七下平行线和相交线经典例题归纳补.docx
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七下平行线和相交线经典例题归纳补
第五章相交线与平行线
【知识要点】
1.两直线相交
2.邻补角:
有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。
3.对顶角定义:
有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角(或两条直线相交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角)。
(1)对顶角的性质:
对顶角相等。
4.垂直定义:
当两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是90°那
么这两条线互相垂直。
5.垂线性质:
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②垂线段最短。
6.平行线的定义:
在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,“平行”
用符号“//”表示,如直线a,b是平行线,可记作“aIIb”
7.平行公理及推论
(1)平行公理:
过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(2)推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
注:
(1)平行公理中的“有且只有”包含两层意思:
一是存在性;二是唯一性。
(2)平行具有传递性,即如果a//b,b//c,则a//c。
8.两条直线的位置关系:
在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行。
9.平行线的性质:
(1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内)
(2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内)
(3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内)
10.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内)
(3)同旁内角互补,两直线平行;(在同一平面内)
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;补充:
(5)平行的定义;(在同一平面内)
(6)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行。
考点一:
对相关概念的理解
对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平
行公理的区别等
例1:
判断下列说法的正误。
(1)对顶角相等;
(2)相等的角是对顶角;
(3)邻补角互补;
(4)互补的角是邻补角;
(5)同位角相等;
(6)内错角相等;
(7)同旁内角互补;
(8)直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;
(9)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(10)过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
(11)两直线不相交就平行;
(12)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
练习:
下列说法正确的是()
A、相等的角是对顶角B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直
线的距离
C、两条直线相交,有一对对顶角互补,则两条直线互相垂直。
D、过一点
有且只有一条直线与已知直线平行
考点二:
相关推理(识记)
(1)•••aIIc,bIIc(已知)•••II
()
(2)•/Z1=/2,/2=/3(已知)
(7)如图
(1),T/AOC=1/AOD,/AOC+/AOD=180°(已知)
(8)女口图
(2),•••a丄b(已知)•••/仁
()
•••a丄b
•AC=
(9)女口图
(2),
(10)如图(3),•••点C为线段AB
()
(1
1)
如
图
(3
)
••
AC=BC
••
占八、、
C为线段
AB的中点
(
)
(
12
)
如
图
(
4
),
••
a
II
b
(已知)
•/1=/2
(
)
(
13
)
如
图
(
4
),
••
a
II
b
(已知)
•/1=/3
(
)
(
14
)
如
图
(
4
),
••
a
II
b
(已知)
•/1+/4=
(
)
(
15
)
如
图
(
4
),
•••/
1=
/2
(已知)
•aIIb
(
)
(
16
)
如
图
(
4
),
•••/
1=
/3
(已知)
•aIIb
它们分别是,/AOD的邻补角是。
例题2:
如图5-2,直线11,12和13相交构成8个角,已知/仁/5,那么,/5是的对顶角,与/5相等的角有/1_,与/5
互补的角有。
例题3:
如图5-3,直线AB、CD相交于点O,射线OE为/BOD的平
AB所截得的同旁内角是
AB、
例题2:
如图2-45,AB、DC被BD所截得的内错角是
CD被AC所截是的内错角是
AD、BC被BD所截得的内错
AD、BC被AC所截得的内错角是
角是
E
D
2=25
例题3:
如图1-26所示.AEIIBD,/仁3/2,/
考点五:
平行线的判定、性质的综合应用(逻辑推理训练)例题1:
如图9,已知DFIIAC,/C=/D,要证/AMB=/
请完善证明过程,?
并在括号内填上相应依据:
•/DFIIAC(已知),•••/D=/1(
?
)
•••/C=/D(已知),•••/1=/C(
•DBIIEC(
例题2:
如图,直线AB、CD被直线EF所截,/AEF+/CFE=180°,
考点六:
特殊平行线相关结论
例题1:
已知,如图:
AB//CD,
B,D,BPD的关系.
AB
⑶
P
D
试探究下列各图形中
P
考点七:
探究、操作题
例题:
(阅读理解题)直线AC//BD,连结AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连结PA,PB,构成/PAC,/APB,/PBDE个角.(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角.)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
/APB=/PAC+/PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,/APBZPAC+/PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
(3)当动点P在第③部分时,全面探究/PAC,/APB,/P之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证
明.
③③③
®@®
练习:
1.(动手操作实验题)如图所示是小明自制对顶角的“小
仪器”示意图:
(1)将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定;
(2)另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合;
(3)
延长DC,/PCD与/ACF就是一组对顶角,已知/1=30°,/ACF为多少?
2.如图,把矩形;」“沿EF对折后使两部分重合,若150°则AEF=()
3.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,130。
,250°贝U3的
度数等于()
4.如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果/°,1=
那么/2的度数是()
5.如图,将直尺与三角尺叠放在一起,在图中标记的所有角中,与/2互
余的角是.
