温州中学提前招生数学模拟卷一.doc
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温州中学提前招生数学模拟卷一.doc
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2017年温州中学提前招生数学模拟卷
(一)
题 号
一
二
三
总分
1-8
9-14
15
16
17
18
得 分
评卷人
复查人
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.把一根3米长的水管截成0.5米和0.2米两种规格,设截得长为0.5米的水管x根,长为0.2米的水管y根,且没有浪费,每种规格的水管至少有一根,则可能的截法种数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若M=10a2+2b2﹣7a+6,N=a2+2b2+5a+1,则M、N的大小关系是( )21教育网
A.M>N B.M<N C.M≥N D.M≤N
3.凸五边形ABCDE中,∠A=∠B=120°,EA=AB=BC=2,CD=DE=4,则它的面积为( )
A. B. C. D.
4.若=+1无解,则m的值是( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
5.在一堂“探索与实践”活动课上,小明借助学过的数学知识,利用三角形和长方形为班里的班报设计了一个报徽,设计图案如下:
如图,两条线段EF、MN将大长方形ABCD分成四个小长方形,已知DE=a,AE=b,AN=c,BN=d,且S1的面积为8,S2的面积为6,S3的面积为5,则阴影三角形的面积为( )
A. B.3 C.4 D.21*cnjy*com
6.你玩过这种游戏吗?
如图所示的螺线图,一个小朋友从外往里跑,跑到最里面后,又从里往外跑,在此过程中,圈外的小朋友往他身上丢沙包,如果打中了,里面跑的小朋友就输了,如果在这个过程中没有打中,里面的小朋友就赢了,现在假设两相邻的平行线之间的距离都是1米,那么螺线(实线)的总长度是( )【出处:
21教育名师】
A.35 B.36 C.37 D.38
7.已知点A是双曲线y=在第一象限上的动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为一边作等边三角形ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为( )
A.y=﹣(x<0) B.y=﹣(x<0) C.y=﹣(x<0) D.y=﹣(x<0)
8.如图是一面长为a,宽为b(a>b)的矩形旗子,其四个角是蓝色的四个全等矩形(阴影部分),面积之和等于整面旗子面积之半;旗子中间两条直交白条纹的宽度相等,则蓝色矩形的最短边y=( )
A. B.C. D.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.若抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点(a,0)、(b,0),则(a2﹣1999a+1999)•(b2﹣1999b+1999)的值是 .
10.如图,Rt△AOB中,O为坐标原点,∠AOB=90°,∠B=30°,如果点A在反比例函数y=(x>0)的图象上运动,那么点B在函数 (填函数解析式)的图象上运动.
11.已知无论m为任何实数,二次函数y=(x﹣2m)2+m的图象的顶点总在定直线上,则此定直线的解析式为 .21世纪教育网版权所有
12.如图,正方形ABCD的边长为7,点E、F分别在AB、BC上,AE=3,CF=1,P是对角线AC上的个动点,则PE+PF的最小值是 .
13.一旅游团来到十堰境内某旅游景点,看到售票处旁边的公告栏如图所示,请根据公告栏内容回答下列问题:
设旅游团人数为x人,写出该旅游团门票费用y(元)与人数x的函数关系式.
y=
① x=(0,1,2,…10)
② (x>10,且x为整数)
14.如图,若将正方形分成k个完全一样的矩形,其中上、下各横排两个,中间竖排若干个,则k= .
三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)
15.(12分)阅读下列材料:
1×2=×(1×2×3﹣0×1×2),
2×3=×(2×3×4﹣1×2×3),
3×4=×(3×4×5﹣2×3×4),
由以上三个等式相加,可得1×2+2×3+3×4=(1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4)=×3×4×5=20.21·世纪*教育网
读完以上材料,请你计算下列各题:
(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程);
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)= .
