高考文科数学练习测试题第2部分选考内容Word格式.docx
- 文档编号:3965213
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOCX
- 页数:71
- 大小:246.26KB
高考文科数学练习测试题第2部分选考内容Word格式.docx
《高考文科数学练习测试题第2部分选考内容Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考文科数学练习测试题第2部分选考内容Word格式.docx(71页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
[提醒] 在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱,导致错误.
[题组练透]
1.如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,AE交BC于点F,求的值.
解:
如图,过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点,
∴在△BDM中,BF=FM.
又点D是AC的中点,
∴在△CAF中,CM=MF,
∴==.
2.如图,等边三角形DEF内接于△ABC,且DE∥BC,已知AH⊥BC于点H,BC=4,AH=,求△DEF的边长.
设DE=x,AH交DE于点M,显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等,
又DE∥BC,则==,
∴==,解得x=.
3.如图,在四边形ABCD中,EF∥BC,FG∥AD,求+的值.
由平行线分线段成比例定理得
=,=,
故+=+==1.
[类题通法]
对于平行线分线段成比例定理,往往会以相似三角形为载体,通过三角形相似来构建相应线段比,从而解决问题.解题时要充分利用中点来作辅助线,建立三角形的中位线或梯形的中位线,从而有效利用平行线分线段成比例定理.
|(重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]
1.相似三角形的判定定理
判定定理1:
两角对应相等的两个三角形相似;
判定定理2:
三边对应成比例的两个三角形相似;
判定定理3:
两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质定理
性质定理1:
相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比;
性质定理2:
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
结论:
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.
[提醒] 在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误.
[典题例析]
如图,已知在△ABC中,D是BC边的中点,且AD=AC,DE⊥BC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:
△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
(1)因为DE⊥BC,D是BC的中点,所以EB=EC,所以∠B=∠BCE.又因为AD=AC,所以∠ADC=∠ACB.
所以△ABC∽△FCD.
(2)如图,过点A作AM⊥BC,垂足为点M.
因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,所以=2=4.
又因为S△FCD=5,所以S△ABC=20.
因为S△ABC=BC·
AM,BC=10,
所以20=×
10×
AM,
所以AM=4.
因为DE∥AM,所以=.
因为DM=DC=,BM=BD+DM,
所以=,解得DE=.
证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系.有的证明起来比较简单方便,但有的找边角关系比较困难,这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力.对计算问题则要灵活使用有关定理,掌握相似三角形的性质定理.
[演练冲关]
(2015·
浙江模拟)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=4.过AC与BD的交点O作EF∥AB,分别交AD,BC于点E,F,求EF的长.
因为AB∥CD,EF∥AB,所以△EDO∽△ADB,因此有=,又AB=3,CD=4,不妨设DO=4m,OB=3m,==,因此可得EO=,则EF=.
射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;
两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
[提醒] 射影定理是直角三角形中的一个重要结论,其实质就是三角形的相似.但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形,所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系,不能乱用.
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E,试证明:
(1)AB·
AC=BC·
AD;
(2)AD3=BC·
CF·
BE.
证明:
(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC,
∴S△ABC=AB·
AD.
∴AB·
(2)Rt△ADB中,DE⊥AB,由射影定理可得
BD2=BE·
AB,
同理CD2=CF·
AC,
∴BD2·
CD2=BE·
AB·
AC.
又在Rt△BAC中,AD⊥BC,∴AD2=BD·
DC,
∴AD4=BE·
AC,又AB·
即AD3=BC·
1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.
2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AD是斜边BC上的高,若AB∶AC=2∶1,求AD∶BC.
设AC=k,则AB=2k,BC=k,
∵∠BAC=90°
,AD⊥BC,
∴AC2=CD·
BC,
∴k2=CD·
k,∴CD=k,
又BD=BC-CD=k,
∴AD2=CD·
BD=k·
k=k2,
∴AD=k,
∴AD∶BC=2∶5.
对应B本课时跟踪检测(六十二)
1.如图,在四边形ABCD中,E是AB上一点,EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△ADE=3,求S△CDE.
∵EC∥AD,
∴S△DCE∶S△ADE=EC∶AD.
∵DE∥BC,∴S△BCE∶S△CDE=BC∶ED,又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,∴△BEC∽△EAD,
∴EC∶AD=BC∶ED,∴S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,得S△CDE=.
2.在Rt△ACB中,∠C=90°
,CD⊥AB于D,若BD∶AD=1∶9,求tan∠BCD的值.
由射影定理得
CD2=AD·
BD,
又BD∶AD=1∶9,
令BD=x,则AD=9x(x>
0).
∴CD2=9x2,CD=3x.
