高中数学函数典型例题及习题Word格式.doc
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(5)的内角和,由得.
由正弦定理,知
,.
因为,
所以
总结:
求解这类具体函数的定义域时,要求我们牢记一些常用的原则:
(1)分母不等于0;
(2)偶次方根内不小于0,奇次方根内可为一切实数;
(3)对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域:
(4)实际问题求定义域时要符合实际意义.
变式1.求下列函数的定义域:
参考答案:
(1)
变式2.求的定义域。
由题意知:
,从而解得:
x>
-2且x≠±
4.故所求定义域为:
{x|x>
4}。
2、求与复合函数有关的定义域:
利用抽象复合函数的性质解答:
(1)已知原函数的定义域为,求复合函数的定义域:
只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域。
(2)已知复合函数的定义域为,求原函数的定义域:
只需根据求出函数的值域,即得原函数的定义域
(1)是已知,即括号内是其他函数形式的定义域,此题为一元二次函数的形式;
而题
(2)相反.题(3)已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.
(1)由条件知,
总结:
由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律,即抽象函数的定义域
求解要切实把握两点:
(1)求函数的定义域是求函数表达式中x的范围;
(2)在一个题目里
函数括号内的式子的范围一样.
例2求下列函数的定义域:
(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(2)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(3)已知函数的定义域为,求函数的定义域。
(1)令-2≤—1≤2得-1≤≤3,即0≤≤3,从而-≤≤
∴函数的定义域为。
(2)∵的定义域为,即在中∈,令,∈,则∈,即在中,∈∴的定义域为。
(3)由题得
变式1、
(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域
(2)若函数的定义域为,求函数的定义域。
参考答案:
(1)f(x)的定义域为[0,1];
(2)f(x)的定义域为[,4]
变式2、.求下列函数的定义域:
变式3若函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(log2x)的定义域。
由f(2x)的定义域是[-1,1]可知:
2-1≤2x≤2,所以f(x)的定义域为
[2-1,2],故log2x∈[2-1,2],解得,故定义域为。
3、求解含参数的函数的定义域:
一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取值的不同而不同。
例1.求函数的定义域。
解:
若,则x∈R;
若,则;
故所求函数的定义域:
当时为R,当时为,当时为。
说明:
此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。
例2求函数的定义域。
由题得
(1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。
(2)对于指数函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数的取值范围,一般要分类讨论。
变式1、求函数的定义域。
当a>
1时,函数的定义域为(0,+);
当0<
a<
1时,函数的定义域为(-3,0)
5、实际问题函数的定义域
先求函数的自变量的取值范围,再考虑自变量的实际限制条件,最后把前面两者的范围求交集,即得函数的定义域。
例1、用长为的铁丝编成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图所示)。
若矩形底边长为,求此框架围成的面积与关于的函数解析式,并求出它的定义域。
如图,设,则=,于是=
因此
即=-
再由题得
解之得0<<
所以函数解析式是=-,函数的定义域是。
变式1、一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式,并写出函数的定义域和值域.
求函数解析式
1、直接法:
由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1.已知函数y=f(x)满足xy<0,4x2-9y2=36,求该函数解析式。
由4x2-9y2=36可解得:
。
这是一个分段函数,必须分区间写解析式,不可以写成的形式。
变式1.已知,求的解析式.
用观察配凑的方法很容易发现函数的特点,容易求得答案为
2、待定系数法:
由题给条件可以明确函数的类型,从而可以设出该类型的函数的一般式,然后再求出各个参变量的值。
例2.已知在一定条件下,某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比,又测得该段河流某段平均水深为2m时,水流量为340m3/s,试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
设,代入x,y的值可求得反比例系数k=780m3/s,故所求函数关系式为。
变式2.已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
求f(x)的解析式。
先将f(x)=kx+b,然后代入函数关系式中,得到关于k,b的二元一次方程组,求解该二元一次方程组可得f(x)的解析式为f(x)=2x+7。
3、换元法:
题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
例3.已知,试求。
设,则,代入条件式可得:
,t≠1。
故得:
要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。
变式3.若,求.
用换元法容易解得f(x)= 。
4、构造方程组法:
对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,联立求解。
例4.
(1)已知,试求;
(2)已知,试求;
(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:
(2)由条件式,以-x代x则得:
,与条件式联立,消去,则得:
本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析式确定,不需要另外给出。
变式4.已知求.
