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烤肉模型
烤肉时间规则制定
摘要
本文基于多元线性回归、一元线性回归法、方差分析、热传导规律和偏微分方程中的抛物线类型的方程模型进行建模,对比热容、传导的热量与温度的关系进行分析并求解,确定了烤肉达到中心最低温度时的时间与肉的种类与肉块大小的关系。
问题一是在肉的种类不一致但肉块的大小一致的情况下合理安排烧烤的规则。
首先通过数据的调查发现比热容与含水量、蛋白质、碳水化合物和脂肪含量有关系于是用MATLAB画出了比热与水、蛋白质、碳水化合物和脂肪的关系散点图见图
(1)。
确定了比热容和水线性关系权重最大,所以通过一元线性回归模拟出比热和水含量的关系式见图(2,3)。
通过含水量的分析我们能够将肉分成两类禽类和鱼类。
通过spss对猪肉的含水量进行分析,来确定禽类的含水量见表
(1)。
而鱼类的含水量通过查找资料找到。
为了求出温度与时间的变化我们通过生长模型的借鉴引入新的变量
作为变化率,建立与求解温度变化率、单位时间内散失的热量和时间与温度和肉块厚度的偏微分方程,利用MATLAB分别绘出第一类肉与第二类肉的时间与中心最低温度的图表,其结果见正文。
通过计算可以得出烧熟第一类肉需要11-12分钟;烤熟第二类肉需要9分钟左右。
。
问题二是在肉的种类一致但是肉块的厚度不一致的情况下合理安排烧烤的规则。
通过模型时间与温度和肉块厚度的微分方程中的一个关系式的线性变化,我们利用MATLAB软件求出温度与时间的数值,进而作出厚度在原来的厚度的基础上增加2mm到10mm变化时温度与时间的关系表格。
从而得出当肉的类型相同时不同厚度烤熟所需时间。
其结果见正文。
最后对问题模型进行了评价。
关键字:
一元线性回归多元线性回归偏微分方程傅里叶定律MATLAB
一、问题重述
你是否经常在烧烤时把鸡肉烤焦?
是否希望精确地"估算"烧烤时间?
是否希望有一套指导你烧烤的规则?
当一块肉的内部最低温度达到某一值时,这块肉就算烤好了,这温度值取决于肉的类型和熟透的程度.考虑与烧烤时间相关的各因素.查阅相关资料,建立数学模型,自拟一套合理烧烤的规则。
二、问题分析
考虑一块肉是否烤好取决于这块肉的中心温度是否达到了某一最低温度。
而烤肉本身就是炭火放出的热量传入肉内。
当肉的种类不一致但肉块大小一致时,热量的传导与物质的比热容、密度和热传导系数有关。
通过查找相关资料可知,肉类的密度和热传导系数都很近似,因此在此题中我们设定密度和热传导系数为定值。
因此比热容是影响烧烤时间的重要因素。
当肉的种类一致但是肉块的大小不一致时,此时比热容等对热量的传导没有影响,因此此时只需考虑肉块的面积和厚度对热量传导的影响。
三、问题假设
(1)假设开始烧烤时,所要烧烤的肉已经具有相同的温度(假设从冰柜中拿出时温度都为零度)。
(2)假设在烧烤的过程中,随着温度的升高热传导率不发生变化。
(3)假设温度的升高,那么单位温度升高所需的能量就越高,当达到成熟后,所需能量为定值。
(4)假设在考虑第一问题的时候所有的肉块的底面积和厚度是一样的。
(5)假设烤肉环境是露天的,并且使用的是木炭烧烤。
(6)假设在翻转的时间很短,在这个过程中温度散失不计。
(7)假设在厚度小于10㎜的时候上表面的温度与下表面的温度比值为1/2。
(8)假设在厚度大于10㎜的时候上表面温度与下表面温度随着厚度的增加减少率不变。
四、符号说明
c
比热容
t
时间
x
肉块的厚度
u
肉块的中心温度
q
单位时间内传导的热量
ρ
密度
Q
单位时间内散失的热量
五、模型建立与求解
5.1.1比热容大小的分析:
对于因变量的全面解释往往需要多个自变量的共同作用。
而影响比热容的因素可能有含水量、碳水化合物、蛋白质和脂肪。
因此为了研究比热容的大小,我们研究需要研究比热容C与含水量x1、碳水化合物含量x2、蛋白质含量x3、脂肪含量x4之间的关系。
物质的比热容和各因素的大小见附录1.1.通过MATLAB软件编程(程序见附录2.1)分别作出C与x1,C与x2,C与x3,C与x4的散点图(见图1),通过对散点图地观察可以得知C与x1在很大程度上呈线性关系,而c与x2,x3,x4没有明显的线性关系。
图1
因此我们就定性的用含水量的多少来表示比热容的大小。
即用一元线性回归模型,设回归的模型为C=β0+β1x,调用regress()求解。
作出回归线图和残差图(如图2所示)。
图2