6.光线a照射到平面镜CD上,然后在平面镜AB和CD之间来回反射,
知/1=55°,Z3=75°,那么/2等于()
8.把一块直尺与一块三角板如图放置,若/仁45°,则/2的度数为(
A、115°B、120°C、145°D、135
9、如图,将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上,如果
第10题
第8题
第11题
10、如图,I//m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若/沪20。
,则/a的度数为()
A、25°
B、30
°C、20°
D、35°
11、如图,AB//
于()
EF//CD,/ABC=46
°,/CEF=154
°,贝y/BCE等
A、23°
B、16
°C、20°
D、26°
12、将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果/a=43°,则的度
数是()
A、43°B、47°C、30°D、60°
13、如图,已知L1//L2,MN分别和直线I1、I2交于点A、B,ME分别和直线11、I2交于点C、D,点P在MN上(P点与A、B、M三点不重合)•
(1)如果点P在A、B两点之间运动时,/a、/B、/Y之间有何数量关系请说明理由;
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时,/a、/B、/Y有何数量关系(只须写出结论).
17.如图(6),DE丄AB,EF//AC,/A=35求/DEF的度数。
一、填空题
1.
如图,直线AB、CD相交于点0,若/1=28°,则/2=
2.已知直线AB//CD,/ABE60°,/CDE20。
,贝廿/BED度.
3.
60
如图,已知AB//CD,EF分别交AB、CD于点E、F,/1二
则/2=—度.
4.如图,直线MA//NB,/A=70°,ZB=40°,则/P=_
5.设a、b、c为平面上三条不同直线,-I/:
(1)若a//b,b//c,则a与c的位置关系是___\;T\
(2)若ab,bc,则a与c的位置关系是____穴
(3)若a//b,bc,则a与c的位置关系是第6题
6.如图,填空:
⑴•••1
A
(已知)•••
(
⑵•••2
B
(已知)•••
(
⑶I1
D
(已知)•••
(
、解答题
7.
如图,AOC与BOC是邻补角,OD、OE分别是AOC与,BOC试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
的平分线,
8.
如图,已知直线AB与CD交于点O,OE垂足为O,若/DOE=3/COE,求/BOC
D
O
B
9.
如图,ABIIDE,那么/么关系?
B、/BCD、
1.
女口图,BCAC,CB8cm,AC
6cm,AB10cm,那么点A到BC的距离是
点B到AC的距离是
B
,点A、
丄AB,的度数.
点的距离是
,点C到AB的距离是.
2.设a、b、C为平面上三条不同直线,
a)若a//b,b//c,贝ya与c的位置关系是;
b)若ab,bc,则a与c的位置关系是;
c)若a//b,bc,则a与c的位置关系是.
3.如图,已知AB、CD、EF相交于点0,AB丄CD,OG平分/AOE,
/FOD=28°,求/COE、—AOE、//A0g的度数.
4.如图,AOC与BOC是邻补角,0D、0E分别是AOC与BOC的平分线,
C*
试判断0D与0E的位置关系,并说明理由.I宀
5.
)
⑴如图,已知/1=Z2求证:
aIIb.⑵直线a//b,求证:
6•阅读理解并在括号内填注理由:
如图,已知ABIICD,/1=Z2,
证明:
•••ABIICD,
•••/MEB=ZMFD(
•••/MEB-Z1=ZMFD-Z2,即ZMEP=Z
•••EPII.(
7.已知DBIIFGIIEC,A是FG上一点,ZABD=60°,ZACE=36
AP平分ZBAC,求:
⑴ZBAC的大小;⑵ZPAG的大小.
8.如图,已知ABC,ADBC于D,E为AB上一点,EFBC于F,DG//BA交
CA于G.求证12.
G
A
1.如图,/B=/C,ABIIEF
求证:
BGF=/C
EFD,
3.已知:
如图ABICD,EF交AB于G,交CD于F,FH平分/
交AB于H,
/AGE=500,求:
/BHF的度数
5.已知:
如图,AB//CD,试解决下列问题:
(1)Z1+Z2=__;
(2)Z1+Z2+Z3=_____;
(3)Z1+Z2+Z3+Z4=_____
n=
6.如图11,E、F分别在AB、CD上,1D,2与C互余且ECAF,
垂足为O,求证:
AB//CD.
试说明:
AECF.
9.如图14,AD是CAB的角平分线,DE//AB,DF//AC,EF交AD于点O.请问:
(1)DO是EDF的角平分线吗?
如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(2)若将结论与AD是CAB的角平分线、DE//AB、DF//AC中的任一条件交换,?
所得命题正确吗?
10.如图,AD是/EAC的平分线,ADIIBC,
30
你能算出/EAD、/DAC、/C的度数吗?
11.如图,/1=/2,
/3=105
O
13.已知,如图,BCE、AFE是直线,
AD与BE平行吗?