Rt△CDB中,tan∠BCD===.
3.如图,M是平行四边形ABCD的边AB的中点,直线l过点M分别交AD,AC于点E,F,交CB的延长线于点N.若AE=2,AD=6,求的值.
∵AD∥BC,∴△AEF∽△CNF,
∴=,
∵M为AB的中点,∴==1,∴AE=BN,
∴===.
∵AE=2,BC=AD=6,∴==.
4.已知△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE相交于点P,求证:
(1)△BPE∽△CPF;
(2)△EFP∽△BCP.
(1)∵BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,
∴∠BFC=∠CEB.
又∵∠CPF=∠BPE,
∴△BPE∽△CPF.
(2)由
(1)得△BPE∽△CPF,
又∵∠EPF=∠BPC,
∴△EFP∽△BCP.
5.如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AB上任意一点,CF交AD于点E.
求证:
AE·
BF=2DE·
AF.
过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N.
在△BCF中,D是BC的中点,DN∥BF,
∴DN=BF.
∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE,
又DN=BF,∴=,
即AE·
6.△ABC中,D,E,F分别是BC,AB,AC上的点,AD,EF交于P,若BD=DC,AE=AF.
=.
过F作MN∥AD交BA的延长线及DC于M,N.
对△MEF有=,
因为AE=AF,所以=.
对△MBN有=,
因为BD=DC,所以=.
对△ADC有=,所以=.
所以=,所以=.
7.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,D,E,F分别在AB,AC,BC上,AE=AC,BD=AB,且CF=BC.
(1)EF⊥BC;
(2)∠ADE=∠EBC.
设AB=AC=3a,
则AE=BD=a,CF=a.
(1)==,==.
又∠C为公共角,故△BAC∽△EFC,
由∠BAC=90°
得∠EFC=90°
,故EF⊥BC.
(2)由
(1)得EF=·
AB=a,
故==,==,
∴△ADE∽△FBE,
所以∠ADE=∠EBC.
8.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EF∥AD,假设EF做上下平行移动.
(1)若=,求证:
3EF=BC+2AD;
(2)请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?
过点A作AH∥CD分别交EF,BC于点G,H.
(1)证明:
因为=,
所以=.
又EG∥BH,所以==,
即3EG=BH.
又EG+GF=EG+AD=EF,
从而EF=(BC-HC)+AD,
所以EF=BC+AD,即3EF=BC+2AD.
(2)因为=,所以=.
又EG∥BH,所以=,即EG=BH.
所以EF=EG+GF=EG+AD=(BC-AD)+AD,所以EF=BC+AD,即(m+n)EF=mBC+nAD.
第二节
直线与圆的位置关系
对应学生用书P163
基础盘查 圆幂定理
会证明和应用有关圆的定理
(1)圆周角定理;
(2)圆的切线判定定理与性质定理;
(3)相交弦定理;
(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理;
(5)切割线定理.
(1)同弧所对的圆心角与圆周角相等( )
(2)若一个四边形的一个外角等于它的内角,则这个四边形的四个顶点共圆( )
(3)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心( )
(4)弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半( )
(5)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的乘积( )
(2)×
(3)√ (4)×
(5)×
2.如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PB,PD,PA=AB=,CD=3,则PC的长为________.
设PC=x,由割线定理知PA·
PB=PC·
PD.
即×
2=x(x+3),解得x=2或x=-5(舍去).
故PC=2.
2
3.(2015·
陕西模拟)如图所示,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D,E分别是CA,CB的延长线与大圆的交点,已知AC=4,BE=10,且BC=AD,则AB=________.
设x=BC=AD,由圆外一点向圆引两条割线的结论得到x(x+10)=4(x+4),∴x=2,∴AB==2.
4.(2014·
湖北高考)如图,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=________.
由切割线定理,得QA2=QC·
QD=4⇒QA=2,
则PB=PA=2QA=4.
对应学生用书P164
4
1.圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径.
3.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
4.圆的切线的性质及判定定理
性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
[提醒] 圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系,从而证明三角形全等或相似,也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题.
1.(2015·
湖北黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上,直线CA与圆O相切于A,∠ACB的平分线分别交AB,AE于D,F两点,求∠AFD.
因为AC为圆的切线,
由弦切角定理,得∠B=∠EAC.
又因为CD平分∠ACB,则∠ACD=∠BCD,
所以∠B+∠BCD=∠EAC+∠ACD.
根据三角形外角定理,∠ADF=∠AFD.
因为BE是圆O的直径,则∠BAE=90°
,
所以△ADF是等腰直角三角形.
所以∠ADF=∠AFD=45°
.
2.如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,求弦BD的长.
