数学 教案人教版 八升九11 一元二次方程.docx
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数学教案人教版八升九11一元二次方程
第十一讲一元二次方程
[教学内容]
《动态数学思维》暑期衔接版,八升九第十一讲“一元二次方程”.
[教学目标]
知识技能
1.理解一元二次方程及其相关概念并能够根据定义确定字母参数的取值;
2.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项;
3.理解一元二次方程的解的概念并能够根据方程的解求有关字母系数代数式的值.
数学思考
通过用一元二次方程表述数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识.能独立思考,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.
问题解决
在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.
情感态度
1.通过小组合作的活动,培养学生的合作意识和能力;
2.通过解决实际问题,让学生体会数学与生活的密切联系.
[教学重点、难点]
重点:
一元二次方程的概念及一般形式.
难点:
确定一元二次方程中字母系数的值.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
第一课时
教学路径
导入:
师:
前面十讲的内容,我们主要是对八年级下册的知识进行的巩固复习,从这节课开始,我们将进行九年级上册新知识的学习.首先,同学们回忆一下,我们都学习过了哪些方程?
生:
我们学习过了一元一次方程、二元一次方程(组),分式方程.
师:
恩,从今天开始那,你们所知道的方程家族又多了一员,我们将要学习一元二次方程.
师:
首先大家来看下下面的问题:
启动性问题
根据录音做动画
从前有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺,另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?
请根据这一问题列出方程.
小颖:
出示左边图
解:
设竹竿的长为x尺.
根据题意及勾股定理列方程得(x-2)2+(x-4)2=x2,
化简得x2-12x+20=0.
师指定学生建立数学模型,并说说其中的等量关系是什么.
生:
如果设竹竿的长为x尺,那么城门的宽就是(x-4)尺,高就是(x-2)尺,斜边对角线长为x尺.
根据勾股定理我们可以得到等量关系为:
城门宽的平方+城门高的平方=城门对角线长的平方.
师:
那现在你们能自己列出方程了吧,自己列出来并且整理一下吧.
生:
(x-2)2+(x-4)2=x2,整理得x2-12x+20=0.
师:
这与我们前面学习的一元一次方程有什么不同?
生:
x的最高次数是2了.
师:
是的,像这样的方程我们叫做一元二次方程.
师:
接下来,大家先回想下我们前面学习的一元一次方程的概念、一般形式以及一元一次方程的解的概念.
生自由回答.
师:
那么你觉得一元二次方程该如何来定义呢?
展望:
1.一元二次方程的概念
等号两边都是____整式____,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.(下一步)
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,都能化成如下的形式ax2+bx+c=0(a≠0),这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.(下一步)
3.一元二次方程的解的概念
使一元二次方程左右两边相等的____未知数的值____叫做一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根.
师:
学习完相关知识后,我们来正式学习本节课.
初步性问题
探究类型之一一元二次方程的概念
例1下列是一元二次方程的是()
A.x2+
=3B.3xy+3x=1
C.2x2+3x+4=0D.2x2+x=2x2+5
解析:
根据一元二次方程的定义判断:
A中等号左边不是整式,划横线下一步
B中含有两个未知数,划横线下一步
D中移项后整理得x-5=0,是一元一次方程.下一步
C中2x2+3x+4=0满足一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
答案:
C
学生独立完成,教师指定学生讲解,并分别说一说其他选项错误的原因.
师小结:
在判断一个方程是不是一元二次方程时,首先我们要将方程化为一般形式,然后再判断.必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)整式方程;
(4)含有一个未知数.
例2已知关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0,分两题出
问:
(1)m取何值时,它是一元二次方程?
并猜测方程的解;
(2)m取何值时,它是一元一次方程?
解析:
框住变色
(1)根据一元二次方程的定义可知
(2)无论m为何值,m2+1≥1,
①当m2+1>1时,m+1=0且m-2≠0;
②当m2+1=1时,求出m的值代入检验一次项系数(m+1)+(m-2)是否不为0.
答案:
(1)解:
根据题意得
解得m=1.