从而得到β0=28.03,β1=1379;β0的置信区间为[24.1231.93],β1的置信区间为[11201674];可决系数R-square=0.9309接近于常数1,故回归模型C=28.03*x1+1379成立。
利用MATLAB做出残差图(见图3)
图3
从残差图可看出,除了第一个,第二,三个数据异常外,其余的数据残差离零点都比较近,且残差的置信区间均包含零点,这说明回归模型能较好的拟合数据。
5.1.2猪肉的含水量的分析:
通过简单的计算收集到的数据(见附录1.2),我们可以发现肉类的含水量基本上是一致的,并且大都分布在70%左右。
因此,为了检验数据的我们通过对调查的一部分猪肉的含水量进行单一样本的t检验,以确定是否与全国的肉类含水量有显著的差异。
通过spss我们对50份的猪肉样本进行检验。
得到结果如下表所示。
表1
从分析结果可以看到,50个样本的含水量平均值为68.66%,标准差为4.062,均值误差为0.574.样本均值和检验的值相差1。
338%,根据公式可以计算出t的值为-2.329,得到相伴概率为0.024.95%的置信区间为(-2.49,-0.18)。
可以认为肉类的含水量就是70%。
那么由模型1可以知道C=28.03*70+1379=3341为常量。
5.1.3温度变化率:
一般的温度变化率
在这里显然是不合适的。
因为根据温度传导定律来说当两者温度相差不是很大的时候,他们之间的热量传递就不那么剧烈所以温度变化率会随着温度的升高而逐渐减少。
为此,我们引入新的变量1-
。
显然1-
≥0,并且是单调递减的。
那么我们将上面的公式
中的
T用
(1-
)替代。
于是可以得到
(1-
).用这个公式来表示传热效率还是比较恰当的。
再配上初始条件T(0)=T0就能得到:
(1)
由于一般情况下肉类在120℃的时候就已经完全熟了。
所以我们这里的um就是120℃.根据假设可以知道α=5℃/min.从而得到u=120*(1-exp(-t/24));通过已知关系式可以的到温度与时间的关系图件图4
图4
5.1.4单位时间内散发的能量
根据假设(4)可知,随着温度的升高单位时间内散失的能量是单位递增的,并且最终接近于最大温度时散失的能量为Qm。
结合传热效率模型,可以将散失能量的增长墨香描述为:
(2)
不难看出,由于1-
≥0且单调递减,所以
是单调递增的。
且当u=um时,
完全符合Qm的含义及假设(4)的要求。
综上所述,由方程
(1)
(2)可以构成以下微分方程组:
就能比较全面地描述传热效率和散失能量增长的规律。
5.2.2方程
(1)的求解
方程
(1)可化为
,这是一个一阶线性非其次微分方程。
易求得该微分方程满足初始条件T(0)=T0时的特解为:
(3)
5.2.3方程
(2)的求解
在方程
(2)中,除了变量t与Q之外,还含有变量u。
所以为了求解出
Q(t)就必须消去u。
事实上由方程一可得
。
为利用这个关系可得方程
(2)改写为
从而有
(4)
注意到由(3)式可得
代入(4)式即可得
直接积分,可求得该方程的通解为:
(5)
将Q(0)=0代入(5)式中可得
5.1.4时间与温度和厚度的偏微分方程
同时在烤肉的时候我们会根据肉的成熟程度会自动的调节火的大小,使其能够满足单位时间内物体吸收的热量为恒定值。
就是说要是q为恒定的值,才会有下面的微分方程成立。
我们假设原材料在时间t之内放出的热量为
那么就有(
-
)/t=q,对任意的时间t都满足。
热传导问题研究温度在空间的分布在时间中的变化u(x,y,z,t)。
温度不均匀程度可用温度梯度▽u表示;热传导的强弱可用热流强度q表示。
在热传导方程中比较常用的就是傅里叶定律——单位时间内传导的热量与温度梯度及垂直于热流方向的截面积成正比也即傅里叶定律为:
q=-k▽u.实际上温度是在空间上分布的,但是为了求解的方便我们假定热量的传导只是沿着厚度的方向传导,不会沿着其他的方向传导。
那我们现在就只考虑一维情况:
cρut-
=0
Ut-a2uxx=0(a2=
)
其中c表示比热容,并且与水分有关即与材料有关;ρ是密度
构造微分方程模型中的抛物型方程:
