1、 （5）的内角和，由得 由正弦定理，知 ， 因为， 所以总结：求解这类具体函数的定义域时，要求我们牢记一些常用的原则：（1）分母不等于0；（2）偶次方根内不小于0，奇次方根内可为一切实数；（3）对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域：（4）实际问题求定义域时要符合实际意义.变式1.求下列函数的定义域：参考答案：（1）变式2. 求的定义域。由题意知：，从而解得：x2且x4.故所求定义域为：x|x4。 2、求与复合函数有关的定义域： 利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。（2）已知复合函数的定义域为，求原
2、函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域（1）是已知，即括号内是其他函数形式的定义域, 此题为一元二次函数的形式；而题（2）相反. 题（3）已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.（1） 由条件知， 总结：由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律，即抽象函数的定义域求解要切实把握两点：（1）求函数的定义域是求函数表达式中x的范围；（2）在一个题目里函数括号内的式子的范围一样.例2 求下列函数的定义域：（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域。（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域。（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域。（
3、1）令-212 得-13，即 03，从而 -函数的定义域为。（2）的定义域为，即在中，令， ，则，即在中，的定义域为。（3）由题得 变式1、 （1） 已知函数的定义域为，求函数的定义域 （2）若函数的定义域为，求函数的定义域。参考答案: （1） f（x）的定义域为0,1;（2） f（x）的定义域为,4变式2、.求下列函数的定义域：变式3 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。由f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以f（x）的定义域为21，2，故log2x21，2，解得，故定义域为。3、 求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取
4、值的不同而不同。例1. 求函数的定义域。解：若，则xR；若，则；故所求函数的定义域：当时为R，当时为，当时为。说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。例2 求函数的定义域。由题得（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论。（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论。变式1、 求函数的定义域。当a1时，函数的定义域为（0，+）；当0a变式2：在区间上不单调，求的取值范围。-51,且a-1:题型二 证明单调性例1、 求证.法一：（定义法） 法二：（导数法
5、） 求证：证明：略函数对任意的、，都有，并且当时，.求证：是上的增函数。题型三 单调性应用一、求最值（或值域）例1、 变式3：9000二、 比较大小例2、 比较的大小，解得当时，有0函数在上单调递增，故三 、解不等式解不等式当;当构造函数，据单调性解题四、 求参数范围（本质：转化为恒成立问题）例4 、的减区间为，求a的值 解析：由题意知函数对称轴x=1-a=4,得a=-3在上是减函数，求a的取值范围由题意知函数对称轴x=1-a，得 函数在单调递增，求a的取值范围；函数单调递增，求a的取值范围变式4：已知函数在R上单调递增，且，求a的取值范围例5、定义在（-1，1）上的函数是奇函数，并且在（-1
6、，1）上是减函数，求满足条件的取值范围。00时，故f（x）在上单调递减从而e,证明对不等式求对数，再证明之四、函数奇偶性函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法1定义域判定法例1判定的奇偶性要使函数有意义，须，解得，定义域不关于原点对称，原函数是非奇非偶函数评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性2定义判定法例2判断的奇偶性函数的定义域为，且，函数是偶函数评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性3等价形式判定法例3判定的奇偶性的定义域为，关于原点对称，当时，图象过原点又时，又，为奇函数常用等价变
7、形形式有：若或，则为奇函数；若或，则为偶函数（其中）4性质判定法例4若，是奇函数，是偶函数，试判定的奇偶性在的公共定义域内，任取一个，则，分别是奇函数和偶函数，在上为奇函数在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数 5.易错题判断、证明下列函数的奇偶性.（1）； （2）. 错解分析：（1）.显然有，为偶函数.（2），于是且.为非奇非偶函数.解析：（1）的定义域为，即11.定义域不是关于原点对称的数集，为非奇非偶函数.（2）的定义域为且，即11且0，此时.，为奇函数.技巧提
8、示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性. （2）；（3）.（1） 0，即11.此时，为奇函数.（2）当0，0时，；当0，0时， 为奇函数.（3）的定义域为.此时函数化为0，. 既是奇函数又是偶函数.4.巩固练习练习1：讨论函数的奇偶性.函数定义域为R，又.为偶函数.判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：，显然为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.练习2：证明函数为奇函数.0为奇函数.练习3：讨论函数 （0）
9、的奇偶性. ， 要分0与0两类讨论.（i）当0时，由，函数的定义域为 ，0， ，为奇函数；（ii）当0时，由，函数的定义域为，0， ，既不是奇函数，也不是偶函数.类型二：奇偶函数性质的应用题型一：利用奇偶性求参数的值例1已知f（x）=ax2+bx是定义在a-1,2a的偶函数，那么a+b的值为 .f（x）是定义在a-1,2a的偶函数，b=0a-1+2a=0， 解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2已知函数f
10、（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：f（x）是定义在r上的奇函数f（x）=0，即：=0，a=1解法二：f（x）是定义r在的奇函数f（-x）=-f（x）=-整理得（2a-2）（2x+1）=02a-2=0解之得a=1对于奇函数f（x），若0f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。题型二：利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。当x0当x0时，f（x）=x（1+x）f（-x）=-x（1-x）f（x）是r上的奇函数f（x）=-f（-x
11、）=x（1-x）f（x）=x（1+x），（x0）x（1-x），（x （2）综合（1）（2）得m2对于偶函数有f（-x）=f（x）=f（|x|），可以避免讨论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。题型三：利用奇偶函数图像解题例5已知f（x）是定义在r的偶函数且f（2）=0，在区间0，+）递增，求f（x）的解集 .做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.类型三: 综合题型【例1】设，是上的偶函数.（1） 求的值；（2）证明在上为增函数.（1）依题意，对一切，有，即.
12、对一切成立，则，即.，.（2）设，则由，得，即，在上为增函数.两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数的取值范围.是上的偶函数且在上为减函数.由，有，即，解得1或2.已知函数的定义域关于原点对称，且满足：（2）存在正常数，使1.（）是奇函数；（）是周期函数，并且有一个周期为4.（）设，则所以函数是奇函数.（）令，则即，解得：0.于是有 .所以.因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4.【例2】函数的定义域为D：，且满足对于任意，有. （）求的值；（）判断的奇偶性并证明；（）如果，且在上是增函数，求的取值范围.（）令，（）令令为偶函数.（） （1）在上是增函数， （1）等价于不等式组：解得x的取值范围为五、函数的周期性周期性定义：对于函数yf（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都成立，那么f（x）是周期函数，T是它的周期对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫最小正周期命题1：若函数 的图象关于直线对称，则 为周期函数，且命题2：若函数 的图象关于点 对称，则
