初中数学分式方程典型例题讲解.doc
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第十六章分式知识点和典型例习题
【知识网络】
【思想方法】
1.转化思想
转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:
异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:
把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.
2.建模思想
本章常用的数学方法有:
分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.
3.类比法
本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.
第一讲分式的运算
【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算有关的运算法则
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则
【主要公式】1.同分母加减法则:
2.异分母加减法则:
;
3.分式的乘法与除法:
4.同底数幂的加减运算法则:
实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am-n
6.积的乘方与幂的乘方:
(ab)m=ambn,(am)n=amn
7.负指数幂:
a-p=a0=1
8.乘法公式与因式分解:
平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2
(一)、分式定义及有关题型
题型一:
考查分式的定义
(一)分式的概念:
形如(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式.其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
【例1】下列代数式中:
,是分式的有:
.
题型二:
考查分式有意义的条件:
在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.
【例2】当有何值时,下列分式有意义
(1)
(2) (3) (4) (5)
题型三:
考查分式的值为0的条件:
1、分母中字母的取值不能使分母值为零,否则分式无意义
2、当分子为零且分母不为零时,分式值为零。
【例3】当取何值时,下列分式的值为0.
(1)
(2)
题型四:
考查分式的值为正、负的条件
【例4】
(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数.
练习:
1.当取何值时,下列分式有意义:
(1)
(2) (3)
2.当为何值时,下列分式的值为零:
(1)
(2)
3.解下列不等式
(1)
(2)
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
题型一:
分式化简(约分)
(1);
(2);(3)在分式中,x,y,z分别扩大到原来的两倍,则分式大小怎么变化?
题型二:
化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
(1)
(2)
题型三:
分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)
(2) (3)
题型四:
化简求值题
【例3】已知:
,求的值.
【例4】已知:
,求的值.
【例5】若,求的值.
练习:
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(1)
(2)
2.已知:
,求的值.
3.已知:
,求的值.
4.若,求的值.
5.如果,试化简.
(三)分式的乘除法
题型一:
分式的乘法:
①分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简()
②整式和分式相乘,直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子,分母不变。
即()
【例1】计算下列各分式:
(1);
(2);(3)
题型二:
分数除法:
分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
()
【例2】计算下列各式:
(1);
(2);
题型三:
分式的混合运算:
熟记分式乘除法法则
【例3】计算:
(1);
(2);
题型四:
化简求值题
【例4】先化简后求值
(1),其中满足.
(2)已知,求的值.
.
(四)、分式的加减法
题型一:
同分母分数相加减:
分母不变,把分子相加减。
【例1】计算:
(1);
(2).;(3)-
题型二:
异分母分数相加减:
正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为:
(通分)
①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
②最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;
③分母是多项式时一般需先因式分解。
()
【例2】通分:
(1)
(2)
【例3】
(1)计算:
.
(2)计算
(3)-;(4)-;
题型三:
加减乘除混合运算
【例4】计算:
(1)、,
(2)
新授知识分式方程
问题1:
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?
分式方程概念:
方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.
做一做在方程①=8+,②=x,③=,④x-=0中,是分式方程的有()
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
问题2:
怎么解问题1中的分式方程:
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
(一)分式方程题型分析
题型一:
用常规方法解分式方程
(1)
(2)
【例1】解下列分式方程
(1);
(2);(3);(4)
【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.
提示易出错的几个问题:
①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:
求待定字母的值
【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.
练习:
1.解下列方程:
(1);
(2);
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