(0 在这里的初始值我们定义 ; 120*(1-exp(-t/24)); =60*(1-exp(-t/24)).基于以上模型,我们可以对烧烤问题进行具体讨论 5.2.1问题一: 在假定肉块大小为10*15*0.5mm3的情况下,我们进行下面两个类型的讨论: 由于禽类和兽类的含水量是基本上一致的我们就把他们分为一类;而鱼类生活在水中他们的肉类的含水量就比较高我们把它作为第二类。 (1)第一类: 通过前面的计算我们得到第一类的肉的C=3.341J/㎏.K;第一类肉的密度1100㎏/m3;热传导系数为: 也即是 =5;采用MATLAB编程(程序见附录3.1)可以求出在某一位置任意时刻的温度值。 现在我们求得在中心层位置的任意时间的温度值。 见表2 时间/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度/U 0 1.9 7.0 14.6 24.4 36 49.1 63.5 79 95.3 时间/min 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 温度/U 112.5 130.3 148.5 167.2 186.3 205.8 225.5 245.4 265.5 285.7 表2第一类肉中心位置任意时间的温度 同时用MATLAB画出它的关联图,见图5 图5第一类肉时间与中心层温度的关系图 图6第一类肉距离中心层的高度与时间和温度的关系图 由上面的表格数据我们可以得到对于第一类肉的烧烤规则如下: 由常识可知,烧烤猪肉和鸡肉必须等到食物全熟才能食用,也就是说当这些种类的肉中心最低温度达到120℃才算全熟。 通过以上数据可以得知,要想吃到可口的烤肉大约要烤上11-12分钟。 如果少于这个时间那么有可能还没有完全熟透,如果超过这个时间就会使中心温度过高可能导致烤焦的情况。 但是对于牛肉来说我们就要依据个人的喜好来决定了。 人们一般是在五分熟到全熟之间进行选择。 那我们就考虑这五种情况下的烤肉时间。 由上表及图像可以得到下面的数据。 见表3 成熟度 5(55℃) 6(65℃) 7(80℃) 8(100℃) 9(125℃) 10(150℃) 时间/min 7.5 8 9.5 10.5 11.5 13.5 表3 (二)第二类肉: 通过前面的计算我们得到第二类肉的含水量为85%,密度为0.9㎏/m3,从而计算得出 =8.通过编程(程序见附录3.1)我们得出温度与时间和位置的图像。 见图7,8.表4 图7第二类肉距离中心层的高度与时间和温度的关系图 图8第二类肉时间与中心层温度的关系图 温度/u 0 1.7 6.5 19.0 23.6 35.1 48.1 62.4 77.7 94.0 时间/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度/u 111.1 128.8 147.0 165.7 184.8 204.2 223.9 243.7 263.8 284.0 时间/min 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 表4第二类肉中心位置任意时间的温度 通过上面的数据我们做出这样的规划: 在烤鱼肉的时候要把鱼肉烤好最少的温度是80℃,所以在烤鱼肉的时候是烤九分钟这么长的时间。 如果想吃的比较嫩一点的话就烤六七分钟时间,如果要吃老一点话就要烤十一二分钟的时间。 5.2.2问题2: 对于问题2我们任然可以沿用问题一的模型结果去分析讨论。 在问题2中我们假定的肉的类型是一致的,那么这个时候我们考虑时间与温度的关系式就只需要考虑肉块的大小带来的影响。 我们以第一类肉作为研究对象来定性说明其他种类的肉的烧烤规则。 当厚度增加的时候问题一中的微分模型当中的计算式即 将会发生变化。 随着厚度的增加 将会发生线性的变化。 我们就设为随着厚度的增加U(l,t)逐渐减小。 每增加2㎜温度会在原来的基础上降低1/10.考虑到时间的关系我们就只考虑增加到10㎜五种情况。 假设变化率为 。 则有 通过MATLAB编程(程序见附录3.2)我们可以的到增加厚度与时间的关系,见表5 2 4 6 8 10 1 0 0 0 0 0 2 1.5 1.37 1.14 0.9 0.6 3 5.9 5.2 4.4 3.5 2.1 4 12.6 11.1 9.3 7.5 4.6 5 21.2 18.9 15.7 12.6 7.6 6 31.5 28.0 23.4 18.7 11.3 7 43.2 38.4 32.0 25.6 15.6 8 56.1 49.9 41.6 33.3 20.2 9 69.9 62.2 51.8 41.5 25.2 10 84.6 75.2 62.7 50.2 30.5 11 99.9 88.9 74.1 59.3 36.1 12 115.9 103.0 85.9 68.7 41.8 13 