16.(12分)星期天,小亮与爷爷进行登山锻炼,如图所示,表示小亮与爷爷沿相同的登山路线同时从山脚出发的登山锻炼过程,各自行进的路程随时间变化的图象,请你根据图中所提供的信息,解答下列问题:
(1)请你分别写出小亮和爷爷登山过程中路程S1(千米)、S2(千米)、与时间t(小时)之间的函数关系(不必写出自变量t的取值范围),S1= ,S2= ;
(2)当小亮到达山顶时,爷爷行进到山路上某点A处,则A点到达山顶的路程为 千米;
(3)已知小亮在山顶休息1小时,沿原路下山,在B处与爷爷相遇,此时B点到山顶的路程为1.5千米,相遇后,他们各自沿原来的路线下山和上山,问当爷爷到达山顶时,小亮离山脚下的出发点还有多远?
小亮的整个登山过程用了几小时?
17.(12分)如图、AC、AB是⊙O弦(AB>AC)
(1)如图1,请在AC上确定一点E,使AC2=AE•AB,证明你的结论;
(2)在
(1)的结论下延长EC到P,连结PB,若PB=PE,求证:
PB是⊙O的切线;
(3)在条件
(2)的情况下,若E是PD的中点,那么C是PE的中点吗?
若是,请证明;若不是,说明理由.
18.(14分)在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,并与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧),点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线解析式及点C;
(2)若点P在第二象限内,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,当点P运动到什么位置时,PE最长是多少?
参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.【分析】根据把一根3米长的水管截成0.5米和0.2米两种规格,得出二元一次方程,进而利用二元一次方程的解得出答案.
解:
设截得长为0.5米的水管x根,长为0.2米的水管y根,根据题意得出:
0.5x+0.2y=3,
当x=1,y=12.5不合题意,
当x=2,y=10,
当x=3,y=7.5,不合题意,
当x=4,y=5,
当x=5,y=2.5,不合题意,
故可能的截法种数是2种,
故选:
C.
2.【分析】先由原式得到M﹣N=10a2+2b2﹣7a+6﹣(a2+2b2+5a+1)=9a2﹣12a+5=9(a﹣)2+1..由非负数的关系可以得出M与N的大小关系.21·cn·jy·com
解:
∵M=10a2+2b2﹣7a+6,N=a2+2b2+5a+1,
∴M﹣N=10a2+2b2﹣7a+6﹣(a2+2b2+5a+1)=9a2﹣12a+5=9(a﹣)2+1.
∵9(a﹣)2≥0,
∴9(a﹣)2+1>0
∴M﹣N>0,
∴M>N.
故选A.
3.【分析】如图,延长EA、CB交于点K,连接EC、DK,EC交DK于O.只要证明四边形DEKC是菱形,根据S五边形ABCDE=S菱形DEKC﹣S△ABK计算即可.
解:
如图,延长EA、CB交于点K,连接EC、DK,EC交DK于O.
∵∠EAB=∠CBA=120°,
∴∠KAB=∠KBA=60°,
∴△ABK是等边三角形,
∴AB=AK=BK=2,
∵AE=AB=BC=2,
∴EK=CK=4,
∵DE=DC=4,
∴DE=EK=KC=DC,
∴四边形DEKC是菱形,
∴∠EDC=∠EKC=60°,
∴△DEC为等边三角形,
∴OD=2,DK=4,EC=DE=4,
∴S五边形ABCDE=S菱形DEKC﹣S△ABK=×4×4﹣•22=7.
故选B.
4.【分析】根据解分式方程的一般步骤,可得整式方程的解,根据分式方程无解,可得答案.
解;方程两边都乘以(x﹣2)(x﹣1),得
(x﹣1)2=m(x﹣2)+(x﹣2)(x﹣1)
x(1﹣m)=1﹣2m
x=,
分式方程无解,得
x=1或x=2,
=1或=2,
解得m=0.
