中考数学压轴题解题技巧超详细最新整理.docx
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中考数学压轴题解题技巧超详细最新整理
2012年中考数学压轴题解题技巧解说
数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广,综合性最强的题型。
综合近年来各地中考的实际情况,压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。
压轴题考查知识点多,条件也相当隐蔽,这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识和创新能力,当然,还必须具有强大的心理素质。
下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。
如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx
过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t
值.
解:
(1)点A的坐标为(4,8)1分
将A(4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b
得
0=64a+8b
1
解得a=-
2
b=4
1
∴抛物线的解析式为:
y=-
2
x2+4x3分
PE
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=
AP
BCPE4
=,即=
ABAP8
1
∴PE=
2
1
AP=
2
t.PB=8-t.
1
∴点E的坐标为(4+
2
t,8-t).
1
∴点G的纵坐标为:
-
2
1
1
(4+
2
1
1
t)2+4(4+
2
1
t)=-
8
t2+8.5分
∴EG=-
8
1
t2+8-(8-t)=-
8
t2+t.
∵-<0,∴当t=4时,线段EG最长为2.7分
8
②共有三个时刻8分
16
t1=
3
40
,t2=
13
,t3=
.11分
压轴题的做题技巧如下:
1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识,根据自己的情况考试的时候重心定位准确,防止“捡芝麻丢西瓜”。
所以,在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制,如果超过你设置的上限,必须要停止,回头认真检查前面的题,尽量要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍。
2、解数学压轴题做一问是一问。
第一问对绝大多数同学来说,不是问题;如果第一小问不会解,切
忌不可轻易放弃第二小问。
过程会多少写多少,因为数学解答题是按步骤给分的,写上去的东西必须要规
范,字迹要工整,布局要合理;过程会写多少写多少,但是不要说废话,计算中尽量回避非必求成分;尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用三角函数,少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤:
认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。
认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃。
注意
1、动点题肯定是图形题,图形题是中考试重点,分值在100分以上(满分150.包括统计和概率)
2、大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合,在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面积、边边关系、面积和边的关系等。
特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化,如由三角形变成四边形,由四边形变成五边形,这时一定要注意分类讨论
3、知识的储备:
熟练掌握所有相关图形的性质。
a、三角形(等腰、直角三角形)b、平行四边形(矩形、菱形、正方形)c、圆d、函数(一次函数,正比例函数,反比例函数,二次函数)
4、坐标系中的四大金刚:
①两个一次函数平行,K值相等;②两个一次函数互相垂直,K值互为负倒数。
③任意两点的中点坐标公式;④任意两点间距离公式。
函数图形与x,y坐标轴的交点连线的夹角也常常用到,所以要小心;有些特殊点会形成特殊角,这一点也要特别注意。
5、做题思路,有三种。
1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。
2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。
3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析(即去掉无用的图形线段)。
压轴题解题技巧题型分类解说
一、对称翻折平移旋转
1.(南宁)如图12,把抛物线y=-x2(虚线部分)向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,
得到抛物线l1,抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点,D、
C分别是抛物线l1、l2的顶点,线段CD交y轴于点E.
(1)分别写出抛物线l1与l2的解析式;
(2)设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点,Q点是P点关于y轴的对称点,试判断以P、
Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形?
说明你的理由.
(3)
1
在抛物线l上是否存在点M,使得S∆ABM
如果不存在,请说明理由.
=S∆四边形AOED,如果存在,求出M点的坐标,
12
2.(福建宁德)如图,已知抛物线C1:
y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B
的左边),点B的横坐标是1.
(1)求P点坐标及a的值;(4分)
(2)如图
(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3
的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;(4分)
(3)如图
(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.(5分)
二、动态:
动点、动线
3.(辽宁锦州)如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1>x2,与y轴交于点C(0,4),其中x1、x2是方程x2-2x-8=0的两个根.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上的动点,过点P作PE∥AC,交BC于点E,连接CP,当△CPE的面积最大时,求点P的坐标;
(3)探究:
若点Q是抛物线对称轴上的点,
是否存在这样的点Q,使△QBC成为等腰三
角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的x
点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(山东青岛)已知:
如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP
′C为菱形?
若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.