132.3 117.6 98.0 78.4 47.8 14 149.1 132.59 110.5 88.4 53.9 15 166.3 147.84 123.2 98.6 60.1 16 183.7 163.3 136.1 108.9 66.4 17 201.4 179.0 149.2 119.4 72.8 18 219.4 194.9 162.5 130.0 79.3 19 237.4 211.1 175.9 140.7 85.9 20 255.6 227.2 189.4 151.5 92.5 表5 通过得出的表格,我们作出每个点的三维曲面图(见图9)和等温线图(见图10)(程序见附录4),上述图表为我们制作规则提供了有力的依据。 图9三维曲面图 图10等温曲线图 从等温线上面来看随着厚度的增加要想达到规定的温度那么所需要的时间就会相应的增加。 就模型来说每增加两毫米达到熟的温度比原来的基础上要增加一分钟半左右。 六、模型评价 在解决问题一的时候考虑了物质在受热情况下,其结构内部的温度变化与时间和空间位置的关系使得该模型具有一定的实用性和指导性。 同时还考虑到温度越高肉内部成分之间的传导速率越慢,使得该模型具有科学性。 经过与实际的情况相比较,得到的结果还是很符合实际的。 当然我们也有一些不足之处,比如我们是在一些理想的条件下建立的模型,所以还具有一定的局限性,再解决问题一的时候考虑温度与空间位置的关系的时候我们只是考虑了厚度的影响而没有考虑其他方向的影响。 在解决温度的传递效率的时候而忽略了底面积是否受热均匀的影响。 在计算比热容的时候仅仅只是用含水量的多少来定性的描述使得结果与实际由误差的存在。 在解决问题二的时候我们只做了猪肉的模型,没有处理其他的肉类的模型,使得做出的规划只是针对猪肉有实际的指导作用而对其他肉类的指导就不是很有影响力。 七、参考文献 [1]: 《食品科学.FoodScience》1993Jan.1No.1577 [2]: 《食品科学.FoodScience》1997Vol.18No.7 [3]: 吴信法.肉品科学及肉品卫生检验.中国商业出版社,1984,61~64,96. [4]: 梁昆淼.《数学物理方法.第四版》.高等教育出版社,2010-2. [5]: 史峰《函数速查手册》.中国铁道出版社,2011-4. [6]: 周永正《数学建模》.同济大学出版社,2010-8. 八、附录 附录1: 1.1比热容与所含物质含量 %物质含水量的百分之含量x1=[12,87.5,3.5,15.5,87,82.6,90.5,81.4,71.1,79.8,84.4,49.9,96.1,68.0,65.0,66.2,57.4,60.0,88.2]; %物质的含有碳水化合物的百分之含量x2=[0.5,0.8,35.6,0.6,3.5,15.0,3.5,1.8,21.6,2.1,0.2,27.6,0.5,21.0,25.0,26.8,25.7,25.0,1.2]; %物质的含有蛋白质的百分之含量 x3=[87.0,11.1,52.0,0.4,4.9,0.0,5.1,14.6,0.0,17.1,14.5,0.3,1.9,0.0,1.0,0.0,1.2,0.0,9.3]; %物质的含有脂肪的百分之含量 x4=[0.2,0.2,1.0,81.0,3.9,0.4,0.1,1.8,5.7,0.1,0.6,17.5,0.1,10.0,2.0,1.4,11.0,13.0,0.3]; %物质的比热容的大小 y=[1.754,3.822,1.520,2.125,3.981,3.697,4.011,3.676,3.433,3.634,3.759,2.014,4.103,3.223,3.256,3.502,3.014,3.056,3.886]; 1.2猪肉的含水量的调查数据: 序号 含游离水量 总水含量 1 39.1 69.7 2 35.9 68.5 3 35.6 67.3 4 33.4 66.4 5 41.3 64.6 6 36.1 67.5 7 37.8 70.7 8 38.4 74.9 9 40.2 59.1 10 41.3 72.3 11 43.2 69.2 12 41.6 70.1 13 33.8 61.8 14 37.9 58 15 34.2 67.5 16 37.1 67.1 17 42.1 69.8 18 42.8 75.3 19 44.9 70.1 20 46.1 68.8 21 33.3 63.6 22 37.2 71.7 23 37.3 72.7 