新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案Word文档格式.docx
- 文档编号:3627579
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:131.87KB
新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案Word文档格式.docx
《新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教版八年级数学上册证全等的辅助线作法学案Word文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
AD为△ABC的中线,求证:
AB+AC>
2AD.
要证AB+AC>
2AD,由图想到:
AB+BD>
AD,AC+CD>
AD,所以有AB+AC+BD+CD>
AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题,而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去.因此,可作辅助线:
延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE.
(3)截长补短构造全等三角形
在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
如图,△ABC中,AB=2AC,AD平分∠BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC.
解析:
(截长法)在AB上取中点F,连FD.
△ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知:
DF⊥AB,故∠AFD=90°
△ADF≌△ADC(SAS)
∠ACD=∠AFD=90°
,
即:
(4)平移法
过图形上某一点作特定的平行线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”.
如图,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,连EF交BC于点D,若EB=CF.求证:
DE=DF.
因为DE,DF所在的两个三角形△DEB与△DFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换,过点E作EG∥CF,构造中心对称型全等三角形,再利用等腰三角形的性质,使问题得以解决.
四、典例探究
扫一扫,有惊喜哦!
1.连接两点证全等(连公共边构造全等)
【例1】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,求证:
DC=AB,AD=BC.
总结:
四边形问题通常要转化成三角形问题求解,常作辅助线是连接对角线.
练1.已知:
如图,AC、BD相交于O点,且AB=CD,AC=BD,求证:
2.倍长中线证全等(利用中点、中线构造全等)
【例2】如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
“倍长中线”的实质是用“SAS”构造全等,其中延长中线得到相等的边和对顶角.在遇到中点或中线时,通常用这种方法.
练2.如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
3.截长法或补短法证全等
【例3】如图,已知在△ABC内,∠BAC=60°
,∠C=40°
,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的角平分线.求证:
BQ+AQ=AB+BP.
1.截长法:
①在长边上截取一条与某一短边相同的线段;
②证剩下的线段与另一短边相等.
2.补短法:
①延长短边;
②通过旋转等方式使两短边拼合在一起.
练3.如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证:
AB=AD+BC.
五、课后小测
一、解答题
1.如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
2.如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
求证:
∠A+∠C=180°
.
3.如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证:
AB-AC>PB-PC.
4.如图2,AD为△ABC的角平分线,AB>
AC,求证:
AB-AC>
BD-DC.
5.如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°
,以D为顶点做一个60°
角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,求△AMN的周长.
典例探究答案:
【例1】【解析】可连接BD,证明△ADB≌△CBD,进而获得结论.
证明:
如图,连接BD.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ADB和△CBD中,
∴△ADEB≌△CBD(ASA).
∴DC=AB,AD=BC.
练1.【解析】根据已知条件证不出全等三角形,也证不出∠A=∠D.
连接BC,
在△ABC和△DBC中,
AB=CD(已知),
AC=BD(已知),
BC=BC(公共边),
∴△ABC≌△DBC.
∴∠A=∠D.
【例2】【解析】延长AD至E使AE=2AD,连接BE,CE.
AD=DE(作图)
∠ADC=∠EDB(对顶角)
CD=BD(D是中点)
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴BE=AC=3
由三角形三边关系知:
AB-BE<
2AD<
AB+BE,
即2<2AD<8,
故AD的取值范围是1<
AD<
4.
练2.【解析】
(倍长中线)延长FD至G使FG=2DF,连BG,EG;
由SAS可证:
△FCD≌△GBD,
∴FD=GD,
在△EFD和△EGD中,
ED=ED(公共边)
∠EDF=∠EDG=90°
(DE⊥DF)
FD=GD(已证)
∴△EFD≌△EGD
∴EG=EF
在△BEG中,由三角形性质知
EG<
BG+BE,
故:
EF<
BE+FC.
【例3】【解析】证明:
(补短法)延长AB至D,使BD=BP,连接DP,
在等腰三角形BPD中,可得∠BDP=40°
从而∠BDP=40°
=∠ACP,
在△ADP和△ACP中,
△ADP≌△ACP(AAS).
∴AD=AC,
又∠QBC=40°
=∠QCB,
故BQ=QC.
∵BD=BP,
∴BQ+AQ=AB+BP.
练3.【解析】证明:
(截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE,
△ADE≌△AFE(SAS)
∠ADE=∠AFE,
∠ADE+∠BCE=180°
∠AFE+∠BFE=180°
故∠ECB=∠EFB
△FBE≌△CBE(AAS)
故有BF=BC
从而:
课后小测答案:
1.【解析】证明:
延长AE至G使AG=2AE,连BG,DG,
显然DG=AC,∠GDC=∠ACD,
由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC
在△ADB与△ADG中,
BD=AC=DG,AD=AD,
∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC=∠ADG,
故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,
即AD平分∠BAE.
2.【解析】
(补短法)延长BA至F,使BF=BC,连FD,
△BDF≌△BDC(SAS)
故∠DFB=∠DCB,FD=DC
又AD=CD
故在等腰△BFD中
∠DFB=∠DAF
故有∠BAD+∠BCD=180°
3.【解析】
(补短法)延长AC至F,使AF=AB,连PD,
△ABP≌△AFP(SAS)
故BP=PF,
由三角形性质知:
PB-PC=PF-PC<
CF=AF-AC=AB-AC.
4.【解析】可在AB上截取AE=AC,易得△ADE≌△ADC,从而将AB-AC转化为AB-AE,BD-DC转化为BD-DE,在△BDE中即可解决问题.
在AB上截取AE=AC,连接DE,则BE=AB-AC.
在△ADE和△ADC中,
∴△ADE≌△ADC(SAS).
∴DE=DC.
又∵BE>
BD-DE,∴AB-AC>
点评:
本题借助角平分线,在角的两边截取相同的线段构造“SAS”形式的全等三角形,使得问题顺利得解.对线段和差问题,常用截长补短法.
5.【解析】
(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE=BM
∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°
+30°
=90°
∠DCE=180°
-∠ACD=180°
-∠ABD=90°
又∵BM=CE,BD=CD,
∴△CDE≌△BDM,
∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°
-60°
=60°
∵在△DMN和△DEN中,
DM=DE
∠MDN=∠EDN=60°
DN=DN
∴△DMN≌△DEN,
∴MN=NE
∵在△DMA和△DEF中,
∠MDA=60°
-
∠MDB=60°
∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM)
∠DAM=∠DFE=30°
∴△DMN≌△DEN(AAS),
∴MA=FE
△AMN的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 新人 八年 级数 上册 全等 辅助线 作法