统计与概率综合与实践内容分析与建议.docx
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统计与概率综合与实践内容分析与建议
专题学习
统计与概率、综合与实践内容分析与建议
专题一统计与概率
(一)
“统计与概率”的内容结构在课程标准中较课程标准实验稿有较大变化。
即在第一学段内容大大减少,只保留3条要求,主要是学会分类、会进行简单的数据收集与整理;第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分,共8条;第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率”两部分,共11条。
这样调整的原因在于,在实验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求,按照学生现有的理解水平,学习是有一定困难的,教学设计与实施也有很大难度。
同时,在内容上与后面两个学段有很大的重复。
因此,较大幅度降低了第一学段统计与概率内容的要求,对后两个学段的内容也做相关的调整,如中数、众数等内容从第二学段移到第三学段。
这样使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显区分,在难度上也表现出一定的梯度。
在初中阶段“统计与概率”的课程内容主要由数据分析的过程、数据分析的方法、数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率构成。
通过本节分析,使教师在教学中,通过让学生参与在实际问题中收集和处理数据,利用数据分析问题、获取信息的过程,掌握统计与概率的基础知识和基本技能。
1.数据分析的过程
课程标准中将数据分析观念作为核心概念,为教师理解这部分内容结构提供了重要指导。
在课程标准中,将数据分析观念解释为:
“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析作出判断,体会数据中蕴涵着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
”基于这些阐述,为使学生树立数据分析的观念,教师最有效的方法就是让他们投入到数据分析的全过程中去。
在此过程中,学生不仅学习一些必要的知识和方法,同时还将体会数据中蕴涵着信息,提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。
为此,课程标准在三个学段对数据分析的过程都提出了相应的要求。
在第一学段中,提出“经历简单的数据收集和整理过程”;在第二学段中,提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程(可使用计算器)”;在第三学段中,提出“经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程,能用计算器处理较为复杂的数据”。
从这些要求中不难看出以下几点。
一是数据分析的过程可以概括为收集数据、整理数据、描述数据和分析数据。
二是学段的要求逐步深入,从第一学段到第三学段,学生随着年龄的增长,将逐步经历更加完整的数据分析过程。
在要求上第一学段、第二学段都提出了经历“简单的”过程,第三学段则去掉了这个限制。
三是从第二学段开始使用计算器来处理数据,到第三学段则要求能使用计算器处理较为复杂的数据。
下面,我们以课程标准的例子来进一步体会数据分析的内涵及要求。
在三个学段,课程标准都举了对全班同学的身高进行分析的例子,并且鼓励学生把每年测量身高的数据保留下来,根据不同学段的特点对数据进行整理、描述和分析,提取信息,从而经历数据分析的过程。
具体阐述和要求如下。
【案例1】三个学段中关于数据分析过程的例子
第一学段(课程标准例19):
对全班同学的身高进行调查分析。
[说明]学校一般每年都要测量学生的身高,这为学习统计提供了很好的数据资源,因此这个问题可以贯穿第一学段和第二学段,根据不同学段的学生特点,要求可以有所不同。
希望学生把每年测量身高的数据都保留下来,养成保存资料的习惯。
在第一学段,主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。
第二学段(课程标准例38):
对全班同学的身高的数据进行整理和分析。
[说明]在上面的例子中,已经引导学生对全班同学的身高的数据进行初步分析。
