1、ex；（3）f（x）x.解（1）函数的定义域为D（0，）.f（x）6x，令f（x）0，得x1，x2（舍去），用x1分割定义域D，得下表：xf（x）f（x） 函数f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）函数的定义域为D（，）.f（x）（x2）exx2（ex）2xexx2exex（2xx2），令f（x）0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定义域D，得下表：（，0）（0,2）2（2，）f（x）的单调递减区间为（，0）和（2，），单调递增区间为（0,2）.（3）函数的定义域为D（，0）（0，）.f（x）1，令f（x）0，得x11，x21，用x1，x2分割定义域D，得下表：（，1）1
2、（1,0）（0,1）1（1，）函数f（x）的单调递减区间为（1,0）和（0,1），单调递增区间为（，1）和（1，）.反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“”.跟踪训练1求函数f（x）x33x的单调区间.解f（x）3x233（x21）.当f（x）0时，x1或x1，此时函数f（x）单调递增；当f（x）0时，1x1，此时函数f（x）单调递减.函数f（x）的递增区间是（，1），（1，），递减区间是（1,1）.题型二利用导数确定函数的大致图象例2画出函数f（x）2x33x236x16的大致图象.解f（x）6x26x366（x2x6）6（x3）（x
3、2）.由f（x）0得x2或x3，函数f（x）的递增区间是（，2）和（3，）.由f（x）0得2x3，函数f（x）的递减区间是（2,3）.由已知得f（2）60，f（3）65，f（0）16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f（x）大致图象如图所示（答案不唯一）.反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象.跟踪训练2已知导函数f（x）的下列信息：当2x3时，f（x）0；当x3或x2时，f（x）0；当x3或x2时，f（x）0；试画出函数f（x）图象的大致形状.解当2x3时，f（x）0，可知
4、函数在此区间上单调递减；当x3或x2时，f（x）0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x3或x2时，f（x）0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变.综上可画出函数f（x）图象的大致形状，如图所示（答案不唯一）.题型三利用导数确定参数的取值范围例3已知函数f（x）2axx3，x（0,1，a0，若函数f（x）在（0,1上是增函数，求实数a的取值范围.解f（x）2a3x2，又f（x）在（0,1上是增函数等价于f（x）0对x（0,1恒成立，且仅有有限个点使得f（x）0，x（0,1时，2a3x20，也就是ax2恒成立.又x（0,1时，x2，a.a的取值范围是.反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求
5、参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f（x）0（或f（x）0）在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；利用子区间（即子集思想），先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置.跟踪训练3已知函数f（x）lnx，g（x）ax22x，a0.（1）若函数h（x）f（x）g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（2）若函数h（x）f（x）g（x）在1,4上单调递减，求a的取值范围.解（1）h（x
6、）lnxax22x，x（0，），h（x）ax2.h（x）在（0，）上存在单调递减区间，当x（0，）时，ax20有解，即a有解.设G（x），只要aG（x）min即可.而G（x）21，G（x）min1，a1.（2）h（x）在1,4上单调递减，x1,4时，h（x）ax20恒成立，即a恒成立，aG（x）max，而G（x）21，G（x）max，a.求函数单调区间时，因忽视函数定义域致误例4求函数yxlnx的单调区间.错解y1，令y10，得x1或x0，所以函数yxln x的单调递增区间为（1，），（，0）.令y10，得0x1，所以函数yxln x的单调递减区间为（0,1）.错因分析在解与函数有关的问题时，
7、一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方.正解函数yxln x的定义域为（0，），又y1，令y10，得x1或x0（舍去），所以函数yxln x的单调递增区间为（1，）.令y10，得0x1，所以函数yxln x的单调递减区间为（0,1）.防范措施在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.1.函数f（x）xlnx在（0,6）上是（）A.单调增函数B.单调减函数C.在上是减函数，在上是增函数D.在上是增函数，在上是减函数答案A解析x（0,6）时，f（x）10，函数f（x）在（0,6）上单调递增.2.f（x）是函数yf（x）的导函数，若yf（x）的图象如图所示，则函数yf（x）的图象可能是
8、（）答案D解析由导函数的图象可知，当x0时，f（x）0，即函数f（x）为增函数；当0x2时，f（x）0，即f（x）为减函数；当x2时，f（x）0，即函数f（x）为增函数.观察选项易知D正确.3.若函数f（x）x3ax2x6在（0,1）内单调递减，则实数a的取值范围是（）A.1，） B.a1 C.（，1D.（0,1）解析f（x）3x22ax1，且f（x）在（0,1）内单调递减，不等式3x22ax10在（0,1）内恒成立，f（0）0，且f（1）0，a1.4.函数yx24xa的增区间为_，减区间为_.答案（2，）（，2）解析y2x4，令y0，得x2；令y0，得x2，所以yx24xa的增区间为（2，）
9、，减区间为（，2）.5.已知函数f（x）2ax，x（0,1.若f（x）在x（0,1上是增函数，则a的取值范围为_.答案解析由已知条件得f（x）2a.f（x）在（0,1上是增函数，f（x）0，即a在x（0,1上恒成立.而g（x）在（0,1上是增函数，g（x）maxg（1）.当a时，f（x）1对x（0,1有f（x）0，且仅在x1时，f（x）0.a时，f（x）在（0,1上是增函数.判断函数单调性的方法如下：（1）定义法.在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f（x1）f（x2）的符号来确定函数的单调性.（2）图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区
10、间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数.（3）导数法.利用导数判断可导函数f（x）在区间（a，b）内的单调性，步骤是：求f（x）；确定f（x）在（a，b）内的符号；确定单调性.求函数yf（x）的单调增区间、减区间分别是解不等式f（x）0和f（x）0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f（x）在区间D上单调递增，求f（x）中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f（x）0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f（x）中参数的值.同样可以解决已知f（x）在区间D上单调递减，求f（x）中参数的值的问题.一、选择题1.函数y（3x2）ex的单调递增区间是（）A
