高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析Word格式.doc
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∴,即.
(二)借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.
【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】左焦点为.连结可得四边形是矩形,所以.所以又所以..又因为,.所以.即.因为所以.所以.故填.
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.
【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】.已知平行四边形内接于椭圆,且,斜率之积的范围为,则椭圆离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
【解析】由题意,关于原点对称,设,,
,故选A.
(三)借助函数的值域求解范围
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为()
A.B.C.D.
【解析】∵椭圆,∴,,,,∵双曲线,,,,
∴由条件有,则,∴,由,有,,,∴,即,而,∴.
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.
【小试牛刀】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.
(四)根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.
【例4】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设,由圆锥曲线的共同特征可得,所以,即,所以,又,解得,所以离心率的最小值为,故选D.
【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值.
【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、,点M在双曲线的左支上,且,则此双曲线离心率的最大值为
A. B. C.2 D.
【分析】先由双曲线的定义得到,再由点M在双曲线左支上,即可得出结果.
【解析】由双曲线的定义可得,根据点M在双曲线的左支上,可得,,双曲线离心率的最大值为,
故选A.
四、迁移运用
1.【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为,等比中项为,且,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
【解析】因为两正数的等差中项为,等比中项为,所以,解得或,
因为,所以,所以.故选D
2.【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为,过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点,则双曲线的离心率的取值范围是()
A.B.C.D.
【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即,所以,所以,故选A
3.【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图,点在以为焦点的双曲线上,过作轴的垂线,垂足为,若四边形为菱形,则该双曲线的离心率为()
A.B.2C.D.
【解析】
解:
由题意得:
四边形的边长为2c,连接,由对称性可知,||=||=2c,则三角形为等边三角形.
过点P作PH⊥x轴于点H,则∠=60,
||=2c,在直角三角形中,||=,||=,
则P(2c,),连接,则||=.
由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,
所以双曲线的离心率为e===,故选C.
4.【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线,若过的左焦点和点的直线与平行,则双曲线的离心率为()
过的左焦点和点的直线可写为:
,即
与平行
又
本题正确选项:
5.【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线交于两点,若,则双曲线的离心率为()
【解析】设,,则,,
根据双曲线的定义,得,即,
解之得:
;
因为,所以三角形是以为直角的直角三角形,
所以,因此;
在三角形中,
,可得,因此,该双曲线的离心率为.
故选A
6.【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点,若,其中为双曲线的两焦点,则双曲线的离心率为()
A.2B.C.D.
【答案】B
【解析】圆是以原点为圆心,以为半径的圆,则,从而有,
∴|M|=c,c,,由双曲线的定义得,得离心率为,
故选:
B.
7.【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设,分别是椭圆的左、右焦点,若在直线其中上存在点P,使线段的垂直平分线经过点,则椭圆离心率的取值范围是
【解析】由题意得,,
设点,
则由中点公式可得线段的中点,
线段的斜率与的斜率之积等于,
即,
,
,,或舍去,
.
又椭圆的离心率,
故,
C.
8.【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设,是双曲线的两个焦点,P是C上一点,若,且的最小内角为,则C的离心率为
因为、是双曲线的两个焦点,是双曲线上一点,且满足,
不妨设是双曲线右支上的一点,由双曲线的定义可知
所以,,,
,为△最小边,
△的最小内角,根据余弦定理,
所以.
9.【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6,那么该椭圆的离心率为
【解析】易知抛物线的焦点(2,0),准线x=-2,
即椭圆的c=2,
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点,即相交的线段为椭圆的通径;
即通径为,又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
10.【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点,则双曲线离心率的取值范围是()
由得的渐近线方程为,由得的渐近线方程为,
因为双曲线与双曲线有公共点,
所以只需,即,即,即,解得.
故选C
11.【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点,曲线的左、右焦点分别为,若,则双曲线的离心率为()
A.4或 B. C. D.
由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B,则
由已知可得
当时,则故舍去,综上
故选D
12.【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若是钝角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是
【解析】双曲线关于x轴对称,且直线AB垂直x轴,
是钝角三角形,
是钝角,
即有,
为左焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,
,即,
由,可得,
解得或,舍去,
则双曲线的离心率的范围是.
D.
13.【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点,F为右焦点,C为短轴上不同于原点O的一点,D为OC的中点,直线AD与BC交于点M,且MF⊥AB,则该椭圆的离心率为
【解析】由题意如图:
MF⊥AB,且OC⊥AB,∴MFOC,同理MFOD,
∴①,,②
①②得到:
===,
∴2(a﹣c)=c+a,
∴a=3c,∴e.
B.
14.【吉林省长春市2019届高三质量监测
(二)】已知双曲线的左、右焦点分别为,,过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于,两点,为坐标原点,若,则双曲线的离心率为()
A.B.C.2D.
【解析】由题意,取双曲线的一条渐近线,即,
则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为,即,
又由焦点到渐近线的距离为,
又由,所以,即,
又由原点到的距离为,
在直角中,由射影定理得,即,
又由,整理得,所以,故选B.