在这个学段中,要求学生结合以前积累的身高数据,进行进一步的整理,然后进行分析。
整理的目的是为了便于分析。
例如,条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异;扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异;折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况,预测未来身高变化趋势。
学生还可以讨论用什么数据来代表全班同学的身高,自己的身高在全班的什么位置。
第三学段(课程标准例70):
比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[说明]对于两个班级学生身高状况比较,通常可以通过平均值来判断,但有时候仅仅通过平均数是不够的,如果一个班同学之间身高差异很大,而另一个班同学之间身高差异很小,即使前一个班的平均值高一些,也不能说这个班的整体状况很好。
因此,在判断身高状况时,不仅要看平均值,还需要参考方差。
进一步引导学生逐渐深入地进行数据分析,可以要求学生把身高分段,画出频数直方图,并引导学生讨论,通过直方图能否得到更多的信息。
2.数据分析方法
掌握必要的收集、整理、描述数据和分析数据的方法,无疑是统计课程内容建构的第二个主要内容。
这里主要让学生掌握收集数据的方法和整理、描述、分析数据的方法。
(1)收集数据的方法。
在收集数据方面,所涉及的数据可能是全体的数据(总体数据),也可能是通过抽样获得的数据(抽样数据)。
在第一、第二学段中,学生收集的基本都是总体数据;在第三学段中,学生将开始学习抽样,体会抽样的必要性,通过实例了解简单的随机抽样。
其中数据的来源有两种,一种是现成的数据,另一种是需要自己收集的数据。
在义务教育阶段两种来源都应该让学生有所体验,特别是自己收集的数据。
常用的收集数据方法包括调查、试验、测量、查阅资料等。
学生应该对收集数据的方法有比较丰富的体验。
(2)整理、描述、分析数据的方法。
当人们收集了一堆数据以后,这些数据往往看起来比较杂乱,就需要来整理数据,在不损失信息的前提下,对看起来杂乱无章的数据进行必要的归纳和整理,然后把整理后的数据运用统计图表等直观地表示出来,并加以适当的分析,为人们作出决策和推断提供依据。
其中在初中学段,学生将了解频数和频数分布的意义,能画频数直方图;继续学习刻画数据集中趋势的统计量——中位数和众数,以及刻画数据离散程度的统计量——极差、方差;体会样本与总体关系,知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
需要指出的是,教学中应鼓励学生运用所学习的方法,尽可能多地从数据中提取有用的数据,并且能够根据问题的背景选择合适的方法,而不是单纯地学习名词、计算方法等。
这里不妨看一下课程标准中对案例38的说明:
“条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其差异;扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其差异;折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况,预测未来身高变化趋势。
”因此,需要我们根据问题的背景选择合适的统计图。
总之,“统计学对结果的判断标准是好坏”,而不是“对错”。
3.数据的随机性
由于推断性数据分析的目的是要通过数据来推测产生这些数据的背景,所以把它这个背景称为总体。
假定这个总体是未知的,目的是想通过样本来推断总体,而在调查或者试验之前,我们不可能知道数据的具体取值。
也就是说,数据可以取不同的值,并且取不同值的概率可以是不一样的,这就是数据随机性的由来。
课程标准将数据随机性作为数据分析观念的内涵之一。
数据的随机性主要有两层含义:
一是对于同样的事情每次收集到的数据可能是不同的;二是只要有足够的数据就可能从中发现规律。
如袋中装有若干个红球和白球,一方面,每次摸出的球的颜色可能是不一样的,事先无法确定,另一方面,有放回重复摸多次(摸完后将球放回袋中,摇均匀后再摸),从摸到的球的颜色的数据中就能发现一些规律,如红球多还是白球多,红球和白球的比例等。
从而让学生感悟,虽然数据是随机的,但数据较多时具有某种稳定性,可以从中得到很多信息。
不少教师会有这样的困惑:
概率也是研究随机现象的,那么,为什么又提出数据的随机性呢?