5.【分析】首先根据题意可知ac=8,ad=6,bd=5,根据后两式求出ab之间的关系,再求出bc的值,又知阴影三角形的面积为bc,即可得到答案.www-2-1-cnjy-com
解:
根据题意:
DE=a,AE=b,AN=c,BN=d,
且S1的面积为8,S2的面积为6,S3的面积为5,
故知ac=8…①
ad=6…②
bd=5…③,
②÷③得:
a=b…④,
把④代入①可得bc=,
∵阴影三角形的面积=bc=.
故选A.
6.【分析】根据两平行线之间的距离都为1米,可求出正方形1的边长为1米,正方形2的边长为3,正方形3的边长为5,从而结合图形可得出螺线的长度.2-1-c-n-j-y
解:
由题意得,两平行线之间的距离都为1米,
故可求出正方形1的边长为1m,正方形2的边长为3m,正方形3的边长为5m
螺线的长度为:
三个正方形的周长+(a+b)﹣(m+n)=36m.
故选B.
7.【分析】设点A的坐标为(a,),连接OC,则OC⊥AB,表示出OC,过点C作CD⊥x轴于点D,设出点C坐标,在Rt△OCD中,利用勾股定理可得出x2的值,继而得出y与x的函数关系式.
解:
过点C作CD⊥x轴于点D,连接OC,
设A(a,),
∵点A与点B关于原点对称,
∴OA=OB,
则B(﹣a,﹣)
∵△ABC为等边三角形,
∴AB⊥OC,OC=AO,
∵AO=,
∴CO=×=,
∵∠BOD+∠COD=∠COD+∠OCD=90°,
∴∠BOD=∠OCD,
设点C的坐标为(x,y),则tan∠BOD=tan∠OCD,即=,
解得:
y=﹣x,
在Rt△COD中,CD2+OD2=OC2,即y2+x2=3a2+,
将y=﹣x代入,得()x2=3(),
解得:
x2=,
故x=,y=﹣a,
则xy=﹣6,
故可得:
y=﹣(x>0).
故选C.
8.【分析】设长边为x(x>0),短边为y(y>0);然后根据矩形的面积与阴影部分的面积关系、图形中的线段间的数量关系列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得y值即可.【来源:
21·世纪·教育·网】
解:
设长边为x(x>0),短边为y(y>0).则
由①得,x=,③
将③代入②,解得y=.
故选D.
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征,将点(a,0)、(b,0)分别代入已知函数解析式,分别求得a2﹣1998a+1999﹣a=0﹣a=﹣a,b2﹣1998b+1999﹣b=0﹣b=﹣b;然后根据题意知a、b是方程x2﹣1998x+1999=0的两个实数根,所以根据根与系数的关系可以求得ab=1999;最后将所求的代数式转化为(a2﹣1999a+1999)•(b2﹣1999b+1999)=ab=1999.【版权所有:
21教育】
解:
∵抛物线y=x2﹣1998x+1999与x轴交于点(a,0)、(b,0),
∴a、b是方程x2﹣1998x+1999=0的两个实数根,a2﹣1998a+1999﹣a=0﹣a=﹣a,b2﹣1998b+1999﹣b=0﹣b=﹣b,
∴ab=1999,(a2﹣1999a+1999)•(b2﹣1999b+1999)=ab=1999,即(a2﹣1999a+1999)•(b2﹣1999b+1999)的值是1999.
故选A.
10.【分析】如图分别过A、B作AC⊥y轴于C,BD⊥y轴于D.设A(a,b),则ab=1.根据两角对应相等的两三角形相似,得出△OAC∽△BOD,由相似三角形的对应边成比例,则BD、OD都可用含a、b的代数式表示,从而求出BD•OD的积,进而得出结果.2·1·c·n·j·y
解:
分别过A、B作AC⊥y轴于C,BD⊥y轴于D.设A(a,b).
∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴ab=1.