5、实际问题中的函数解析式:
这是高考的一个热点题型,一般难度不大,所涉及知识点也不多,关键是合理设置变量,建立等量关系。
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发,顺次经过C、D再到A停止。
设x表示P行驶的路程,y表示PA的长,求y关于x的函数。
当x∈[0,1]时:
y=x;
当x∈(1,2)时:
;
当x∈(2,3)时:
故综上所述,有
二、值域
(从自变量的范围出发,推出的取值范围)
例1.求函数的值域。
因为,所以,
所以函数的值域为。
2、配方法(是求二次函数值域的基本方法,如的函数的值域问题,均可使用配方法)
例2.求函数()的值域。
,
因为,所以,所以
所以,即
所以函数()的值域为。
3、分离常数法(分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法)
例4.求函数的值域。
因为,
所以,所以,
4、换元法(运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,如(、、、均为常数,且)的函数常用此法求解。
令(),则,
所以
因为当,即时,,无最小值。
5、函数的单调性法(确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域,形如求函数的值域(时为减函数;
时为增函数))
例5.求函数的值域。
因为当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,
所以函数在定义域上是增函数。
所以,所以函数的值域为。
6、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)
例6求函数的值域。
由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得
,
因为,所以(,),
所以函数的值域为
7、数型结合法(函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法)
y
x
o
2
1
-1
例7.求函数的值域。
,,
图像如右图所示,故原函数的值域为
8、复合函数法:
对函数,先求的值域充当的定义域,从而求出的值域的方法。
例8:
求函数的值域。
9、构造法:
根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。
例9:
点拨:
将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
解:
原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位
正方形。
设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,
KC=。
由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为{y|y≥5}。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.
三、函数的单调性
一、判断函数单调性的方法
1、定义
2、求导
注:
抽象函数用定义判断单调性
注意:
二、复合函数单调性(同增异减)
(外)y=f(u)
↑
↓
(外)u=g(x)
(复合)y=f[g(x)]
三、基本题型
题型一求单调区间
例1、
解:
设
故增区间,减区间
变式:
答案:
(1)减区间;
增区间
(2)减区间;
增区间(3)减区间;
(4)减区间;
例2、
知
增区间减区间
增区间;
减区间
例3、
①
增区间;
②
综上,增区间为和,减区间和
求的单调区间
增区间,减区间
例4、若函数在[2,+是增函数,求实数的范围。
在[2,+是增函数,
[2,+是增函数,且
变式1:
已知函数存在单调递减区间,求的取值范围
a>
变式2:
在区间上不单调,求的取值范围。
-5<
1,且a≠-1
:
题型二证明单调性
例1、求证.
法一:
(定义法)
法二:
(导数法)
求证:
证明:
略
函数对任意的、,都有,并且当时,.求证:
是上的增函数。
题型三单调性应用
一、求最值(或值域)
例1、
变式3:
9000
二、比较大小
例2、
比较的大小
,解得
当时,有0<
<
.函数在上单调递增,
故
三、解不等式
解不等式
当;
当
构造函数,据单调性解题
四、求参数范围(本质:
转化为恒成立问题)
例4、的减区间为,求a的值
解析:
由题意知函数对称轴x=1-a=4,得a=-3
在上是减函数,求a的取值范围
由题意知函数对称轴x=1-a,得
函数在单调递增,求a的取值范围;
函数单调递增,求a的取值范围
变式4:
已知函数在R上单调递增,且,求a的取值范围
例5、定义在(-1,1)上的函数是奇函数,并且在(-1,1)上是减函数,求满足条件的取值范围。
0<
定义在R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当时,有恒成立,求实数的取值范围。
若函数上单调递增,且恒成立,求实数a的取值范围
已知定义域为的函数是奇函数。
(1)求、的值;
(2)证明:
函数在R上是减函数;
(3)若对于恒成立,求的取值范围。
(1)a=2,b=1,
(2)略,(3)
五、证明不等式
例5、当,证明:
构造函数
,当x>
0时,,故f(x)在上单调递减
从而<
0,即
同理可证
当证明:
已知,且,,n2
求证
构造函数,证明f(n)是单调递减
.例6、当证明:
此题为幂指数函数不等式,用求差或求商构造辅助函数很难对其求导,更难判断其导函数的符号,本题可对不等式两边取对数,在此基础上求差构造辅助函数证明之
对不等式两边取对数得
化简为
设辅助函数
知上单调递增,从而
即
设b>
e,证明
对不等式求对数,再证明之
四、函数奇偶性
函数奇偶性的判定方法较多,下面举例介绍常见的判定方法.
1.定义域判定法
例1 判定的奇偶性.
要使函数有意义,须,解得,
定义域不关于原点对称,原函数是非奇非偶函数.
评注:
用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数具有奇偶性.
2.定义判定法
例2 判断的奇偶性.
函数的定义域为,
且 ,
函数是偶函数.
评注:
在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数奇偶性.
3.等价形式判定法
例3 判定的奇偶性.
的定义域为,关于原点对称,当时,,图象过原点.
又时,,.
又,为奇函数.
常用等价变形形式有:
若或,则为奇函数;
若或,则为偶函数(其中).
4.性质判定法
例4 若,是奇函数,是偶函数,
试判定的奇偶性.
在的公共定义域内,任取一个,则,
分别是奇函数和偶函数,
,.
.
在上为奇函数.
在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:
①两个偶函数的和、差、积都是偶函数;
②两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5.易错题
判断、证明下列函数的奇偶性.
(1);
(2).
错解分析:
(1).
显然有=,∴为偶函数.
