍),x2Inb0,g(x)在(0,lnb)递减,则
g(lnb)g(0)g(x)0不恒成立,所以,b的最大值为1.
..xx2_xx_,、
(ii)g(x)xeb(一x)刈eb(—1)],显然g(x)有一个零点0;
设t(x)exb(x1)t,(x)ex-
当b0时,t(x)无零点;
所以g(x)只有一个零点0
当b。
时,有t/(x)0,所以t(x)在R上单增,
「2_22
又t(0)1b0,t(—2)eb10,由零点存在定理可知,b
所以t(x)在(,0)上有唯一一个零点x0,所以g(x)有二个零点
综上所述,b0时,g(x)只有一个零点0,b0时,g(x)有二个零点.
9、解:
(I)f(x)exax;
f(x)ex
a,
f
(1)e
由题设知f
(1)
0,即ea0,解得ae
经验证ae满足题意。
(n)方法一:
令fx0,即exa,则xIna,
(1)当Ina1时,即0ae
对于任意x
lna有fx0,故fx在,lna单调递减;
对于任意xIna,1有fx0,故fx在Ina,1单调递增,
因此当xIna时,
有最小值为a
alna
a3Ina
0成立.
(2)当Ina
1
单调递减,
f⑴.
的图象恒在
x轴上方,
因为f
0,所以f10,
2e,
综上,a的最大值为2e.
方法二:
由题设知,当x
ax
(1)
e
1x
x-
在0,1单调递减,
因此,
gx的最小值大于
e2
1j
—时,
e1
x—
综上,a的最大值为
所以当a2e时a
成立.
2e
10、解:
(I)因为点1,1在曲线yfx上,
所以a1,fx很Inx.
又fx巫1公,2xx2x
~.1
所以f11.
在该点处曲线的切线方程为y1
(II)定义域为0,,fx
讨论:
(1)当a0时,fx0
3分
4分
-x1即x2y305分
a.x1a.x2
6分
2xx2x
此时fx在0,
上单调递减,又f1
(2)当a0时,令fx=0可得x=-ya
。
且
2a
~2,a
fx
单调递减
单调递增
列表可得
上单调递增
10分
~,4,、,、一,,,4
所以fx在0,-2-上单倜递减,在
4~.4
ln孑,所以令2ln—y2解得a2
0x1,
、xlnx,
—厂,由g
2x
所以gx在0,1单调递增,在1,+上单调递减,gxmax
所以a2
11、解:
(I)当a0时,fxInx,fx
设切点Pxo,y°
,则fx°
—e,
…1
所以xo-,yo1.
把切点Px0,y0的坐标代入切线方程yexm,得m2;
■a
(n)fx—Inx的定乂域为(0,),
2a1
x2a
(i)当a0时,fx0,fx在(0,)上单调递增;
(订)当a0时,令fx
在0,J2a,fx0,所以fx在(0,w:
2a)单调递减;
在v'
2a,fx0,所以fx在v'
2a,单调递增.
一、1a1
(m)f(x)—怛成立,即一2lnx—0在x0,怛成立,
xxx
也就是ax2Inxx0在x0,恒成立.
令gxax2Inxx,x0,,贝U
gx2xlnxx1.
当x(0,1)时,因为x10,2xlnx0,所以gx0;
当x(1,
)时,因为x10,2xlnx0,所以gx0.
1分
2分
4分
6分
7分
9分
10分
11分
12分
所以gx在x1时取得极小值g1a1.
因为在定义域(0,)内gx只有一个极小值,所以g1a1也是最小值.
所以a
10,即a
1.
的取值范围是
1,13分
12、解
:
(I)由函数
f(x)是偶函数,得f(x)f(x),
即mex(
x)23mexx23对于任意实数x都成立,
所以m0.2分
此时h(x)xf(x)x33x,贝Uh(x)3x23.
由h(x)0,解得x1.3分
当x变化时,h(x)与h(x)的变化情况如下表所示:
1)
(1,1)
(1,
h(x)
所以h(x)在(,1),(1,)上单调递减,在(1,1)上单调递增.5分
所以h(x)有极小值h
(1)2,h(x)有极大值h
(1)2.
(H)由f(x)mexx230,得mxx
所以“f(x)在区间[2,4]上有两个零点”等价于“直线
x[2,4]有且只有两个公共点”
由g(x)0,解得x〔1
当x变化时,g(x)与g(x)的变化情况如下表所示:
(2,1)
(1,3)
(3,4)
所以g(x)在(2,1),(3,4)上单调递减,在(1,3)上单调递增.11分
~2,八cc6,~,、13…、
又因为g
(2)e,g
(1)2e,g(3)—g
(2),g(4)—g
(1),ee
136x3
所以当2em—或mer时,直线Vm与曲线g(x)——,x[2,4]有且只有两个
公共点.
2em13或m与时,函数f(x)在区间[2,4]上有两个零点.
ee
2,
即当
令f(x)0,xe1a
x、f(x)及f(x)的变化情况如下
(0,e1a)
1ae
(e1a,)
f(x)
增
减
所以,f(x)在区间(0,e1a)上单调递增,
f(x)在区间(e1a,)上单调递减
1e1a
ra~
f(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,e)上单调递减
由f
(1)0,
故f(x)在区间0,e上只有一个零点
(2)当a1时,
且f(e1a)
a1,
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