在△OAC与△BOD中,∠AOC=90°﹣∠BOD=∠OBD,∠OCA=∠BDO=90°,
∴△OAC∽△BOD,
∴OC:
BD=AC:
OD=OA:
OB,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,∠B=30°,∴OA:
OB=1:
,
∴b:
BD=a:
OD=1:
,
∴BD=b,OD=a,
∴BD•OD=3ab=3,
又∵点B在第四象限,
∴点B在函数(x>0)的图象上运动.
故答案为:
(x>0).
11.【分析】根据无论m为任何实数,二次函数y=(x﹣2m)2+m的图象的顶点总在定直线上,即可得出m=0,进而得出答案.21*cnjy*com
解:
∵无论m为任何实数,二次函数y=(x﹣2m)2+m的图象的顶点总在定直线上,
∴x=2m是定值,即m=0,
∴此定直线的解析式为:
y=x.
故答案为:
y=x.
12.【分析】作E关于直线AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为所求,过F作FG⊥AD于G,在Rt△E′FG中,利用勾股定理即可求出E′F的长.
解:
作E关于直线AC的对称点E′,连接E′F,则E′F即为所求,
过F作FG⊥AD于G,过F作FG⊥AD于G,
在Rt△E′FG中,
GE′=AD﹣AE﹣CF=7﹣3﹣1=3,GF=7,
所以E′F===.
故答案为:
.
13.【分析】①由一次购买10张一下(含10张),每张门票180元,即可求得在x=(0,1,2,…10)时,该旅游团门票费用y(元)与人数x的函数关系式.www.21-cn-
②首先根据题意得:
当x>10,且x为整数时,该旅游团门票费用y(元)与人数x的函数关系式为:
y=180×10+180×0.6×(x﹣10),然后化简即可求得答案.
解:
①∵一次购买10张一下(含10张),每张门票180元,
∴当x=(0,1,2,…10)时,该旅游团门票费用y(元)与人数x的函数关系式为:
y=180x;
②∵根据题意得:
y=180×10+180×0.6×(x﹣10)=108x+720,
∴当x>10,且x为整数时,该旅游团门票费用y(元)与人数x的函数关系式为:
y=108x+720.
故答案为:
①180x,②108x+720.
14.【分析】设小长方形的长为x,宽为y,根据正方形的边长相等列方程从而可求得长与宽,从而不难求得k的值.21教育名师原创作品
解:
设小长方形的长为x,宽为y,则根据题意可知:
2x=x+2y,
即x=2y,长是宽的2倍,
所以当上、下各横排两个时,中间竖排有4个,
故k=8.
三、解答题(共4题,分值依次为12分、12分、12分和14分,满分50分)
15.【分析】由1×2=(1×2×3﹣0×1×2),2×3=(2×3×4﹣1×2×3),3×4=(3×4×5﹣2×3×4),…,得出n(n+1)=[(n(n+1)(n+2)﹣(n﹣1)n(n+1)],由此规律进一步拆开抵消得出答案即可.
解:
(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11
=(1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+10×11×12﹣9×10×11)
=×10×11×12
=440.
(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)
=[1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3+…+n(n+1)(n+2)﹣(n﹣1)n(n+1)]
=n(n+1)(n+2).
16.【分析】
(1)由图象可以设S1=k1t,S2=k2t,从图中,当t=2时,S1=6,当t=3时,S2=6,可以求出k1=3,k2=2,从而可以得到小亮和爷爷登山过程中路程S1(千米)、S2(千米)、与时间t(小时)之间的函数关系;
(2)根据S1=3t,先求出小亮到达山顶所用的时间,S1=12,则t=4,这时爷爷走了S2=2t=2×4=8(千米),所以点A到达山顶的路程为12﹣8=4千米
(3)从图中可以看出小亮下山时的速度与上山时的速度不一样,从题中可以知道小亮在山顶休息1小时,沿原路下山,在B处与爷爷相遇,此时B点到山顶的路程为1.5千米从中可以得到小亮的下山速度,从而根据关系得出当爷爷到达山顶时,小亮离山脚下的出发点还有多远,小亮的整个登山过程用了几小时.
