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    高中数学函数典型例题及习题Word格式.doc

    • 资源ID:3592669       资源大小:1.50MB        全文页数:29页
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    高中数学函数典型例题及习题Word格式.doc

    1、 (5)的内角和,由得 由正弦定理,知 , 因为, 所以总结:求解这类具体函数的定义域时,要求我们牢记一些常用的原则:(1)分母不等于0;(2)偶次方根内不小于0,奇次方根内可为一切实数;(3)对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域:(4)实际问题求定义域时要符合实际意义.变式1.求下列函数的定义域:参考答案:(1)变式2. 求的定义域。由题意知:,从而解得:x2且x4.故所求定义域为:x|x4。 2、求与复合函数有关的定义域: 利用抽象复合函数的性质解答:(1)已知原函数的定义域为,求复合函数的定义域:只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域。(2)已知复合函数的定义域为,求原

    2、函数的定义域:只需根据求出函数的值域,即得原函数的定义域(1)是已知,即括号内是其他函数形式的定义域, 此题为一元二次函数的形式;而题(2)相反. 题(3)已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.(1) 由条件知, 总结:由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律,即抽象函数的定义域求解要切实把握两点:(1)求函数的定义域是求函数表达式中x的范围;(2)在一个题目里函数括号内的式子的范围一样.例2 求下列函数的定义域:(1)已知函数的定义域为,求函数的定义域。(2)已知函数的定义域为,求函数的定义域。(3)已知函数的定义域为,求函数的定义域。(

    3、1)令-212 得-13,即 03,从而 -函数的定义域为。(2)的定义域为,即在中,令, ,则,即在中,的定义域为。(3)由题得 变式1、 (1) 已知函数的定义域为,求函数的定义域 (2)若函数的定义域为,求函数的定义域。参考答案: (1) f(x)的定义域为0,1;(2) f(x)的定义域为,4变式2、.求下列函数的定义域:变式3 若函数f(2x)的定义域是1,1,求f(log2x)的定义域。由f(2x)的定义域是1,1可知:212x2,所以f(x)的定义域为21,2,故log2x21,2,解得,故定义域为。3、 求解含参数的函数的定义域:一般地,须对参数进行分类讨论,所求定义域随参数取

    4、值的不同而不同。例1. 求函数的定义域。解:若,则xR;若,则;故所求函数的定义域:当时为R,当时为,当时为。说明:此处求定义域是对参变量a进行分类讨论,最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式,必须根据a的不同取值范围分别论述。例2 求函数的定义域。由题得(1)求含有参数的函数的定义域时,注意在适当的地方分类讨论。(2)对于指数函数和对数函数,如果已知条件中,没有给定底数的取值范围,一般要分类讨论。变式1、 求函数的定义域。当a1时,函数的定义域为(0,+);当0a变式2:在区间上不单调,求的取值范围。-51,且a-1:题型二 证明单调性例1、 求证.法一:(定义法) 法二:(导数法

    5、) 求证:证明:略函数对任意的、,都有,并且当时,.求证:是上的增函数。题型三 单调性应用一、求最值(或值域)例1、 变式3:9000二、 比较大小例2、 比较的大小,解得当时,有0函数在上单调递增,故三 、解不等式解不等式当;当构造函数,据单调性解题四、 求参数范围(本质:转化为恒成立问题)例4 、的减区间为,求a的值 解析:由题意知函数对称轴x=1-a=4,得a=-3在上是减函数,求a的取值范围由题意知函数对称轴x=1-a,得 函数在单调递增,求a的取值范围;函数单调递增,求a的取值范围变式4:已知函数在R上单调递增,且,求a的取值范围例5、定义在(-1,1)上的函数是奇函数,并且在(-1

    6、,1)上是减函数,求满足条件的取值范围。00时,故f(x)在上单调递减从而e,证明对不等式求对数,再证明之四、函数奇偶性函数奇偶性的判定方法较多,下面举例介绍常见的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性要使函数有意义,须,解得,定义域不关于原点对称,原函数是非奇非偶函数评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数具有奇偶性2定义判定法例2判断的奇偶性函数的定义域为,且,函数是偶函数评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数奇偶性3等价形式判定法例3判定的奇偶性的定义域为,关于原点对称,当时,图象过原点又时,又,为奇函数常用等价变

