圆和圆的基本性质.docx
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圆和圆的基本性质
第一节圆和圆的基本性质
【知识回顾】
1.圆的定义(两种)
2.有关概念:
弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。
3.“三点定圆”定理
4.垂径定理及其推论
5.“等对等”定理及其推论
【考点分析】
1、确定条件:
圆心确定位置;半径确定大小。
2、圆的对称性:
圆是轴对称图形也是中心对称图形。
对称轴是直径,对称中心是圆心。
3、垂径定理:
4、点与圆的位置关系
设圆的半径为
,一点到圆心的距离为
,
点在圆外
;点在圆上
;点在圆内
。
【典型例题】
例1⑴下列语句中正确的有()
相等的圆心角所对的弧相等;
②平分弦的直径垂直于弦;
③长度相等的两条弧是等弧;
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴;
A.1个B.2个C.3个D.4个
⑵如图1,AB为⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E点,BF⊥CD于F点,BF交⊙O于G点,下面的结论:
①EC=DF;②AE+BF=AB;③AE=GF;④FG·FB=EC·ED,其中正确的结论是()
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④
例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm,拱高CD=8cm,则桥拱的半径是__________。
⑵已知:
如图3,⊙O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是()
A.B.C.5D.8
例3已知:
⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、,
求∠BAC的度数。
例4已知:
F是以O为圆心、BC为直径的半圆上的一点,A是BF的中点,AD⊥BC于点D,求证:
AD=BF.
【基础练习】
1、如图5,乒乓球的最大截口⊙O的直径AB⊥弦CD,P为垂足,若CD=32mm,AP:
PB=1:
4,则AB=________.
2、平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6cm,最短为2cm,则⊙O的半径为_______cm.
3、已知:
如图6,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=1.
若以C为圆心,CB长为半径的圆交AB于P,则AP=________.
4、已知一个直角三角形的面积为12cm2,周长为12cm,那么这个直角三角形外接圆的半径是___________cm.
5、如图7,已知AB是⊙O的直径,D为弦AC的中点,BC=6cm,则OD=________cm.
6、如图8,在⊙O中,弦AB=CD,图中的线段、角、弦分别具有相等关系的
量有(不包括AB=CD)()
A.6组B.5组C.4组D.3组
7、圆的直径是26cm,圆中一条弦的长是24cm,则这条弦的弦心距是()
A.5cmB.6cmC.10cmD.12cm
8、如图9,在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足是C,则下列结论中错误的是()
A.AC=CBB.AN=BNC.AM=BMD.OC=CN
9、如图10,已知:
在⊙O中,AB为弦,C、D两点在AB上,且AC=BD.
求证:
△OCD为等腰三角形.
【能力创新】
10、等腰△ABC内接于半径为10cm的圆内,其底边BC的长为16cm,则S△ABC为()
A.32cmB.128cmC.32cm或8cmD.32cm或128cm
11、已知:
如图11,在⊙O中CD过圆心O,且CD⊥AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交⊙O于F,交AB于E,求证:
CB2=CF·CE.