解:
(1)由题意:
S1=k1t,S2=k2t,从图中,当t=2时,S1=6,当t=3时,S2=6,可以求出k1=3,k2=2【来源:
21cnj*y.co*m】
∴S1=3t,S2=2t;
(2)S1=3t,S1=12,则t=4,这时爷爷走了S2=2t=2×4=8(千米)
所以点A到达山顶的路程为12﹣8=4千米;
(3)因为S1=3t,当S1=12千米时,t=4(小时),
由于小亮休息了1小时,所以返回时已过了5小时,
而爷爷距离山顶为1.5千米时,
即爷爷走了12﹣1.5=10.5千米,所需时间为10.5÷2=5.25小时.
所以小亮在(5.25﹣5)小时走了1.5千米,
所以小亮返回时的速度为1.5÷(5.25﹣5)=6(千米/小时)
即爷爷到达山顶时,小亮走了6﹣5.25+0.25=1小时,
即离山脚下的出发点还有12﹣6×1=6(千米),
所以小亮的整个登山过程为4+1+2=7(小时).
17.【分析】
(1)能找到一点E,使AC2=AE•AB.当△ACE∽△ABE时就有这个结论;
(2)在条件
(1)的结论下,PB和⊙O相切.
如图连接BC,BO,并延长BO交圆与F,连接AF.利用
(1)的结论可以得到∠ACB=∠AEC.根据PB=PE,可以得到∠PBE=∠PEB.再利用圆内接四边形的性质和直径所对的圆周角是直角,可以证明∠PBE+∠BAE=90°,从而证明题目结论;
(3)C是PE的中点.根据切线长定理可以得到PB2=PC•PD,而E是PD的中点,可以得到PE=PD,代入PB2=PC•PD中,变换就可以得到题目结论.
解:
(1)能找到一点E,使AC2=AE•AB.
当∠AEC=∠ACB时,又∵∠A=∠A,
∴△ACE∽△ABE,
∴=,
故AC2=AE•AB;
(2)在条件
(1)的结论下,PB和⊙O相切.
如图连接BC,BO,并延长BO交圆与F,连接AF.
∵AC2=AE•AB,
∴△ACE∽△ABC.
∴∠ACB=∠AEC,而PB=PE.
∴∠PBE=∠PEB,而∠ACB+∠F=180°,∠AEC+∠PEB=180°,
∴∠F=∠PEB.
∴∠PBE=∠F,而∠F+∠ABF=90°,
∴∠ABF+∠PBE=90°.
∴PB和⊙O相切.
(3)根据
(2)可以得到PB2=PC•PD.
而E是PD的中点,可以得到PE=DE.
∴PE2=(PE﹣CE)×2PE=2PE2﹣2PE•CE.
∴PE=2CE,
∴C是PE的中点.
18.【分析】
(1)先求出点A、B的坐标,然后代入二次函数解析式,求出b、c的值,以及点C的坐标;
(2)设P点横坐标为m,求出P点纵坐标以及点E的纵坐标,求出PE的长度,利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值.
解:
(1)∵直线y=x+4与x、y轴分别交于A、B两点,
∴A(﹣4,0),B(0,4),
将点A、B坐标代入解析式得:
,解得:
,
则二次函数的解析式为:
y=﹣x2﹣3x+4,
令﹣x2﹣3x+4=0,解得:
x1=4,x2=1,
点C坐标为(1,0);
(2)设P点横坐标为m,
则纵坐标为﹣m2﹣3m+4,
E点纵坐标为m+4,
则PE=﹣m2﹣3m+4﹣(m+4)=﹣m2﹣3m+4﹣m﹣4=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
当m=﹣2时,PE有最大值4,
此时点P纵坐标为6,
故当点P运动到(﹣2,6)时,PE最长为4.
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