    7、形形式有:若或,则为奇函数;若或,则为偶函数(其中)4性质判定法例4若,是奇函数,是偶函数,试判定的奇偶性在的公共定义域内,任取一个,则,分别是奇函数和偶函数,在上为奇函数在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:两个偶函数的和、差、积都是偶函数;两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数 5.易错题判断、证明下列函数的奇偶性.(1); (2). 错解分析:(1).显然有,为偶函数.(2),于是且.为非奇非偶函数.解析:(1)的定义域为,即11.定义域不是关于原点对称的数集,为非奇非偶函数.(2)的定义域为且,即11且0,此时.,为奇函数.技巧提

    8、示:正确判定函数的奇偶性,必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性. (2);(3).(1) 0,即11.此时,为奇函数.(2)当0,0时,;当0,0时, 为奇函数.(3)的定义域为.此时函数化为0,. 既是奇函数又是偶函数.4.巩固练习练习1:讨论函数的奇偶性.函数定义域为R,又.为偶函数.判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).如本题亦可先化简:,显然为偶函数.从这可以看出,化简后再解决要容易得多.练习2:证明函数为奇函数.0为奇函数.练习3:讨论函数 (0)

    9、的奇偶性. , 要分0与0两类讨论.(i)当0时,由,函数的定义域为 ,0, ,为奇函数;(ii)当0时,由,函数的定义域为,0, ,既不是奇函数,也不是偶函数.类型二:奇偶函数性质的应用题型一:利用奇偶性求参数的值例1已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a的偶函数,那么a+b的值为 .f(x)是定义在a-1,2a的偶函数,b=0a-1+2a=0, 解得b=0,a=故a+b=.点评:对于多项式型的函数f(x)=a1xn+a2xn-1+an,若f(x)为奇函数,则应只保留x的奇次项,若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0,又奇偶函数定义域关于原点对称,故a-1+2a=0.例2已知函数f

    10、(x)=是定义在r上的奇函数,求a的值.解法一:f(x)是定义在r上的奇函数f(x)=0,即:=0,a=1解法二:f(x)是定义r在的奇函数f(-x)=-f(x)=-整理得(2a-2)(2x+1)=02a-2=0解之得a=1对于奇函数f(x),若0f(0)定义域,则此性质可大大减少运算量。故首选f(0)=0,若0?埸定义域,再考虑f(-x)=-f(x),利用恒等式求解。题型二:利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x)求出函数的解析式。当x0当x0时,f(x)=x(1+x)f(-x)=-x(1-x)f(x)是r上的奇函数f(x)=-f(-x

    11、)=x(1-x)f(x)=x(1+x),(x0)x(1-x),(x (2)综合(1)(2)得m2对于偶函数有f(-x)=f(x)=f(|x|),可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值,妙解不等式”。题型三:利用奇偶函数图像解题例5已知f(x)是定义在r的偶函数且f(2)=0,在区间0,+)递增,求f(x)的解集 .做出符合条件的一种图形,偶函数的图像关于 y轴对称.如:奇偶函数具有对称性,因此作图时,可以先做出y轴右边的图象,在根据对称性画出y轴左边的图像,就可得出整个定义域内的图像.类型三: 综合题型【例1】设,是上的偶函数.(1) 求的值;(2)证明在上为增函数.(1)依题意,对一切,有,即.

    12、对一切成立,则,即.,.(2)设,则由,得,即,在上为增函数.两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解,第(2)小题的变形以容易判别符号为目标.又例:已知是定义在上的偶函数,且在上为减函数,若,求实数的取值范围.是上的偶函数且在上为减函数.由,有,即,解得1或2.已知函数的定义域关于原点对称,且满足:(2)存在正常数,使1.()是奇函数;()是周期函数,并且有一个周期为4.()设,则所以函数是奇函数.()令,则即,解得:0.于是有 .所以.因此,函数是周期函数,并且有一个周期为4.【例2】函数的定义域为D:,且满足对于任意,有. ()求的值;()判断的奇偶性并证明;()如果,且在上是增函数,求的取值范围.()令,()令令为偶函数.() (1)在上是增函数, (1)等价于不等式组:解得x的取值范围为五、函数的周期性周期性定义:对于函数yf(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都成立,那么f(x)是周期函数,T是它的周期对于一个周期函数来说,如果在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小的正数叫最小正周期命题1:若函数 的图象关于直线对称,则 为周期函数,且命题2:若函数 的图象关于点 对称,则


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