当m=1时,原方程可化为2x2-x-1=0.
将方程左边因式分解得(2x+1)(x-1)=0,
所以2x+1=0或x-1=0,所以方程的解为x=
或1.
(2)无论m为何值,m2+1≥1.
①当m2+1>1时,根据题意可得
解得m=-1.
②当m2+1=1时,m=0,此时方程为x-2x-1=0,即-x-1=0,是一元一次方程.
故当m=-1或0时,原方程为一元一次方程.
1.教师指定学生说一说解题思路.
师:
方程是一元二次方程应满足什么条件?
生:
方程如果是一元二次方程,那么未知数的最高次是2,也就是说m2+1=2,同时保证m+1≠0就可以了.
师:
那么如果方程是一元一次方程呢?
生:
那让m+1=0,同时m-2≠0就可以了.
师:
你同意他的说法吗?
生:
不同意,还有一种可能,如果m2+1=1也可以.这样x的最高次数还是1,可以合并,只要验证x的系数此时是不是0就可以了.
师:
这位同学补充的好不好,我们在考虑问题的时候一定要考虑全面.
2.学生独立完成此题,集体核对答案.
3.教师拓展:
如果把式子中的“m2+1”改为“m2-1”,那么第
(2)问又会是什么情况呢?
此题教师根据实际教学情况拓展补充,意在提醒学生x0=1也可以,培养学士全面思考的思维意识.
师小结:
(1)识别一元二次方程的“项”、“系数”,要将方程化为一般形式;
(2)若已指出方程ax2+bx+c=0是一元二次方程,则隐含了a≠0这个条件.
探究类型之二一元二次方程的一般形式
例3滨州市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
学习以下解答过程,并完成填空.
解:
设应邀请x支球队参赛,则每队共打_________场比赛,
比赛总场数用代数式表示为_________.
根据题意,可列出方程_____________,
整理,得___________________________,
化为一般式,得_________________________________,
二次项系数、一次项系数、常数项分别为______,______,________.
解析:
解:
设应邀请x支球队参赛,赛制为单循环形式,
首先考虑一支队伍打(x-1)场比赛,x支球队共打x(x-1)场比赛,
根据每两队之间都赛一场,去掉重复计算的场次,所以最后要除以2.
答案:
(x-1);
;
=28;x(x-1)=56;x2-x-56=0;1;-1;-56.
(答案一步一步填在空线上)
学生独立解答,集体核对答案.
师:
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.在将一元二次方程化为一般形式是,一般要将各项系数化为整数.
师:
接下来,自己完成课后的类似性问题1、2吧.
类似性问题
1.下列方程是一元二次方程的是()
A.x2+
=3B.3x2-x+5=0
C.2xy-5=0D.x2+xy+y2=0
解析:
考查一元二次方程的定义.
学生独立完成此题,集体核对答案.
2.方程5x2=6x-8化成一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是()
A.5,6,-8B.5,-6,-8
C.5,-6,8D.6,5,-8
解析:
考查一元二次方程的一般形式.
方程5x2=6x-8化成一般形式为5x2-6x+8=0.
学生独立完成,教师指定学生讲解.
第二课时
教学路径
师:
同学们上节课我们主要学习了一元二次方程的概念及一般形式,接下来我们继续学习一元二次方程的解及实际应用问题如何列一元二次方程.
初步性问题
探究类型之三一元二次方程的解
例4若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是()
A.2018B.2008C.2014D.2012
解析:
第一个框框住变色
根据方程解的定义,把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b+5=0,即a+b=-5;
(下一步)第二个框框住变色
整体代入代数式,2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.
答案:
A
学生独立解答,教师指定学生讲解.
探究类型之四列一元二次方程
例5如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,求x满足的方程.
解析:
图中四条金边涂色标出长为__(80+2x)__cm,宽为__(50+2x)__cm;镶金色纸边后挂图的长为__(80+2x)__cm,宽为__(50+2x)__cm;
(下一步)框住变色
等量关系:
挂图的长×挂图的宽=5400cm2.