15.【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、,抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P,若,则椭圆C的离心率为
A.B.或
C.D.或
【解析】作抛物线的准线l,则直线l过点,过点P作PE垂直于直线l,垂足为点E,由抛物线的定义知,
易知,轴,则,
设,则,由椭圆定义可知,
在中,由余弦定理可得,
整理得,
解得或.
当时,;
当时,离心率为.
综上所述,椭圆C的离心率为或.
16.【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆:
,过左焦点作斜率为1的直线与交于,两点,若线段的中垂线与轴交于(为椭圆的半焦距),则椭圆的离心率为()
【解析】设,,则中点.
直线的方程为,与椭圆联立得,
所以.
可得.所以,
因为,即,所以,,故选B.
17.【浙江省名校新高考研究联盟(Z20)2019届高三第一次联考】已知,是椭圆与的左、右焦点,过左焦点的直线与椭圆交于,两点,且满足,,则该椭圆的离心率是
由题意可得:
,,可得,,,,
,,,
可得,可得.故选B.
18.【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为,为坐标原点,为椭圆上一点,且,直线交轴于点,若,则该椭圆的离心率为()
【解析】结合题意,可知
,故,结合,可知
故,设,所以,,
所以,故选D。
19.【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】已知点O为双曲线C的对称中心,直线交于点O且相互垂直,与C交于点,与C交于点,若使得成立的直线有且只有一对,则双曲线C的离心率的取值范围是()
【解析】设双曲线方程为;
所以渐近线方程为
因为直线交于点O且相互垂直,与双曲线C交于点,与C交于点,且使得成立的直线有且只有一对,所以可得,
所以,即,所以.
故选D
20.【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点,使得,则椭圆的离心率的取值范围是()
记椭圆的左焦点为,则,即,,,即,即,椭圆的离心率的取值范围是,故选A.
21.【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点,直线与交于两点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围是()
【解析】在,,∴,∴,,,
∵,∴,,,∴,故选D.
22.【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点,直线与交于,两点,若,设,且,则该双曲线的离心率的取值范围是
A.B.C.D.
【解析】如图,设双曲线的左焦点为,连.由于四边形为矩形,故.
在中,,
由双曲线的定义可得
,∴.
∵,∴,
∴,
∴.即双曲线的离心率的取值范围是.选D.
23.【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上,椭圆内一点Q在的延长线上,满足,若,则该椭圆离心率取值范围是()
A.B.C.D.
∵满足QF1⊥QP,∴点Q与点F2重合时,∵sin∠F1PQ=,
不妨设|PF1|=13,则|PF2|=12.
∴可得:
e=.因此e.
当点Q在最下端时,∠F1QF2最大,此时F1Q⊥F2Q.
可得点Q在椭圆的内部,当b=c,e=,因此.
综上可得:
.故选C.
24.【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知、分别是椭圆:
的左、右焦点,若椭圆上存在点,满足,则椭圆的离心率取值范围是()
【解析】、分别是椭圆:
的左、右焦点,若椭圆上存在点,
,,,,当点为右顶点时,可取等号,故选D.
25.F1、F2是椭圆+=1(a>
b>
0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°
则椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】 ≤e<
1
【解析】 设P(x0,y0)为椭圆上一点,则+=1.=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),
若∠F1PF2=90°
则·
=x+y-c2=0.∴x+b2(1-)=c2,∴x=.
∵0≤x≤a2,∴0≤≤1.∴b2≤c2,∴a2≤2c2,∴≤e<
1.
26.已知P是椭圆和双曲线的一个交点,是椭圆和双曲线的公共焦点,分别为椭圆和双曲线的离心率,,则的最大值为.
【解析】根据椭圆和双曲线的定义得:
设,,由余弦定理得,化简得,变形得,∴,所以.
27.在平面直角坐标系中,已知点及直线,曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹:
①其中是到直线的距离;
②
(1)求曲线的方程;
(2)若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.
(1),,
由①得:
即将代入②得:
解得:
所以曲线的方程为:
(2)(解法一)由题意,直线与曲线相切,设切点为,
则直线的方程为,即
将代入椭圆的方程,并整理得:
由题意,直线与椭圆相切于点,则
即
又即联解得:
由及得故,
得又故
所以椭圆离心率的取值范围是
28.椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点.
(1)求+的值;
(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤,求椭圆长轴的取值范围.
(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OP⊥OQ⇔x1x2+y1y2=0,∵y1=1-x1,y2=1-x2,代入上式,得2x1x2-(x1+x2)+1=0.①
又将y=1-x代入+=1⇒
(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.
∵Δ>0,∴x1+x2=,x1x2=,代入①化简得+=2.
(2)∵e2==1-,∴≤1-≤⇒≤≤.
又由
(1)知b2=,∴≤≤⇒≤a2≤⇒≤a≤.
∴长轴是2a∈[,].
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