12、如图12,AM是⊙O的直径,过⊙O上一点B作BN⊥AM,垂足为N,其延长线交⊙O于C点,弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB,求证EN=NM;⑵如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证:
CE2=EF·ED;⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F,且CD=AB,那么⑵的结论是否仍成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
第二节直线和圆的位置关系
【知识回顾】
1.三种位置及判定与性质:
2.切线的性质(重点)
3.切线的判定定理(重点)。
圆的切线的判定有⑴…⑵…
4.切线长定理
【考点分析】
1、直线和圆的位置关系及其数量特征:
直线和圆的位置
相交
相切
相离
D与r的关系
d d=r d>r 公共点个数 2 1 0 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 割线 切线 无 2、有关定理和概念 切线的判定定理: 判定方法: ①②③ 切线的性质定理及推论: 切线长定理: 三角形的内切圆和内心: 【典型例题】 例1、如图80303,已知AB是⊙O的直径,C在AB的延长线上,CD切⊙O于D,DE⊥AB于E,求证: ∠EDB=∠CDB。 例2、如图80304,已知AB是⊙O的一条直 径,过A作圆的切线AC,连结OC交⊙O于D;连结BD并延长交AC于E,AC=AB ①求证: CD是ΔADE外接圆的切线。 ②若CD的延长线交⊙O于F,求证: = ③若⊙O的直径AB=2,求tg∠CDE的值。 ④若AC≠AB结论①还成立吗? 【基础训练】 1、若⊙O的半径为3cm,点P与圆心O的距离为6cm,则过点P和⊙O相切的两条切线的夹角为度。 2、已知圆的直径为13cm,如果直线和圆只有一个公共点,那么直线和圆心的距离为。 3、已知PA与⊙O相切于A点,PA= ∠APO=45°,则PO的长为。 4、已知ΔABC中,∠A=70°,点O是内心,则∠BOC的度数为。 5、已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E且DE=2cm,则点D到OB的距离为。 6、如图80301,AE、AD和BC分别切⊙O于E、D、F,如果AD=20,则ΔABC的周长为。 7、如图80302,梯形ABCD中,AD∥BC,过A、B、D三点的⊙O交BC于E,且圆心O在BC上,①四边形ABED是什麽四边形? 请证明你的结论。 ②若∠B=60°,AB: AD: BC=1: 1: 3则有哪些结论? 至少写出两个并加以证明。 【发展探究】 1、如图80305,设PMN是⊙O通过圆心的一条割线,①若PT切⊙O于点T,求证: = ②若将PT绕点P逆时针旋转使其与⊙O相交于A、B两点,试探求 与 间的关系。 2、如果上题中的割线PMN不通过圆心,上述结论是否仍然成立? 【优化评价】 1、⊙O的半径是8,⊙O的一条弦AB长为8 以4为半径的同心圆与AB的位置关系是。 2、在RtΔABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C为圆心,R为半径新作的圆与斜边AB只有一个公共点,则R的取值范围是。 3、在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,以CD为直径的圆切AB于E点,AD=3,BC=4,则⊙O的直径为。 4、RtΔABC中,∠A=90°,⊙O分别与AB、AC相切于点E、F,圆心O在BC上,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径等于()。 A、 B、 C、 D、 5、如图80306,ΔABC是⊙O的内接三角形,DE切圆于F点,且DE∥BC,那么图中与∠BFD相等的角的个数是()。 A、5B、3C、4D、2 6、如图80307,AB⊥BC,且AB=BC,以AB为直径作半圆O交AC于D,则图中阴影部分的面积是ΔABC面积的()。 A、1倍B、 倍C、 倍D、 倍 7、如图80308,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上的任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上,且RP=RQ。 ①求证: RQ是⊙O的切线。 ②求证: OB2=PB·PQ+OP2。 ③当RA≤OA时,试确定∠B的范围。 8、如图80309,点A在⊙O外,射线AO与⊙O交于F,G两点,点H在⊙O上,弧FH=弧GH,点D是弧FH上一个动点(不运动至F),BD是⊙O的直径,连结AB,交⊙O于点C,连结CD,交AO于点E,且OA= OF=1,设AC=x,AB=y。 ①求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。 ②若DE=2CE,求证: AD是⊙O的切线。 ③当DE,DC的长是方程x2-ax+2=0的两根时, 求sin∠DAB的值。 第三节与圆有关的角 【知识回顾】 与圆有关的角: ⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 【考点分析】 圆心角定理,圆周角定理,弦切角定理,圆内接四边形定理以及相关概念,能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。 【典型例题】 例1、⑴已知: A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点,则∠HDF=_______. ⑵如图1,AC是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,EC∥AB交⊙O于E,则图中与∠BOC的一半相等的角共有() A.2个B.3个C.4个D.5个 例2、⑴下列命题正确的是() A.相等的角是对顶角;B.相等的圆周角所对的弧相等; C.等弧所对的圆周角相等角;D.过任意三点可能确定一个圆。 ⑵如图2,经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P, 若∠CAP=40°,∠ACP=100°,则∠BAC所对的弧的度数为() A.40°B.100°C.120°D.30° ⑶如图3,AB、AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,使AD=AB,若∠ADB=35°,则∠BOC=____. 例3、⑴如图4,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B点,DC的延长线交AB于点A,∠A=20°,则∠DBE=_________. ⑵如图5,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,CD与⊙O切于C,那么∠CAB=_____度。 例4、已知,如图6,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连结AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB=,点E是DB上任意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连结AF与直线CD交于点G。 ⑴求证: AC2=AG·AF;⑵若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否任然成立? 若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由。 【基础练习】 1、填空题: ⑴如图7,OA、OB是⊙O的两条半径,BC是⊙O的切线, 且∠AOB=84°,则∠ABC的度数为___________. ⑵如图8,C是⊙O上的一点,AB为100°,则∠AOB=_____度, ∠ACB=_______度。 ⑶圆内结四边形ABCD中,如果∠A: ∠B: ∠C=2: 3: 4,那么∠D=_____度。 ⑷如图9,△ABC中,∠C=90°,⊙O切AB于D,切BC于E,切AC于F,则∠EDF=_____。 2、选择题: ⑴如图10,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,E为AB延长线上一点,∠CBE=40°,∠AOC等于() A.20°B.40°C.80°D.100° ⑵△ABC内接于⊙O,∠A=30°,若BC=4cm,则⊙O的直径为() A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm ⑶如图11,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,则tan∠BPD等于() A. B. C. D. ⑷如图12,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,半圆O的切线PC交AB的延长线于点P,∠PCB=29°,则∠ADC=() A.109°B.119°C.120°D.129° 3、如图13,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线XY切⊙O于点C,弦BD∥XY,AB、BD相交于点E。 ⑴求证: △ABD≌△ACD;⑵若AB=6cm,BC=4cm,求AE的长。 【能力创新】 5、如图14,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于P。 ⑴已知: CD=8cm, ∠B=30°,求⊙O的半径;⑵如果弦AE交CD于F,求证: AC2=AF·AE. . 