因为在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC,所以AD=BC,∠BAD+∠BCD=180°
,∠ABE=∠BCD.
所以∠BAD+∠ABE=180°
又因为AE为圆的切线,
所以AE2=BE·
EC=4×
9=36,故AE=6.
在△ABE中,由余弦定理得
cos∠ABE==,
cos∠BAD=cos(180°
-∠ABE)=-cos∠ABE=-,
在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·
AD·
cos∠BAD=
,所以BD=.
3.(2014·
江苏高考)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点.
∠OCB=∠D.
因为B,C是圆O上的两点,
所以OB=OC.
故∠OCB=∠B.
又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点,
故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角,
所以∠B=∠D.
因此∠OCB=∠D.
1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小.
2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;
关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.
圆内接四边形的性质与判定定理
圆的内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
判定定理的推论:
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
[提醒] 利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置.注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用.
开封模拟)如图,AB是⊙O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作⊙O的切线,切点为H.
C,D,E,F四点共圆;
(2)若GH=6,GE=4,求EF的长.
连接DB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD和Rt△AFG中,
∠ABD=∠AFE,
又∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ACD=∠AFE.
∴C,D,E,F四点共圆.
(2)∵C,D,E,F四点共圆,∴GE·
GF=GC·
GD.
∵GH是⊙O的切线,∴GH2=GC·
GD,
∴GH2=GE·
GF.
又GH=6,GE=4,∴GF=9.
∴EF=GF-GE=9-4=5.
证明四点共圆的常用方法
(1)若四个点到一定点等距离,则这四个点共圆.
(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°
,则这个四边形的四个顶点共圆.
(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角,则这个四边形的四个顶点共圆.
(4)若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆.
(5)若AB,CD两线段相交于点P,且PA·
PD,则A,B,C,D四点共圆.
(6)若AB,CD两线段延长后相交于点P,且PA·
(7)若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积,则四边形的四个顶点共圆.
银川模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
∵AE=AB,∴BE=AB.
∵在正△ABC中,AD=AC,
∴AD=BE,
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.
(2)如图,取AE的中点G,连接GD,则AG=CE=AE.
∵AE=AB,
∴AG=GE=AB=,
∵AD=AC=,∠DAE=60°
∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.
1.相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
2.割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
3.切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
4.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角.
[提醒] 相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明,解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用.
(2014·
新课标全国卷Ⅱ)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·
DE=2PB2.
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而
=
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·
PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·
DE=BD·
所以AD·
以圆为载体与三角形、四边形相结合的综合性题目,往往要综合运用多个定理以及添加相应的辅助线才能解决,在解题时要注意总结一些添加辅助线的技巧.在实际应用中,见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理;
见到两条割线就要想到割线定理;
见到切线和割线时就要想到切割线定理.
大同调研)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.
DE是⊙O的切线;
(2)若=,求的值.
连接OD,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∵∠BAC的平分线是AD,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE.
又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD.
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)连接BC,DB,过D作DH⊥AB于H,
∴∠ACB=90°
Rt△ABC中,cos∠CAB==
∵OD∥AE,∴∠DOH=∠CAB,
∴cos∠DOH=cos∠CAB=.
∵Rt△HOD中,cos∠DOH=,
∴=,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,
∴Rt△HOD中,DH==4x,
AH=AO+OH=8x,
Rt△HAD中,AD2=AH2+DH2=80x2.
∵∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°
∴△ADE∽△ABD,可得=,
∴AD2=AE·
AB=AE·
10x.
而AD2=80x2,∴AE=8x
又∵OD∥AE,
∴△AEF∽△DOF,可得==.
对应A本课时跟踪检测(六十三)
1.(2014·
重庆高考改编)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC分别交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,求AB的长.
如图所示,由切割线定理得PA2=PB·
PC=PB·
(PB+BC),即62=PB·
(PB+9),解得PB=3(负值舍去).由弦切角定理知∠PAB=∠PCA,又∠APB=∠CPA,故△APB∽△CPA,则=,即=,解得AB=4.
2.(2015·
广州综合测试)如图,PC是圆O的切线,切点为点C,直线PA与圆O交于A,
B两点,∠APC的角平分线交弦CA,CB于D,E两点,已知PC=3,PB=2,求的值.
由切割线定理可得
PC2=PA·
PB⇒PA===,
由于PC切圆O于点C,由弦切角定理可知∠PCB=∠PAD,
由于PD是∠APC的角平分线,则∠CPE=∠APD,所以△PCE∽△PAD,
所以===3×
3.如图,AB是⊙O的直径,弦BD,C
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考文科数学练习测试题第2部分 选考内容 高考 文科 数学 练习 测试 部分 内容
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)