B
BDC
AC
AC
图B
P'
5.(吉林省)如图所示,菱形ABCD的边长为6厘米,∠B=60°.从初始时刻开始,点P、Q同时从A点出发,点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动,点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动,当点Q运动到D点时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q运动的时间为x秒时,△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米(这里规定:
点和线段是面积为0的三角形),解答下列问题:
(1)点P、Q从出发到相遇所用时间是秒;
(2)点P、Q从开始运动到停止的过程中,当△APQ是等边三角形时x的值是秒;
(3)求y与x之间的函数关系式.
6.(浙江嘉兴)如图,已知A、B是线段MN上的两点,MN=4,MA=1,MB>1.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=x.
(1)
求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:
△ABC的最大面积?
MABN
(第24题)
三、圆
7.(青海)如图10,已知点A(3,0),以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作⊙A的切线l.
(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;
(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作⊙A的切线DE,E为切点,求此切线长;
(3)
点F是切线DE上的一个动点,当△BFD与EAD△相似时,求出BF的长.
yy
AB
EOx
ACBx
CCG
DD
图1图2
8.(天水)如图1,在平面直角坐标系xOy,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,
1
与x轴交于点A、B,点A在原点的左侧,点B的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.
3
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆的半径长度;
(3)如图2,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上的一动点,当点P运动到什么位置时,△AGP的面积最大?
求此时点P的坐标和△AGP的最大面积.
9.(湖南张家界)在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(1,0),且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C,过点C作圆的切线交x轴于点D.
(1)求点C的坐标和过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点,问:
是否存在以线段EF为直径的圆,恰好与x轴相切?
若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由.
10.(潍坊市)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别
交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且
MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.
(3)
过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.
四、比例比值取值范围
11.(怀化)图9是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,-4).
(1)求出图象与x轴的交点A,B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S∆PAB=4S∆MAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:
当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时,b的取值范围.
12.
(湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,OA=8
cm,
OC=8cm,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;
(2)求证:
四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;
(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线y=1x2+bx+c经过B、P两点,过线段BP上一动点M
4
作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.
第26题图
13.(成都)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左
侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(-3,0),若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3
个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1)求直线AC及抛物线的函数表达式;
(2)如果P是线段
AC上一点,设
∆ABP、
∆BPC的面积分别为
S∆ABP、
S∆BPC,且
S∆ABP:
S∆BPC=2:
3,求点P的坐标;
(3)设Q的半径为l,圆心Q在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情
况?
若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.并探究:
若设⊙Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动,则当r取何值时,⊙Q与两坐轴同时相切?
y=mx-2mx-3m(m>0)
五、探究型
2
14.(内江)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于
C点.
(1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A、B两点的坐标;
(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?
若存在,请求出;如果不存在,请说明
理由.y
D
BoAx
E
C
26题图
15.(重庆潼南)如图,已知抛物线y=1x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标
2
为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D
的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
16.(福建龙岩)如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴
上,点C在y轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:
若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
17(.广西钦州)如图,已知抛物线y=3x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点,A点的坐标为(-1,0),
4
过点C的直线y=3x-3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,
4t
且0<t<1.
(1)填空:
点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;
(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);
(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似?
若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.
18.(重庆市)已知:
如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点
G.如果DF与
(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为6,那么EF=2GO是否成立?
若成立,请给
5
予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于
(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G
构成的△PCG是等腰三角形?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
19(.湖南长沙)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B两点,与y轴相交于点C(0,3
).当x=-4和x=2时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y相等,连结AC、BC.
(1)求实数a,b,c的值;
(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(江苏徐州)如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,∠ABC=∠DEF=90°,∠EDF=30°
【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上,再将三角板DEF绕点E旋转,并使边DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点Q
【探究一】在旋转过程中,
CE
(1)如图2,当
(2)如图3,当
=
EA
CE=EA
1时,EP与EQ满足怎样的数量关系?
并给出证明.
2时EP与EQ满足怎样的数量关系?
,并说明理由.
CE
(3)根据你对
(1)、
(2)的探究结果,试写出当
=m时,EP与EQ满足的数量关系式
EA
为,其中m的取值范围是(直接写出结论,不必证明)
【探究二】若,AC=30cm,连续PQ,设△EPQ的面积为S(cm2),在旋转过程中:
(1)S是否存在最大值或最小值?
若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由.
(2)随着S取不同的值,对应△EPQ的个数有哪些变化?
不出相应S值的取值范围.
AA
A(D)
FE
P
BQCC
BC(E)
DF
六、最值类
22.(恩施)如图11,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y
轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
/
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存
/
在点P,使四边形POPC为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在
请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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