11、.（，0） B.（0，）C.（，3）和（1，） D.（3,1）解析求导函数得y（x22x3）ex.令y（x22x3）ex0，可得x22x30，3x1.函数y（3x2）ex的单调递增区间是（3,1）.2.已知函数f（x）x3ax2x1在（，）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.（，）B.，C.（，）（，）D.（，）答案B解析由题意得f（x）3x22ax10在（，）上恒成立，且仅在有限个点上f（x）0，则有4a2120，解得a.3.下列函数中，在（0，）内为增函数的是（）A.ysinx B.yxe2C.yx3x D.ylnxx解析显然ysinx在（0，）上既有增又有减，故排除A；对于函数yxe
12、2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在（0，）内为增函数；对于C，y3x213，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y1 （x0）.故函数在（1，）上为减函数，在（0,1）上为增函数.故选B.4.设f（x），g（x）在a，b上可导，且f（x）g（x），则当axb时，有（）A.f（x）g（x）B.f（x）g（x）C.f（x）g（a）g（x）f（a）D.f（x）g（b）g（x）f（b）答案C解析f（x）g（x）0，（f（x）g（x）0，f（x）g（x）在 a，b上是增函数，当axb时f（x）g（x）f（a）g（a），f（x）g（a）g（x）f（a）.5.函数y的图象大致是（）解析
13、yf（x）f（x），yf（x）为奇函数，yf（x）的图象关于原点成中心对称，可排除B.又当x0时，f（x），f（x），当xe时，f（x）0，函数f（x）在（e，）上单调递减；当0xe时，f（x）0，函数f（x）在（0，e）上单调递增.故可排除A，D，而C满足题意.6.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）6，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.（0，） B.（，0）（3，）C.（，0）（1，） D.（3，）解析由题意可知不等式为exf（x）ex50，设g（x）exf（x）ex5，g（x）exf（x）exf（x）ex
14、exf（x）f（x）10.函数g（x）在定义域上单调递增.又g（0）0，g（x）0的解集为（0，）.二、填空题7.若函数f（x）2x2lnx在定义域内的一个子区间（k1，k1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是_.解析显然函数f（x）的定义域为（0，），f（x）4x.由f（x）0，得函数f（x）的单调递增区间为；由f（x）0，得函数f（x）单调递减区间为.因为函数在区间（k1，k1）上不是单调函数，所以k1k1，解得k，又因为（k1，k1）为定义域内的一个子区间，所以k10，即k1.综上可知，1k.8.函数yf（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，记yf（x）的导函数为yf（x），则不等式
15、f（x）0的解集为_.答案2,3）9.函数yln（x2x2）的递减区间为_.答案（，1）解析f（x），令f（x）0得x1或x2，注意到函数定义域为（，1）（2，），故递减区间为（，1）.10.若函数f（x）x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_.答案3，）解析因为f（x）x2ax在上是增函数，故f（x）2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立.令h（x）2x，则h（x）2，当x时，h（x）0，则h（x）为减函数，所以h（x）h3，所以a3.三、解答题11.已知函数f（x）ax3bx2的图象经过点M（1,4），曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直.（1）求实数a，b的值；（2）若函数f（x）
16、在区间m，m1上单调递增，求m的取值范围.解（1）函数f（x）ax3bx2的图象经过点M（1,4），ab4.f（x）3ax22bx，则f（1）3a2b.由条件f（1）1，即3a2b9.由解得a1，b3.（2）f（x）x33x2，则f（x）3x26x.令f（x）3x26x0，得x0或x2.函数f（x）在区间m，m1上单调递增，m，m1（，20，），m0或m12，m0或m3.12.已知函数f（x）axx2xlnab（a，bR，a1），e是自然对数的底数.（1）试判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性；（2）当ae，b4时，求整数k的值，使得函数f（x）在区间（k，k1）上存在零点.解（1）f（x
17、）axlna2xlna2x（ax1）lna.a1，当x（0，）时，lna0，ax10，f（x）0，函数f（x）在（0，）上单调递增.（2）f（x）exx2x4，f（x）ex2x1，f（0）0.当x0时，ex1，f（x）0，f（x）是（0，）上的增函数.同理，f（x）是（，0）上的减函数.又f（0）30，f（1）e40，f（2）e220，当x2时，f（x）0，当x0时，函数f（x）的零点在（1,2）内，k1满足条件.f（0）30，f（1）20，f（2）20，当x2时，f（x）0，当x0时，函数f（x）零点在（2，1）内，k2满足条件.综上所述，k1或2.13.求下列函数的单调区间.（1）yln（
18、2x3）x2；（2）f（x）alnx（a为常数）.解（1）函数yln （2x3）x2定义域为.yln（2x3）x2，y2x.当y0，即x1或x时，函数yln（2x3）x2单调递增.当y0，即1x时，函数yln（2x3）x2单调递减.故函数yln（2x3）x2的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）函数f（x）的定义域为（0，）.f（x）.当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，）上单调递增.当a0时，令g（x）ax2（2a2）xa，由于（2a2）24a24（2a1），当a时，0，g（x）0，f（x）0，函数f（x）在（0，）上单调递减.当a时，0，g（x）0，f（x）0，函数f（x）在（0，）上单调递减.当a0时，0.设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个零点，则x1，x2.由x10，所以当x（0，x1）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减，当x（x1，x2）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递增，当x（x2，）时，g（x）0，f（x）0，函数f（x）单调递减，综上可得：当a0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；当a时，函数f（x）在（0，）上单调递减；当a0时，f（x）在，上单调递减，在上单调递增.