实际上,统计与概率都是研究随机现象的学科。
不论怎么说,机遇(或说偶然性)无所不在,机遇伴随着人的一生(当然随人的情况而有异),这是一个无法回避的现实。
统计与概率正是从不同的角度研究如何刻画随机现象,统计侧重于从数据来刻画随机,而概率侧重于建立理论模型来刻画随机。
鼓励学生运用数据来体会随机,更能体会随机的特点。
下面是课程标准修订组召集人史宁中教授对此的论述。
“我听了一些课,老师们经常这样处理:
比如对于掷一枚均匀的硬币,先得到出现正面或反面的概率是
,然后让学生通过反复掷硬币去验证这个结果
。
这里有两个问题。
一是一个硬币,先假定它出现正面和反面的可能性是
,这是数学(或者称为概率)。
这个
是通过概率的定义得到的,不是依靠掷硬币验证出来的。
实际上,学生做了很多次试验也得不到
,反而更加糊涂了。
二是运用定义的方式教学随机性,不能很好地培养学生的随机观念。
需要指出的是,我赞成做试验,赞成运用统计的思想来做试验。
但是,统计是通过数据来获取一些信息,来帮助人们作出一些判断。
同样是掷硬币的问题,在统计上就会这样设计试验:
先让学生多次掷硬币,计算出现正面的比例(频率),然后用频率来估计一下出现正面的可能性是多大。
如果这个可能性接近
的话,就推断这个硬币大概是均匀的,这就是统计的思想。
”
“对于先给出定义,教师往往比较习惯,而对于‘逆过来’通过数据来进行推断,教师往往比较陌生。
为了帮助教师理解,再阐述一下摸球的例子。
同样是一个袋子里有5个球,4个白球、1个红球,如果让学生通过摸来验证出现白球的可能性是
、出现红球的可能性是
,这不是统计。
统计是这样的,告诉学生们袋子里有很多球,有白颜色的和红颜色的。
让学生们去摸,摸到一定程度的时候,学生发现摸出白球的次数比红球的次数多,由此推断袋子里白球可能比红球多。
进一步的话,能推断出白球和红球的比例大概是多少。
在告诉球的总数的时候,能够估计出来几个白球和几个红球,这个就是统计的过程。
”
我们并不是反对前一种教法,而是说如果这么教,蕴涵的随机思想并不强,学生也不感兴趣,都知道了概率为什么还要做试验。
而后来的这种教法,学生体会到每一次摸的结果事先并不知道,但是,摸的次数多了能够帮助学生做一些判断。
这样一来,学生既体会了随机性,又感受到了数据中蕴涵着信息,同时,这种类似于“猜谜”的活动学生学起来也会很有兴趣。
实际上这种“猜谜”绝不是“瞎猜”,在课程标准案例40的说明中,给出了这种推断背后的科学依据,也就是,虽然不能保证估计得完全一致,但能保证在一定试验次数下,估计值与实际情况相差不大的可能性是很大的。
在第三学段,学生开始学习抽样,体会样本和总体的关系,这实际上是帮助学生体会数据的随机性的重要内容。
同时,课程标准还利用案例阐述了在第二、第三学段的不同要求。
对于上面提到的摸球游戏,第二学段要求“通过摸球,学生发现每次摸出的球的颜色不确定,初步感受数据的随机性。
进一步通过统计摸出红球和白球的数量,可以估计袋中是白球多还是红球多。
在不确定的基础上,体会规律性”。
第三学段要求“在第二学段的基础上,学生可以估计袋中白球数量和红球数量的比,进一步体会规律性。
教师可以进一步鼓励学生思考:
给出了袋中两种颜色球的总数,如何估计白球和红球各自的数量?
