高中数学第三章三角函数31蝗制与任意角311角的概念的推广学案湘教必修208223124Word格式文档下载.docx
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角不属于任何象限,所以①不正确.
②120°
是第二象限角,390°
是第一象限角,显然390°
>
120°
,所以②不正确.
③钝角α的范围是90°
<α<180°
,显然是第二象限角,所以③正确.
④锐角α的范围是0°
<α<90°
,小于90°
的角也可以是零角或负角,所以④不正确.
规律方法 判断说法错误,只需举一个反例即可.解决本题关键在于正确理解各类角的定义.随着角的概念的推广,对角的认识不能再停留在初中阶段,否则判断容易错误.
跟踪演练1 设A={小于90°
的角},B={锐角},C={第一象限角},D={小于90°
而不小于0°
的角},那么有( )
A.BCAB.BAC
C.D(A∩C)D.C∩D=B
答案 D
解析 锐角、0°
的角、小于90°
的角及第一象限角的范围,如下表所示.
角
集合表示
锐角
B={α|0°
<
α<
90°
}
0°
的角
D={α|0°
≤α<
小于90°
A={α|α<
第一象限角
C={α|k·
k·
+90,k∈Z}
要点二 象限角的判定
例2 在0°
~360°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°
(2)650°
(3)-950°
15′.
解
(1)因为-150°
=-360°
+210°
,所以在0°
范围内,与-150°
角终边相同的角是210°
角,它是第三象限角.
(2)因为650°
=360°
+290°
范围内,与650°
角终边相同的角是290°
角,它是第四象限角.
(3)因为-950°
15′=-3×
+129°
45′,所以在0°
范围内,与-950°
15′角终边相同的角是129°
45′角,它是第二象限角.
规律方法 本题要求在0°
范围内,找出与已知角终边相同的角,并判断其为第几象限角,这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础.
跟踪演练2 给出下列四个说法:
①-75°
角是第四象限角;
②225°
角是第三象限角;
③475°
角是第二象限角;
④-315°
是第一象限角,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 对于①:
如图1所示,-75°
对于②:
如图2所示,225°
对于③:
如图3所示,475°
对于④:
如图4所示,-315°
角是第一象限角.
要点三 终边相同的角的应用
例3 在与角10030°
终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最大的负角;
(2)最小的正角;
(3)360°
~720°
的角.
解
(1)与10030°
终边相同的角的一般形式为β=k·
+10030°
(k∈Z),由-360°
,得-10390°
-10030°
,解得k=-28,故所求的最大负角为β=-50°
(2)由0°
,得-10030°
-9670°
,解得k=-27,故所求的最小正角为β=310°
(3)由360°
≤k·
720°
,得-9670°
-9310°
,解得k=-26,故所求的角为β=670°
规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪演练3 写出与α=-1910°
终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°
≤β<
的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知与角α=-1910°
终边相同的角的集合为:
{β|β=k·
-1910°
,k∈Z}.
∵-720°
,
即-720°
(k∈Z),
∴3
≤k<
6
(k∈Z).故取k=4,5,6.
k=4时,β=4×
=-470°
k=5时,β=5×
=-110°
k=6时,β=6×
=250°
要点四 区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·
+30°
+105°
②{α|k·
+285°
∴角α的集合应当是集合①与②的并集:
{α|k·
,k∈Z}
∪{α|k·
={α|2k·
180°
2k·
∪{α|(2k+1)180°
(2k+1)180°
,或(2k+1)·
={α|n·
n·
,n∈Z}.
规律方法 解答此类题目应先在0°
上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.本题还要注意实线边界与虚线边界的差异.
跟踪演练4 已知集合A={α|k·
+90°
,k∈Z},集合B={β|k·
-45°
β<
+45°
,k∈Z}.求:
(1)A∩B;
(2)A∪B.
解
在直角坐标系中,分别画出集合A,B所包含的区域,结合图形可知,
A∩B={θ|30°
+k·
θ<
45°
,k∈Z},
A∪B={γ|k·
-45<
γ<
或k·
+270,k∈Z}.
1.-361°
的终边落在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.集合A={α|α=k·
-36°
,k∈Z},B={β|-180°
<β<180°
},则A∩B等于( )
A.{-36°
,54°
}B.{-126°
,144°
C.{-126°
,-36°
}D.{-126°
答案 C
解析 令-180°
<k·
<180°
,则-144°
<216°
,当k=-1,0,1,2时,不等式均成立,所对应的角分别为-126°
,故选C.
3.若角α满足180°
,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=________.
答案 270°
解析 由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°
的整数倍,即5α-α=4α=k·
.又180°
,令k=3,得α=270°
4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合:
S1={β|β=k·
,k∈Z};
终边落在y轴上的角的集合:
S2={β|β=k·
∴终边落在坐标轴上的角的集合:
S=S1∪S2={β|β=k·
,k∈Z}∪{β|β=k·
,k∈Z}={β|β=2k·
,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)·
,k∈Z}={β|β=n·
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同角的认识
一般地,若角α始边与x轴非负半轴重合,则所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·
,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意:
(1)α为任意角;
(2)k·
与α之间是“+”号,k·
-α可理解为k·
+(-α);
(3)相等的角终边一定相同;
终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°
的整数倍;
(4)k∈Z这一条件不能少.
