三角形基础知识及习题.doc
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三角形的三线
一、定义
三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
三角形的中线平分三角形的面积。
重心到顶
点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
三角形三条高线的交点叫做三角形垂心。
三角形三条角平分线线的交点叫做三角形内心。
注意:
三角形的中线,角平分线,高线均为线段
二、灵活运用
中线篇
1.如图7-11所示,在△ABC中,∠1=∠2,点G为AD的中点,延长BG交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,下列判断中正确的是()
(1)AD是△ABE的角平分线;
(2)BE是△ABD边AD上的中线;(3)CH是△
ACD边AD上的高.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.如图,BM是△ABC的中线,若AB=5cm,BC=13cm,那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少?
3.能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是()
A.中线B.高C.角平分线D.以上三种情况都正确
4.如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,则这个三角形是__________
5.如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影=__________.
6.如图,BD=BC,则BC边上的中线为______,△ABD的面积=_____的面积.
7.在△ABC中,D是BC上的点,且BD:
DC=2:
1,S△ACD=12,那么S△ABC等于()
A.30B.36C.72D.24
8.如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AD的中点,S△ABC=4cm2,求S△ABE.
9.探索在如图7-23至图7-25中,△ABC的面积为a.
(1)如图7-23,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD的面积为S1,则
S1=__________(用含a的代数式表示);
图7-23图7-24图7-25
(2)如图7-24,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.
若△DEC的面积为S2,则S2=________(用含a的代数式表示),并写出理由;
(3)在图7-25的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图7-25).若阴影
部分的面积为S3,则S3=__________(用含a的代数式表示).
(4)像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图7-25),此时,
我们称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面
积的__________倍.
应用
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模,把△ABC向外进行两次扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?
10.在数学活动中,小明为了求…的值(结果用表示),设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求…的值.
垂线篇
1.如图,在锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,且CD、BE交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是()
A.150°B.130°C.120°D.100°
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3.如图,已知AD,AE分别为△ABC的中线、高,且AB=5cm,AC=3cm,则△ABD与△ACD的周长之差为cm,△ABD与△ACD的面积关系为.
4.如图,在中,,的高与的比是多少?
5.如图,在△ABC中,∠C是钝角,画出∠C的两边AC、BC边上的高BE、AD.
6.如图7-13,△ABC的边BC上的高为AF,AC边上的高为BG,中线为AD,已知AF=6,BC=10,BG=5.
(1)求△ABC的面积;
(2)求AC的长;(3)说明△ABC和△ACD的面积的关系.
角平分线篇
1.在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线,则∠DAE的度数为______
2.下列四个命题中是真命题的有( )个
(1)D是△ABC中BC边上的一个点,且BD=CD,则AD是△ABC的中线
(2)D是△ABC中BC边上的一个点,且∠ADC=90°,则AD是△ABC的高
(3)D是△ABC中BC边上的一个点,且∠BAD=∠BAC,则AD是△ABC的角平线
(4)三角形的中线、高、角平分线都是线段
A.1 B.2 C.3D.4
3.如图BD、AE分别是△ABC的中线、角平分线,AC=10cm,∠BAC=700,则AD=_____,∠BAE=____
4.如图DE∥BC,CD是∠ACB的平分线,∠ACB=60°,那么∠EDC=______度
5.以下说法错误的是()
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点
B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点
D.三角形的三条高可能相交于外部一点
6.如图,中,为中线,平分,则,
_______________
7.如图,BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线,试探索∠D与∠A之间的数量关系.
8.如图,BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC的外角∠ACE的平分线,它们相交于点D,试探索∠BDC与∠A之间的数量关系.
三角形基础知识练习
1、如果点G是△ABC的重心,联结AG并延长,交对边BC于点D,那么AG:
AD是( )
A.
2:
3
B.
1:
2
C.
1:
3
D.
3:
4
2、如图,△ABC中,BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∠A=50°,则∠BOC等于( )
A.
110°
B.
115°
C.
120°
D.