另外,在第三学段,课程标准还提出了“通过表格、折线图、趋势图等,感受随机现象的变化趋势”,并给出了案例71。
案例71刻画的是变量之间的随机关系,即年份与GDP是有关系的,但这种关系是不确定的。
因为描点法呈现的是线性的增长趋势,所以,教师可进一步引导学生利用直线来表示这种趋势。
教学中,教师还可以鼓励学生尝试大致画出这条直线。
比如,有的学生会根据直线两侧的点基本相同来描出此直线,并由此预测未来经济发展,感悟一些随机现象的规律性。
对于直线方程如何求得,则不做要求。
4.随机现象及简单随机事件发生的概率
在这次课程标准修订中,学生在第一学段中将不再学习概率,从第二学段开始,课程标准安排了概率的学习,并且根据学生的年龄特点,称为“随机现象发生的可能性”,第三学段称为“事件的概率”。
在概率学习中,帮助学生了解随机现象是重要的。
在义务教育阶段,所涉及的随机现象都基于简单随机事件:
所有可能发生的结果是有限的,每个结果发生的可能性是相同的。
因此,在第二学段,要求学生“了解简单的随机现象的实例,能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果”,并“能对一些简单的随机现象发生的可能性大体作出定性描述”。
在第三学段,则要求学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,从而了解并获得事件的概率”。
同时,知道“通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率”。
专题二统计与概率
(二)
统计与概率的主要内容有:
收集、整理和描述数据,包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等。
处理数据,包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等;从数据中提取信息并进行简单的推断;简单随机事件及其发生的概率。
数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析。
描述性统计分析是通过集中趋势、离散程度、图形表示等来刻画数据,而推断性统计分析是利用样本的数据去推测总体的情况。
由此可见,第一、第二学段学生主要学习的是描述性统计分析,第三学段开始接触推断性统计分析。
下面对初中学段进行内容进行分析。
1.抽样和简单随机抽样
抽样是初中统计课程的一个重要内容。
如前所述,推断性统计分析是利用样本的数据去推测总体的情况,在初中阶段学生将对此进行初步感受。
首先,学生需要在实际问题中体会抽样的必要性。
如何抽样获取“好”的数据呢?
所谓“好”的数据是指那些能够更客观地反映实际背景的数据。
为了获取好的数据,教师需要尽可能多地利用对实际背景已有的了解。
如果对于实际背景一无所知,那么,一定要随意抽取样本,保证每个个体被抽到的概率相同,这便是“简单随机抽样”。
对于简单随机抽样,课程标准要求通过实例加以了解,并在下面的案例中给出了具体要求。
【案例2】(课程标准例67)设计调查方法
了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。
调查的结果适用于学校的全体同学吗?
适用于全地区的电视观众吗?
如果不适用,应当如何改进调查方法?
[说明]对于许多问题,不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据,只要得到一部分数据(样本)就可以对总体的情况进行估计。
很显然,如果得到的样本能够客观地反映问题,则估计就会准确一些,否则估计就会差一些。
因此,我们希望寻找一个好的抽取样本的方法,使得样本能够客观地反映问趣。
在本学段,主要学习简单随机抽样方法,这是收集数据中通用的方法,在一般情况下,我们都假定样本是通过随机的方法得到的。
因为同一个年级的学生差异不大,采用简单随机抽样方法比较合适。
可以在上学时在学校门口随机问讯,也可以按学号随机问讯。
为了分析方便,需要把问题数字化,如喜欢这部电视剧的记为1,不喜欢的记为0。
对于这样的问题,问讯学生数不能少于20人,取40~50人比较合适,取更多的学生当然更好,但需要花费更多的精力。
由此可见,一个好的抽样方法不仅希望“精度高”,还希望“花费少”。
假设问讯的学生数为n,记录数据的和为m(显然,m为喜欢这部电视剧的人数),则调查结果说明,学生中喜欢这部电视剧的比例为
。
我们依此估计本年级的学生中喜欢这部电视剧的比例。
用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的,因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。
为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计,可以采用分层抽样方法,比如,依据年龄分层,需要知道各年龄段人口的比例,按照比例数分配样本数,而在各个层内则采取随机抽样;或者依据职业分层,等等。