24 35 70.9 25 34.5 70.1 26 33.6 68.5 27 40.2 70 28 35.4 71.6 29 33.4 67.9 30 38.6 70.1 31 36.8 70.5 32 41.1 73.5 33 34.6 69.6 34 43.6 73.4 35 44.5 75.1 36 42.6 72.8 37 33.3 65.1 38 43.6 61.2 39 44.1 75.2 40 38.2 61.8 41 39.2 63.7 42 37.7 70.1 43 40.1 68.7 44 42 65.4 45 39.2 70.3 46 44.8 71.7 47 42.1 63 48 33.1 68 49 42.8 69.4 50 41.6 68.8 附录2: 2.1: 比热容与含水量、碳水化合物、蛋白质、脂肪的关系散点图 x1=[12,87.5,3.5,15.5,87,82.6,90.5,81.4,71.1,79.8,84.4,49.9,96.1,68.0,65.0,66.2,57.4,60.0,88.2];%含水量 x2=[0.5,0.8,35.6,0.6,3.5,15.0,3.5,1.8,21.6,2.1,0.2,27.6,0.5,21.0,25.0,26.8,25.7,25.0,1.2];%碳水化合物含量 x3=[87.0,11.1,52.0,0.4,4.9,0.0,5.1,14.6,0.0,17.1,14.5,0.3,1.9,0.0,1.0,0.0,1.2,0.0,9.3];%蛋白质含量 x4=[0.2,0.2,1.0,81.0,3.9,0.4,0.1,1.8,5.7,0.1,0.6,17.5,0.1,10.0,2.0,1.4,11.0,13.0,0.3];%脂肪含量 y=[1.754,3.822,1.520,2.125,3.981,3.697,4.011,3.676,3.433,3.634,3.759,2.014,4.103,3.223,3.256,3.502,3.014,3.056,3.886];%比热容的大小 A=[x1;x2;x3;x4;y] A=A'; %绘出散点图 figure (1);subplot(2,2,1); plot(A(: 1),A(: 5),'*');title('比热与水'); subplot(2,2,2); plot(A(: 2),A(: 5),'o');title('比热与碳水化合物'); subplot(2,2,3); plot(A(: 3),A(: 5),'+');title('比热与蛋白质'); subplot(2,2,4); plot(A(: 4),A(: 5),'x');title('比热与脂肪'); 2.2: 比热容与含水量的关系 x1=[12,87.5,3.5,15.5,87,82.6,90.5,81.4,71.1,79.8,84.4,49.9,96.1,68.0,65.0,66.2,57.4,60.0,88.2]; y=[1.754,3.822,1.520,2.125,3.981,3.697,4.011,3.676,3.433,3.634,3.759,2.014,4.103,3.223,3.256,3.502,3.014,3.056,3.886]; cftool(x1,y); 附录3 3.1: 计算不同种类肉类在相同条件下的烧烤模型 %禽类和兽类的计算 %建立微分方程 function[c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) c=1; f=5*dudx; s=0; %初值 functionu0=pdeic(x) u0=0; %初边值 function[pl,ql,pr,qr]=pdebc(xl,ul,xr,ur,t) pl=120*(1-exp(-1/6*t)); ql=-1; pr=60*(1-exp(-1/6*t)); qr=-1; %主程序 m=0; x=linspace(0,3,100);%xmesh t=linspace(0,20,100);%tspan %以pde求解 sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t); u=sol(: : 1);%取出答案 %绘图输出 figure (1) surf(x,t,u)
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