130°
3、将一副直角三角板如图放置,使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
75°
4、如图,AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,垂足分别是D、C、F,下列说法中,错误的是( )
A.
△ABC中,AD是边BC上的高
B.
△ABC中,GC是边BC上的高
C.
△GBC中,GC是边BC上的高
D.
△GBC中,CF是边BG上的高
第2题图第3题图第4题图
5、如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=25°,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,则∠ADB′等于( )
A.
40°
B.
35°
C.
30°
D.
25°
6、AD,AE分别是△ABC的高和角平分线,且∠B=76°,∠C=36°,则∠DAE的度数为( )
A.
20°
B.
18°
C.
38°
D.
40°
7、在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角平分线相交于点D,∠D=40°,则∠A等于( )
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
80°
8、将一副直角三角板,按如图叠放在一起,则图中∠α的度数是( )
A.
45°
B.
60°
C.
75°
D.
90°
9、如图,EA⊥AB,BC⊥ABEA=AB=2BC,D为AB中点,有以下结论:
(1)DE=AC
(2)DE⊥AC(3)∠CAB=30°(4)∠EAF=∠ADE,其中结论正确的是( )
A.
(1),(3)
B.
(2),(3)
C.
(3),(4)
D.
(1),
(2),(4)
第5题第6题第7题第8题第9题
10、下列说法中错误的是( )
A.
三角形三条角平分线都在三角形的内部
B.
三角形三条中线都在三角形的内部
C.
三角形三条高都在三角形的内部
D.
三角形三条高至少有一条在三角形的内部
11、在如图中,正确画出AC边上高的是( )
A.
B.
C.
D.
12、一个三角形的底边增加10%,高减少10%,则这个三角形的面积( )
A.
增大0.5%
B.
减少1%
C.
增大1%
D.
不改变
13、如图,△ABC的两条中线AM、BN相交于点O,已知△ABO的面积为4,△BOM的面积为2,则四边形MCNO的面积为( )
A.
4
B.
3
C.
4.5
D.
3.5
14、如图,BD、CE是△ABC的两条高,AB=4,AC=3,则BD与CE比值是( )
A.
3:
4
B.
4:
3
C.
6:
8
D.
不能确定
15、如图,△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的大小是( )
A.
100°
B.
110°
C.
115°
D.
120°
16、直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是( )
A.
45°
B.
135°
C.
45°或135°
D.
都不对
17、如图,在△ABC中,∠A=20°,∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1,∠D1BC与∠D1CB的角平分线交于点D2,…依此类推∠D2BC与∠D2CB的角平分线交于点D3,则∠BD3C的度数是( )
A.
100°
B.
120°
C.
140°
D.
160°
18、如图,点P是△ABC中,∠B、∠C对角线的交点,∠A=102°,则∠BPC的度数为( )
A.
39°
B.
78°
C.
102°
D.
141°
第13题第14题第15题第17题第18题
19、如果三角形的三边长分别为a、a﹣1、a+1,则a的取值范围是( )
A.
a>0
B.
a>2
C.
a<2
D.
0<a<2
20、小亮截了四根长分别为5cm,6cm,10cm,13cm的木条,任选其中三条组成一个三角形,这样拼成的三角形共有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
21、如图,BD,CE分别是△ABC的两条高、它们相交于点H,那么下列式子中正确的有( )个.
(1)∠DHC=∠A;
(2)∠EBH+∠A=90°;(3)∠ACE=∠ABD;(4)∠ECB=∠ABC.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
22、如图,在△ABC中,∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线交于D,已知∠A=80°,则∠D=( )
A.
40°
B.
160°
C.
120°
D.
100°
23、如图,已知BE,CF分别为△ABC的两条高,BE和CF相交于点H,若∠BAC=50°,则∠BHC为( )
A.
160°
B.
150°
C.
140°
D.
130°
24、如图,五角星的顶点为A、B、C、D、E,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为( )
A.
90°
B.
180°
C.
270°
D.