教师应该了解分层抽样,在本学段学生只需学习简单随机抽样方法。
2.统计图形表示
统计图是描述数据的重要手段,可以直观地表示数据。
在第二学段,学生学习的是条形统计图、折线统计图、扇形统计图(在第二学段要求会看,第三学段要求会画);在第三学段,学生学习的是频数直方图。
其中,条形统计图有利于直观了解不同“条”所代表的数量及其差异;扇形统计图有利于直观了解不同部分占整体的百分比及其差异;折线统计图有利于直观了解变化的情况,预测未来的趋势。
频数直方图和条形统计图都可以直观地表示出具体数量,它们的区别主要体现在以下三点。
一是条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少,其宽度(表示类别)则是固定的;直方图是用面积表示各组频数的多少,矩形的高度表示每一组的频数,宽度表示各组的组距,因此,其高度与宽度均有意义。
二是频数直方图表示的是连续分组数据,直方图中的各矩形通常是连续排列;而条形统计图表示的是离散数据,各矩形通常是分开排列。
三是条形图是直观地显示点的具体数据,直方图是表现频数的分布情况。
请看下面的一个例子。
【案例3】频数分布
对某一品种的树苗进行调查,随机抽取了100株,测量了树木的直径。
测量结果发现:
最小直径大于6.5cm,最大直径小于17.5cm。
于是从6.5cm出发,每隔1cm做一个区间,到17.5cm正好11个区间,分别用数字7,8,…,17表示,再记录直径在每一个区间的树木的株数,得到下列数据(第一个数表示树的直径所在的区间,第二个数表示区间中树木的株数):
(7,2)(8,5)(9,8)(10,10)(11,13)(12,26)(13,12)(14,9)(15,8)(16,4)(17,3).
将上面的数据制成频数直方图,就可以直观地看出在哪个区间的树木比较多,可以分析数据的取值规律,比如,可以图中的数据呈现“中间多、两边少、基本对称”的趋势。
我们还能比较清晰地判断出,有50%以上的树苗的直径是在10.5cm~12.5cm之间,这是很重要的信息,因为这个信息告诉了我们数据大体的取值范围。
对于统计图的学习,需要注意以下几点。
一是不要急于引入正规统计图的学习,课程标准要求鼓励学生用自己的方式来描述数据。
二是在描述数据的过程中,让学生不断体会各种统计图的特点,能根据实际问题选择合适的统计图来描述数据。
三是鼓励学生读懂媒体中的一些统计图表。
四是鼓励学生从统计图中获取尽可能多的有用信息。
这个问题也是大家普遍困惑的,到底引导学生从哪些方面来“读图”呢。
Curcio(1987)把学生对数据的“读取”分为三个水平。
①数据本身的读取(readingthedata),包括用能够得到的信息来回答具体的问题,这些问题图表中有明显的答案。
②数据之间的读取(readingbetweenthedata),包括插入和找到图表中数据的关系。
这包括做比较(例如,比较好、最好、最高、最小等)和对数据进行操作(如加、减、乘、除)。
③超越数据本身的读取(readingbeyondthedata),包括通过数据来进行推断、预测、推理,并回答具体的问题。
在实际教学中,教师已经开始重视鼓励学生尝试由信息来进行预测。
但是,在教学中还存在一些误区,比如,笔者曾经不止一次遇到过这样的案例。
教师鼓励学生根据某女生出生到12岁的身高,去预测这个学生15岁的身高。
有的学生(虽然是很少数)脱离了数据去进行“预测”:
“我觉得她应该能长到190厘米,因为我希望她去打篮球。
”就是基于数据,学生也有五花八门的答案。
有的说:
“8~10岁长了10厘米,10~12岁长了24厘米,照这个趋势12~14岁要长30多厘米,我估计她到15岁要长到2米了。
”有的说:
“8~10岁长了10厘米,10~12岁长了24厘米,12~14岁又回到长10厘米,我估计她到15岁快长到180厘米。
”还有的说:
“到12岁就不怎么长了,我估计她到15岁差不多170厘米。
”面对五花八门的答案,教师也觉得都有道理,不知如何引导。
这里需要注意两点。
一是预测需要基于数据。
对于脱离数据进行“预测”的学生,要引导他们用数据说话,虽然这个预测也有可能,但可能性不会很大。
二是有时候为了更合理地预测,需要收集更多的数据。
教师可以引导学生思考:
几个学生的想法都有道理,但是要比较合理地预测,还需要掌握更多的信息,比如,可以收集曾经和她差不多情况的人15岁的身高来帮助预测,或者把她与当地女生平均身高进行对比,看看12岁与平均身高的对比情况,由此预测15岁与平均身高的对比情况。
当然,无论哪种预测都不能肯定是正确的,但会比单纯依靠这个学生以前的情况进行预测要合理。
进一步,如果条件允许的话,还可以鼓励学生实际去做。
3.集中趋势和离散程度
课程标准要求的平均数、中位数、众数,都是刻画一组数据集中趋势的统计量。
有了这些量,不仅可以表述调查对象的集中趋势,还可以用来对不同的总体进行比较,如可以比较同一年级不同地区学生的平均身高。
对于平均数、中位数、众数的学习,不但要学习如何计算,而且要设计合适的情境,使学生“了解它们是数据集中趋势的描述”。
教师在教学时,可能产生困惑:
这三个量之间到底有什么区别,什么时候该用什么统计量?