为什么?
。
解:
ADIIBE,理由如下:
•••ABIICD(已知)
•••/4=/(
•••/3=/4(已知)
•••/3=/(
•••/1=/2(已知)
•••/1+/CAF=/2+/CAF(
即/
•••/3=/(
•••ADIIBE(
14..如图/1+/2=180°,ZDAE=/BCFQA平分/BDF.
(1)AE与FC会平行吗?
说明理由.
(2)AD与BC的位置关系如何?
为什
(3)BC平分/DBE吗?
为什么.?
15.如图10,已知:
直线AB,
CD被直线EF,GH所截,且/1=/2,
求证:
/3+/4=180°.
证明:
•••/1=/2
又•••/2=/5(
•••/1=/5
AC
)
•ABIICD(
•••/3+/4=180°(
(图10))
17.已知:
如图,/
KOH的度数.
1+/2=180°,Z3=100°,OK平分/DOH,求/
19、
如图,
已知
/1
=/2,/B=
解:
•••
/1
=/2
(已知),
又
••
/
1
=/4
(
)
•••/
2=/
(等量代换)
••
II
BF(
•••/
=
/3
(
又•••
/B=
/C
(已知
)
•••/
=/B
(等量代换)
•ABIICD
)(
20、
如图,
AB
IIDF
DEIIBC,
/C,试说明ABIICD
)
)
21、已知:
如图,CDACBA,
DF
DE平分CDA,BF
C
平分CBA,且ADEAED。
试
7说明DE//FB
A
EB
解:
•••DEIIAC
D
•••/A+/AED=180(•/DFIIAB
•••/AED+/FDE=180(
•••/A=/FDE()
25、如图,AB丄CD,垂足为O,
求Z2,Z3,ZBOE的度数
丄
30、如图,ABIIDE,/1=ZACB,/CAB=2/BAD,试说明ADIIBC.
31、如图,ABIICD,/1=/2,Z3=/4。
试说明:
ADIIBE
将求/AGD的过程填
32、如图,EFIIAD,/1=/2,/BAC=70
写完整
•••EFIIAD,()
()
B
又•••/1=/2,(
)•••/1=/3o(
•ABIIo(
又•••/BAC=70°(
•••/AGD=o(
33、如图所示,已知/B=/C
K,H,且EG丄AB,/
36、如图所示,已知/B=/C,
ADIIBC,试说明:
E
“D平分/CAE
aZ
B
D
C
37、如图所示,已知直线
CHF=600,/E=?
30°
38.已知:
如图,AB丄CD,垂足为0,EF经过点0,1=25
求Z2,Z3的度数。
(7分)
F
E
39.如图:
AE平分/DAC,
吗?
为什么?
(6分)
41.填空完成推理过程:
(每空1分,共7分)
如图,E点为DF上的点,
B为AC上的点,
/C=ZD。
试说明:
ACIIDF
解:
•••/1=Z2(已知)
)
)
)
/1=Z3(
•••/2=Z3(等量代换)
•••II(
•/C=ZABD(
又•••/C=ZD(已知)
•••/D=/ABD()
ACIIDF(
43.(10分)如图,ABIICD,AE交CD于点C,DE丄AE,垂足为E,/
A=37o,求/D的度数.
BD是/ABC
的平分线,
EDIIBC,/FED=ZBDE,
证明:
•••
则EF也是/AED的平分线。
完成下列推理过程:
BD是/ABC的平分线(已
/ABD=/DBC
EDIIBC(已知
•••/BDE=/DBC(
又•••/FED=/BDE
II
•••/AEF=
•••/AEF=
•••EF是
46、
如图,
•••ABIIEF(
已知
)
=180
•/DEIIBC
已知)
/ADE=
52.(本题
10
分)如图,/
O.求/2、/3
的度数.
)
O,EF经过点
1=30
53.(本题24分,每空3分)如图16,点D、E、F分别在AB、BC、
A明
AC上,且DEIIAC,EFIIAB,下面写出了说
180
”的过程,
请填空:
E
图16
“/A+/B+/C=
因为
DE
IIAC,
所以/
1=Z
因为
AB
IIEF,
所以/
3=Z.(
因为
AB
IIEF,
所以/
因为
DE
IIAC,
所以/
所以/2=ZA
(等量代换).
因为/1+/2+/3=180°,所以/A+/B+/C=180
(等量代换).
54.(本题12分)已知,如图,CD丄AB,GF丄AB,/B=/ADE,试
说明/1=/2.
A
B
56、如图,直线AB、CD/1=50°,求/COB、
30°,CM平分/BCE
求/B的大小
59、如图,E点为DF上的点,B为AC上的点,/1=Z2,/C=ZD,那么DFIIAC,请完成它成立的理由
•••/1=Z2,/2=Z3,/1=Z4()
•••/D=/ABD()
•••DFIIAC()您好,欢迎您
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