(2)∵,于是≠且≠-.
∴为非奇非偶函数.
解析:
(1)∵的定义域为≥0,即-1≤<1.
定义域不是关于原点对称的数集,∴为非奇非偶函数.
(2)∵的定义域为且≠0,即-1<<1且≠0,此时.
∴,∴为奇函数.
技巧提示:
正确判定函数的奇偶性,必须先考虑函数的定义域.
又例:
判断下列函数的奇偶性.
(2);
(3).
(1)∵≥0,即-1≤≤1.此时,∴,为奇函数.
(2)当>0,-<0时,
=,=,=-;
当<0,->0时,
∴为奇函数.
(3)∵的定义域为.
此时函数化为=0,.
∴既是奇函数又是偶函数.
4.巩固练习
练习1:
讨论函数的奇偶性.
函数定义域为R,
又
=.
∴为偶函数.
判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).
如本题亦可先化简:
,显然为偶函数.
从这可以看出,化简后再解决要容易得多.
练习2:
证明函数为奇函数.
∵+=+
===0
∴为奇函数.
练习3:
讨论函数(≠0)的奇偶性.
∵≤,∴要分>0与<0两类讨论.
(i)当>0时,由,函数的定义域为,
∵≥0,∴,为奇函数;
(ii)当<0时,由,函数的定义域为,
∵≤0,∴,既不是奇函数,也不是偶函数.
类型二:
奇偶函数性质的应用
题型一:
利用奇偶性求参数的值
例1 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数,那么a+b的值为.
∵f(x)是定义在[a-1,2a]的偶函数,∴b=0
a-1+2a=0,解得b=0,a=
故a+b=.
点评:
对于多项式型的函数f(x)=a1xn+a2xn-1+…+an,若f(x)为奇函数,则应只保留x的奇次项,若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0,又奇偶函数定义域关于原点对称,故a-1+2a=0.
例2 已知函数f(x)=是定义在r上的奇函数,求a的值.
解法一:
∵f(x)是定义在r上的奇函数
∴f(x)=0,
即:
=0,∴a=1
解法二:
∵f(x)是定义r在的奇函数
∴f(-x)=-f(x)
=-
整理得(2a-2)(2x+1)=0
∴2a-2=0
解之得a=1
对于奇函数f(x),若0∈f(0)定义域,则此性质可大大减少运算量。
故首选f(0)=0,若0?
埸定义域,再考虑f(-x)=-f(x),利用恒等式求解。
题型二:
利用奇偶性求函数解析式
例3 已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x)求出函数的解析式。
当x0
∵当x≥0时,f(x)=x(1+x)
∴f(-x)=-x(1-x)
∵f(x)是r上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)=x(1-x)
∴f(x)=x(1+x),(x≥0)x(1-x),(x
(2)
综合
(1)
(2)得<
m≤2
对于偶函数有f(-x)=f(x)=f(|x|),可以避免讨论。
真可谓是“巧取绝对值,妙解不等式”。
题型三:
利用奇偶函数图像解题
例5 已知f(x)是定义在r的偶函数且f
(2)=0,在区间[0,+∞)递增,求f(x)的解集.
做出符合条件的一种图形,偶函数的图像关于y轴对称.如:
奇偶函数具有对称性,因此作图时,可以先做出y轴右边的图象,在根据对称性画出y轴左边的图像,就可得出整个定义域内的图像.
类型三:
综合题型
【例1】设,是上的偶函数.
(1)求的值;
(2)证明在上为增函数.
(1)依题意,对一切,有,即.
∴ 对一切成立,
则,即.∵,∴.
(2)设,则
由,得,,
∴,
即,∴在上为增函数.
两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解,第
(2)小题的变形以容易判别符号为目标.
又例:
已知是定义在上的偶函数,且在上为减函数,若,求实数的取值范围.
是上的偶函数且在上为减函数.
∴由,有,
即,解得≤-1或≥2.
已知函数的定义域关于原点对称,且满足:
(2)存在正常数,使=1.
(Ⅰ)是奇函数;
(Ⅱ)是周期函数,并且有一个周期为4.
(Ⅰ)设,则
所以函数是奇函数.
(Ⅱ)令,则
即,解得:
=0.
于是有.
所以.
因此,函数是周期函数,并且有一个周期为4.
【例2】函数的定义域为D:
,且满足对于任意,有.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)判断的奇偶性并证明;
(Ⅲ)如果,,且在上是增函数,求的取值范围.
(Ⅰ)令,
(Ⅱ)令
令∴为偶函数.
(Ⅲ)
∴
(1)
∵在上是增函数,
∴
(1)等价于不等式组:
解得
∴
∴x的取值范围为
五、函数的周期性
周期性定义:
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,,都成立,那么f(x)是周期函数,T是它的周期.对于一个周期函数来说,如果在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小的正数叫最小正周期.
命题1:
若函数的图象关于直线对称,则为周期函数,且
命题2:
若函数的图象关于点对称,则
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