其实,现在处理的数据,大部分是对称的数据,数据符合或者近似符合正态分布。
此时均值(平均数)、中位数和众数是一致的。
只有在数据分布偏态(不对称)的情况下,才会出现均值、中位数和众数的区别。
所以说,如果是正态的话,用哪个统计量都行。
如果偏态的情况特别严重的话,可以用中位数,这也就是常说的平均数容易受极端数据的影响。
这里不妨看一下课程标准中的例子。
【案例4】(课程标准例68)平均数、中位数和众数
某个公司有15名工作人员,他们的月工资情况如下表。
计算该公司的月工资的平均数、中位数和众数,并分别解释结果的实际意义。
表7-1
职务
经理
副经理
职员
人数
1
2
12
月工资/元
5000
2000
800
[说明]平均数、中位数和众数都是刻画数据集中趋势的方法,因为方法不同,得到的结论也可能不同。
很难说哪一种方法是对的,哪一种方法是错的,我们只能说,能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。
在这组数据中有差异较大的数据,这会导致平均数较大,因此,用中位数或众数要比用平均数更客观一些。
不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。
而月工资的平均数=加权平均(可以看成是加权平均)
=5000×
+2000×
+800×
=1240(元)
因此,加权平均往往就是总体平均,其中的权是数据对应的比例。
但是,平均数有许多优点,与中位数和众数相比,平均数能更多地利用所有数据的信息。
除此之外,在数学上还有一个原因:
假设有两个数据x,y,令a=
为平均数,利用中学的知识就可以证明:
a是与x,y这两个数据差的平方和达到最小的实数,即对任意的实数b有:
(x-a)2+(y-a)2≤(x-b)2+(y-b)2
“这说明在进行数据分析时经常使用平均数的理由:
使误差平方和达到最小,也就是说利用平均数代表数据,可以使二次损失最小。
而利用中位数代表数据,是使一次损失(误差绝对值的和)最小。
”由于二次函数有着很好的数学性质,所以我们选择用平均数来进行研究,说明义务教育阶段注重平均数的教学是有道理的。
因此,课程标准在第二学段只安排了平均数的学习,而将中位数、众数的学习放在了第三学段。
有时只依赖集中趋势是不足以表述数据特征的,如分析课程标准中案例68、案例69中的两组数据,这两个公司的月平均工资虽然都是1240元,但两个公司的工资的差异是不一样的,由此使学生“体会刻画数据离散程度的意义”。
最简单的表述离散程度的量是极差,但它没有考虑中间那些数据所提供的信息,在现代统计学中,经常使用方差来刻画数据的离散程度,有了方差以后,就可以进一步分析两个公司的工资情况。
4.随机事件及其发生的概率
(1)随机现象的特点及概率的古典定义。
概率是研究随机现象的科学。
如前所
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