第四节与圆有关的比例线段 【知识回顾】 与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 【考点分析】 1、和圆有关的线段间的比例关系可列表如下: 相交弦定理及推论1 切割线定理及推论2 条件 弦AB,CD相交于P点 弦CD⊥直径AB交于P点 PT是⊙O的切线,PAB是⊙O的割线 PAB、PCD均为⊙O的割线 图形 图80401 图80402 图80403 图80404 结论 PA·PB=PC·PD PC2=PA·PB PT2=PA·PB PA·PB=PC·PD 2、可深化得出的结论: PA·PB为常数。 设⊙O的半径为R,对于相交弦则有PA·PB=R2-OP2,对于切割线则有PA·PB=OP2-R2。 3、解题方法: ①直接应用相交弦定理,切割线定理及其推论;②找相似三角形,当不能直接运用定理和推论时,通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。 【典型例析】 例1、如图80406,已知ΔABC是⊙O的内接三角形,PA是切线,PB交AC于E点,交⊙O于D点,且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。 求CE的长。 例2、如图80407,已知PA切⊙O于A点,PBC为割线,弦CD∥AP,AD交BC于E点,F在CE上,且ED2=EF·EC。 求证: ①∠EDF=∠P②求证: CE·EB=EF·EP ③若CE: EB=3: 2,DE=6,EF=4,求PA的长。 【基础训练】 1、已知: AB·CD为⊙O得两条弦,AB与CD交于点P且点P为CD得中点,PC=4,则PA·PB=。 2、已知RtΔABC的两条直角边AC,BC得长分别为3cm,4cm。 以AC为直径作圆于斜边AB交于点D,则BD得长为。 3、已知割线PBC与⊙O交于点B点C且PB=BC。 如果OP与⊙O交于点A,且OA=7,AP=2,则PC的长为。 4、已知PA为⊙O的切线,A为切点,PBC时过点O得割线,PA=10cm,PB=5cm,则⊙O的半径为。 5、⊙O的一弦AB=10cm,P是AB上一点,PA=4cm,OP=5cm,则⊙O的直径为。 6、如图80405,已知ΔABC中,AD平分∠BAC,过A、B、D作⊙O,EF切⊙O于D点,交AC于E点。 求证: CD2=CE·AC。 【发展探究】 如图80408,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆上的一点,过H与半圆相切的直线交AB于点E,交CD于点F,①当H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动(E与A不重合,F与D不重合),试问四边形AEFD的周长是否也在变化? 请证明你的结论;②若∠BEF=60°,求四边形BCFE的周长;③设四边形BCFE的面积为S1,正方形ABCD的面积为S。 当H在什么位置时,S1= S。 【优化评价】 1、已知AEB、ADC是⊙O的两条割线,且AB>AE,AC>AD,AT切⊙O于T,若AD=4,DE=2,AE=3,AT=6,则BC=。 2、已知P为圆外一点,PA切⊙O于A点,PA=8,直线PCB交圆于C、B且PC=4,AD⊥BC于D点,∠ABC=χ,∠ACB=β,则 的值为。 3、等边三角形的内切圆半径,外接圆半径和高的比为()。 A、1: : B、1: : 2 C、1: 2: 3D、1: 2: 4、已知梯形ABCD外切于⊙O,AD∥BC,∠B=60°,∠C=45°,⊙O的半径为10,则梯形的中位线长为()。 A、10B、 +10 C、20D、20 5、在半径为r的⊙O中,一条弦AB等于r,则以O为圆心, r为半径的圆与AB的位置关系是()。 A、相离B、相切C、相交D、不能确定 6、如图80409,PT为⊙O的切线,T为切点,PA为割线,它与⊙O的交点是B、A与直线CT的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB的长。 7、如图80410,PA是⊙O的直径,PC是⊙O的弦,过弧AC中点H作PC的垂线交PC的延长线于点B。 若HB=6,BC=4。 求⊙O的直径。 8、如图80411,⊙O是以AB为直径的ΔABC的外接圆,D是劣弧弧BC中点,连AD并延长与过C点的切线交于点P。 ①求证: = ②当AC=6,AB=10时,求切线PC的长。 第五节圆和圆的位置关系 【知识回顾】 1.五种位置关系及判定与性质: (重点: 相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线: ⑴定义⑵性质 【考点分析】 1、五种位置关系及其数量特征(注意“数形结合”)。 两圆位置关系 相交 相切 相离 外切 内切 外离 内含 d与R、r 的关系 R-r (R>r) d= R+r d= R-r (R>r) d> R+r d< R-r (R>r) 公共点个数 2 1 1 0 0 外公切线条数 2 2 1 2 0 内公切线条数 0 1 0 2 0 公切线条数 2 3 1 4 0 ★记忆方法: OR-rR+r ★★★d 内含相交外离 2、有关定理: 连心线的性质: 当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆相切时,连心线过切点;当两圆外离时,连心线过内(外)公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角;当两圆内含时,连心线是对称轴。 