答案:
解:
挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,
所以(80+2x)(50+2x)=5400,即4x2+160x+4000+100x=5400,
所以4x2+260x-1400=0,即x2+65x-350=0.
1.指定学生读题,并说一说解题思路.
生:
风景画原来的长为80cm,镶金色纸边后变为(80+2x)cm,宽原来为50cm,镶金色纸边后变为(50+2x)cm.然后根据面积为5400cm2列方程就行了.
2.生独立列出方程并化为一般形式,完成之后集体核对答案.
3.教师小结:
根据实际问题列一次二次方程时,一般题目都会给出未知数,因此我们主要找到题中的数量关系及等量关系即可.
师:
自己先尝试下把课后的类似性问题3-6解决下吧.
类似性问题
3.某种药品原价为36元/盒,经过连续两次降价后售价为25元/盒.设平均每次降价的百分率为x,根据题意所列方程正确的是()
A.36(1-x)2=36-25B.36(1-2x)=25
C.36(1-x)2=25D.36(1-x2)=25
学生独立完成此题,集体核对答案.
4.已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3,则实数k的值为()
A.1B.-1C.2D.-2
解析:
把x=3代入x2-kx-6=0得9-3k-6=0,解得k=1.
学生独立完成此题,指定学生讲解.
5.一元二次方程x2-4=0的根是()
A.±
B.±2C.2D.-2
解析:
x2=4,两边开平方得x=±2.
学生独立完成,教师指定学生讲解理由.
6.在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则原方程的两个根为___________;若a-b+c=0,则原方程的两个根为______________.
试用上述结论解下列方程:
(1)2x2-3x-5=0;
(2)2x2-3x+1=0.
解析:
若a+b+c=0,则x=1是方程的一个解;(下一步)
(下一步)
同理可知:
若a-b+c=0,则x=-1是方程的一个解.
此题让学生先自己探究,学生可以自己得到x=1和x=-1分别是两种情形下方程的一个解,对于方程的第二个解,教师可通过对等号左边的整式因式分解得到另一个解.
拓展延伸
例1.已知
是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是.
解析:
,解得m≥-2且m≠3.
例2.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2013年这两年的平均增长率为x,则方程是.
解析:
解:
设2014年与2013年这两年的平均增长率为x,
由题意得1.4(1+x)2=4.5.
例3.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停。
已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为
,则
满足的方程是()
A.
B.
C.
D.
解析:
将该股票原价假设为1,那么跌停后的价格就是0.9.
连续两天按照
的增长率增长后,股价为
,
根据题意,得方程
.
答案:
B.
总结
1.识别一元二次方程的“项”、“系数”时,需要将方程化为一般形式,一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0),a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
注:
(1)在将一元二次方程化为一般形式时,一般要将各项系数化为整数.
(2)若已指出方程ax2+bx+c=0是一元二次方程,则隐含了a≠0这个条件.
2.判断一个方程是不是一元二次方程,首先化为一般形式,然后必须满足四个条件:
(1)未知数的最高次数是2;
(2)二次项系数不为0;
(3)整式方程;
(4)含有一个未知数.
答案:
【类似性问题】
1.B
2.C
3.C
4.A
5.B
6.x1=1,x2=
;x1=-1,x2=-
解:
(1)因为原方程满足a-b+c=0,所以x1=-1,x2=
;
(2)因为原方程满足a+b+c=0,所以x1=1,x2=
.
手册答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.
6.1
7.解:
(1)∵关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程,
∴m2-1=0,且m+1≠0,解得m=1;
(2)∵关于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程,∴m2-1≠0,解得m≠±1.
8.解:
∵m为方程x2-2013x+1=0的根,∴m2-2013m+1=0,即m2-2013m=-1,m2+1=2013m,
∴m2-2012m+
=m2-2013m+m+
=-1+m+
.
又由m2-2013m+1=0,两边同除以m得m+
=2013.
∴原式=-1+2013=2012.
9.解:
(1)①②④⑤
(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a,常数项为-4a.
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