一、基础达标
1.设A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°
的角},C={θ|θ为第一象限的角},D={θ|θ为小于90°
的正角},则下列等式中成立的是( )
A.A=BB.B=C
C.A=CD.A=D
2.与405°
角终边相同的角是( )
A.k·
,k∈ZB.k·
,k∈Z
C.k·
,k∈ZD.k·
3.
如图,终边落在直线y=±
x上的角α的集合是( )
A.{α|α=k·
B.{α|α=k·
C.{α|α=k·
D.{α|α=k·
4.若α是第四象限角,则180°
-α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
解析 可以给α赋一特殊值-60°
,则180°
-α=240°
,故180°
-α是第三象限角.
5.已知0°
<α<360°
,α的终边与-60°
角的终边关于x轴对称,则α=________.
答案 60°
6.下列说法中,正确的是________(填序号).
①终边落在第一象限的角为锐角;
②锐角是第一象限的角;
③第二象限的角为钝角;
的角一定为锐角;
⑤角α与-α的终边关于x轴对称.
答案 ②⑤
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°
的角是第一象限的角,但不是锐角,故①的说法是错误的;
同理第二象限的角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;
的角不一定为锐角,比如负角,故④的说法是错误的.
7.在与角-2013°
(1)最小的正角;
(2)最大的负角;
(3)-720°
内的角.
解
(1)∵-2013°
=-6×
+147°
∴与角-2013°
终边相同的最小正角是147°
(2)∵-2013°
=-5×
+(-213°
),
终边相同的最大负角是-213°
(3)∵-2013°
∴与-2013°
终边相同也就是与147°
终边相同.
由-720°
,k∈Z,解得:
k=-2,-1,0,1.代入k·
依次得:
-573°
,-213°
,147°
,507°
二、能力提升
8.集合{α|k·
≤α≤k·
,k∈Z}中,角所表示的范围(阴影部分)正确的是( )
9.在-180°
范围内,与2000°
角终边相同的角为______.
答案 -160°
,200°
解析 ∵2000°
=200°
+5×
,2000°
=-160°
+6×
∴在-180°
范围内与2000°
角终边相同的角有-160°
两个.
10.角α,β的终边关于y轴对称,若α=30°
,则β=________.
答案 150°
解析 ∵30°
与150°
的终边关于y轴对称,
∴β的终边与150°
角的终边相同.
∴β=150°
,k∈Z.
11.已知角x的终边落在图示阴影部分区域,写出角x组成的集合.
解
(1){x|k·
-135°
≤x≤k·
+135°
(2){x|k·
+60°
,k∈Z}∪{x|k·
+240°
={x|2k·
≤x≤2k·
≤x≤(2k+1)·
={x|n·
≤x≤n·
12.已知角β的终边在直线
x-y=0上.
(1)写出角β的集合S;
(2)写出S中适合不等式-360°
的元素.
解
(1)如图,直线
x-y=0过原点,倾斜角为60°
,在0°
范围内,终边落在射线OA上的角是60°
,终边落在射线OB上的角是240°
,所以以射线OA、OB为终边的角的集合为:
S1={β|β=60°
S2={β|β=240°
所以,角β的集合S=S1∪S2={β|β=60°
,k∈Z}∪{β|β=60°
+180°
,k∈Z}={β|β=60°
+2k·
+(2k+1)·
+n·
(2)由于-360°
,即-360°
60°
,n∈Z.解得-
n<
,n∈Z,所以n=-2,-1,0,1,2,3.
所以S中适合不等式-360°
的元素为:
-2×
=-300°
-1×
=-120°
+0×
=60°
+1×
=240°
+2×
=420°
+3×
=600°
三、探究与创新
13.若α是第一象限角,问-α,2α,
是第几象限角?
解 ∵α是第一象限角,∴k·
(k∈Z).
(1)-k·
-90°
-α<
-k·
∴-α终边定与(-90°
)内某一角的终边重合,故-α是第四象限角.
(2)2k·
2α<
∴2α终边定与(0°
,180°
)内某一角的终边重合,
故2α是第一、二象限角或终边在y轴的非负半轴上.
(3)k·
+30(k∈Z).
方法一 (分类讨论)当k=3n(n∈Z)时,
(n∈Z),∴
是第一象限角;
当k=3n+1(n∈Z)时,n·
+120°
+150°
是第二象限角;
当k=3n+2(n∈Z)时,n·
+270°
是第三象限角.
综上可知:
是第一、二或第三象限角.
方法二 (几何法)如图,先将各象限分成3等份,再从x轴的非负半轴的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标有1的区域即为
终边所落在的区域,故
为第一、二或第三象限角.
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当你背靠群峰时,意志就坚了。
水中的萍!
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空中的鸟!
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青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;
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