公切线的性质: 两圆的两条外(内)公切线的长相等;两条外(内)公切线的交点在连心线上且夹角被连心线平分。 公切线长的计算公式: l外公切线= l内公切线= . .两个圆是轴对称图形,两圆的连心线是它的对称轴。 3、思想方法: (1)抓住“切点”,明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切,并充分、合理地运用有关“切”的定理。 (2)全面思考问题: 如两圆无公共点,则为外离或内含;相切分“外切”和“内切”;两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。 (3)发现和建立两圆之间的联系,注意有些线段或角具有双重身份,应灵活使用。 【典型例题】 例1、如图80501,已知⊙01和⊙02相交于A,B。 0102交⊙01于P,PA,PB的延长线分别是交⊙02于C,D,求证: AC=BD。 证法一: 连AB作02M⊥AC,02N⊥BD。 证法二: 连AB。 例2、如图80502,⊙01和⊙02外切于点C,外公切线AB交0102的延长线于P,∠A01P=60°,0102=2,求两圆的半径。 证法一: 连02B。 证法二: 作02D⊥01A。 【基础训练】 1、若 (1)直径分别为6和8,圆心距为10; (2)只有一条公切线;(3)R2+d2-r2=2Rd则两圆的位置关系分别为、和。 2、若两圆既有外公切线,又有内公切线,则两圆半径R和r及圆心距d的关系是()。 A、d 3、两圆外切于A,BC是外公切线,则ΔABC为()。 A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角三角形D、等边三角形 4、两个等圆⊙01和⊙02相交于A、B两点,且O2在⊙01上。 则四边形O1AO2B是()。 A、平行四边形B、菱形 C、正方形D、梯形 5、两圆外切,当两圆外切时,圆心距为20.那么两圆内切时,圆心距()。 A、8B、12C、4D、小于4 6、两园外切,其半径分别为6和2,则两条外公切线的夹角等于()。 A、30°B、45°C、60°D、90° 7、两圆半径分别为4和2,一条公切线为4,则两圆的位置关系为()。 A、外切B、内切C、外离D、相交 8、三个同心圆的半径分别为r1,r2,r3,且r1 如果大圆的面积被两个小圆三等分,那么r1: r2: r3等于()。 A、1: 2: 3B、1: : C、1: 4: 6D、2: 3: 5 9、两圆的圆心坐标分别为( ,0)和(0,1),它们的半径分别是4和6,则两圆的位置关系是()。 A、外离B、外切C、相交D、内切 10、相交两圆的公共弦为6,半径分别为4和5。 则圆心距为()。 A、4+ B、4- C、4+ 或4- D、不同于以上答案 【发展探究】 如图80503,半径为R和r的⊙01和⊙02外切于P,切点P到外公切线AB的距离PQ=d,写出R、r、d之间的一个数量关系,并证明你的结论。 证明: ΔCP02∽ΔD0102=> = => + = ·相似是平几的重要手段。 ·掌握“从未知看需知靠拢已知”“(分析法)”和从已知看可推知向未知”〔综合法〕。 【优化评价】 1、若︱R-d︱=r,则两圆的位置关系是()。 A、相交B、外切C、相切D、内切 2、在两圆的五种位置关系中,没有内公切线的有()。 A、4种B、3种C、2种D、1种 3、两圆相外切,且它们的两条外公切线互相垂直,其中大圆半径等于5cm,则外公切线的长为()。 A、5(3-2 )cmB、5cmC、10( -1)cm D、5(5-3 )cm 4、平面上三个圆两两相切,则切点个数最少是()。 A、1个B、2个C、3个D、4个 5、圆A,圆B,圆C两两外切于D,E,F,则ΔDEF的外心是ΔABC的()。 A、内心B、外心C、垂心D、重心 6、⊙01和⊙02交于A,B,P为0102的中点,直线MN过A且垂直于PA交两圆于M,N,若MN=2 则AM等于()。 A、1B、 C、 D、2 7、⊙01和⊙02交于A,B,直线EF平行于0102分别交两圆于E,F,若0102=3,则0102: EF=()。 A、 B、 C、 D、 8、圆A,圆B,圆C两两外切,半径分别为 、 、 则ΔABC为()。 A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形。 9、圆01和圆02相外切,又都内切于圆O3,01、02、O3在一条直线上0102=8cm,则圆O3的半径为()。 A、4cmB、5cmC、6cmD、8cm 10、定圆O的半径为4cm,动圆P的半径为1cm,若两圆外切,则PO=,点P在上移动。
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