函数的单调性与最值Word文档格式.docx
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2.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是( )
A.(3,+∞)B.(1,+∞)
C.(-∞,1)D.(-∞,-1)
解析 由已知易得
即x>
3,又0<
0.5<
1,
∴f(x)在(3,+∞)上单调递减。
故选A。
答案 A
3.(优质试题·
保定模拟)已知函数f(x)=
则“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 当c=-1时,函数y=log2x和y=x+c均是单调递增,且1+c=log21,所以函数f(x)在R上递增;
当函数f(x)在R上递增时,c不一定等于-1。
故“c=-1”是“函数f(x)在R上递增”的充分不必要条件。
4.已知函数y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1]B.[1,2]
C.[1,+∞)D.[2,+∞)
解析 要使y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则a>
0且a-1≥0,∴a≥1。
故选C。
答案 C
5.(优质试题·
杭州模拟)已知减函数f(x)的定义域是实数集R,m,n都是实数。
如果不等式f(m)-f(n)>
f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是( )
A.m-n<
0B.m-n>
C.m+n<
0D.m+n>
解析 设F(x)=f(x)-f(-x),由于f(x)是R上的减函数,
∴f(-x)是R上的增函数,-f(-x)是R上的减函数。
∴当m<
n时,有F(m)>
F(n),即f(m)-f(-m)>
f(n)-f(-n)成立。
因此,当f(m)-f(n)>
f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<
0一定成立,故选A。
6.(优质试题·
合肥模拟)设函数f(x)=
g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是( )
A.(-∞,0]B.[0,1)
C.[1,+∞)D.[-1,0]
解析 由题知,g(x)=
可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1),故选B。
答案 B
二、填空题
7.已知函数f(x)为R上的减函数,若f
<
f
(1),则实数x的取值范围是________。
解析 由题意知f(x)为R上的减函数且f
f
(1),则
>
1,即|x|<
1,且x≠0。
故-1<
x<
1且x≠0。
答案 (-1,0)∪(0,1)
8.若函数y=-|x|在[a,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________。
解析 y=-|x|在[0,+∞)上单调递减,∴a≥0。
答案 [0,+∞)
9.(优质试题·
厦门质检)函数f(x)=
x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________。
解析 由于y=
x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3。
答案 3
三、解答题
10.已知f(x)=
(x≠a)。
(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>
0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围。
解析
(1)证明:
任设x1<
x2<
-2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
。
∵(x1+2)(x2+2)>
0,x1-x2<
0,
∴f(x1)<
f(x2),
∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增。
(2)任设1<
x1<
x2,则
f(x1)-f(x2)=
∵a>
0,x2-x1>
0,∴要使f(x1)-f(x2)>
只需(x1-a)(x2-a)>
0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≤1。
综上所述,a的取值范围是(0,1]。
答案
(1)见解析
(2)(0,1]
11.求下列函数的单调区间。
(1)f(x)=|x2-4x+3|;
(2)f(x)=log
(-x2+4x+5)。
解析
(1)先作出函数y=x2-4x+3的图象,由于绝对值的作用,把x轴下方的部分翻折到上方,可得函数y=|x2-4x+3|的图象。
如图所示。
由图可知,f(x)在(-∞,1],[2,3]上为减函数,在[1,2],[3,+∞)上为增函数,故f(x)的增区间为[1,2],[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3]。
(2)令u=-x2+4x+5,则f(x)=log
u。
∵u>
0,∴-1<
5且x∈(-1,2]时,u为增函数;
x∈(2,5)时,u为减函数。
又y=log
u在(0,+∞)上为减函数,据复合函数同增异减,可知f(x)的单调递增区间为(2,5);
单调递减区间为(-1,2]。
答案
(1)单调递增区间为[1,2],[3,+∞),单调递减区间为(-∞,1],[2,3]
(2)单调递增区间为(2,5);
单调递减区间为(-1,2]
12.设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,并且满足下面三个条件:
①对任意正数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y);
②当x>
1时,f(x)<
0;
③f(3)=-1。
(1)求f
(1),f
的值;
(2)如果不等式f(x)+f(2-x)<
2成立,求x的取值范围。
解析
(1)令x=y=1易得f
(1)=0。
而f(9)=f(3)+f(3)=-1-1=-2,
且f(9)+f
=f
(1)=0,故f
=2。
(2)设0<
1,f
由f(xy)=f(x)+f(y)得
f(x2)=f
=f(x1)+f
f(x1),
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