360°
25、如图,射线AD、BE、CF构成∠1,∠2,∠3,则你发现,∠1+∠2+∠3的度数是( )
A.
90°
B.
180°
C.
270°
D.
360°
第21题第22题第23题第24题第25题
26、如图,△ABC中,E为边BC延长线上一点,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点B,若∠A=46°,则∠D的度数为( )
A.
46°
B.
92°
C.
23°
D.
44°
27、如图所示,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O,设∠BOC=α,则∠A等于( )
A.
90°﹣2α
B.
90°﹣
C.
180°﹣2α
D.
180°﹣
28、已知如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.
120°
B.
115°
C.
110°
D.
105°
29、如图△ABC中,∠A=96°,延长BC到D,∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2,依此类推,∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5,则∠A5的度数为( )
A.
19.2°
B.
8°
C.
6°
D.
3°
第26题第27题第28题第29题
30、如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的角平分线CA2是∠A1CD的角平分线,BA3是A2BD∠的角平分线,CA3是∠A2CD的角平分线,若∠A1=α,则∠A2013为( )
A、
B、
C、
D、
11
31、如图:
(1)在△ABC中,BC边上的高是 ;
(2)在△AEC中,CE边上的高是 ;
(3)在△BCF中,BC边上的高是 .
32、如图,点D是△ABC的边BC上任意一点,点E、F分别是线段AD、CE的中点,且△ABC的面积为18cm2,则△BEF的面积= cm2.
33、如图,对面积为1的△ABC进行以下操作:
分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S,则S= .
34、如图,直角三角形ABC,AC=3,BC=4,BA=5,CD是斜边AB上的高线,则CD= .
35、已知:
如图,在△ABC中,点D,E,F分别为三边中点,S△BGD=8,那么△ABC的面积是 .
36、如图,AD,CE是△ABC的高,已知AD=10,CE=9,AB=12,则BC= .
37、△ABC中,AD为中线,且△ABD的面积为3,则△ACD的面积为 .
38、如图,O为△ABC的重心,若OD=2,则AO= .
39、已知:
如图,在△ABC中,∠A=55°,H是高BD、CE的交点,则∠BHC= 度.
40、如图,点D、E为△ABC边BC、AC上的两点,将△ABC沿线段DE折叠,点C落在BD上的C′处,若∠C=30°,则∠AEC′= .
41、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,两个锐角的平分线相交于点D,则∠ADE= .
42、如图,△ABC,CP、BP分别平分三角形的外角∠ECB,∠DBC,若∠A=50°,那么∠P等于 °.
43、已知△ABC,
(1)如图,若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=;
(2)如图,若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=90°﹣∠A;
(3)如图,若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=.
其中结论一定正确的序号数是 .
44、如图,∠B=∠ADE,∠1=32°,则∠2= .
45、如图,△ABC中,∠A=80°,剪去∠A后,得到四边形BCDE,则∠1+∠2= .
46、如图,△ABC中,D在AC上,E在BD上,∠1=20°,∠2=50°,∠C=20°,则∠ADB=
∠DBC= .
47、如图,△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,∠AFD=158°,则∠EDF等于 度.
48、如图,在△ABC中,点D是BC上一点,∠BAD=80°,AB=AD=DC,则∠C= 度.
49、已知:
如图,△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线,BF是∠ABC的平分线,BF与AE交于O,若∠ABC=40°,∠C=60°,求∠DAE、∠BOE的度数.
50、在△ABC中.
(1)若∠A=60°,AB、AC边上的高CE、BD交于点O.求∠BOC的度数.(如图)
(2)若∠A为钝角,AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O,画出图形,并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= °,再用你已学过的数学知识加以说明.
(3)由
(1)
(2)可以得到,无论∠A为锐角还是钝角,总有∠BAC+∠BOC= °.
51、如图,在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点,求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
52、已知△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD、AC于点F、E,求证:
∠CFE=∠CEF.
53、在△ABC中,已知∠ABC=60°,∠ACB=50°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点.求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数.
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