初中数学组卷八年级上册第一章节2.docx
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初中数学组卷八年级上册第一章节2
初中数学组卷八年级上册第一章节2
一.选择题(共10小题)
1.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边长为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
2.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p,且|m﹣n|+(n﹣p)2=0,则这个三角形为( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
3.画△ABC中AB边上的高,下列画法中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点,且AE,BF,CD交于点O,它们将△ABC分成6个面积相等的三角形,则AE,BF,CD一定是△ABC的( )
A.高B.中线
C.角平分线D.三边的垂直平分线
5.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是( )
A.两点之间,线段最短B.直角三角形的两个锐角互余
C.三角形三个内角和等于180°D.三角形具有稳定性
6.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为( )
A.2a+2b﹣2cB.2a+2bC.2cD.0
7.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=( )
A.145°B.150°C.155°D.160°
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( )
A.180°B.210°C.360°D.270°
9.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是( )
A.12B.13C.14D.15
10.一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )
A.120°B.130°C.135°D.150°
二.填空题(共6小题)
11.如图,已知△ABC的周长为27cm,AC=9cm,BC边上中线AD=6cm,△ABD周长为19cm,AB= .
12.若三角形的三边长分别为2,a,9,且a为整数,则a的值为 .
13.如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2016BC和∠A20l6CD的平分线交于点A2017,则∠A2017= °.
14.若三角形三个内角的度数之比为2:
3:
5,则这个三角形一定是 三角形.
15.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,∠A=20°,则∠B= .
16.正八边形的每个外角的度数为 .
三.解答题(共9小题)
17.如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=45°,∠ADC=75°,求∠BAC、∠C的度数.
18.在△ABC中,AB=9,AC=2,并且BC的长为偶数,求△ABC的周长.
19.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
20.四边形ABCD是任意四边形,AC与BD交点O.求证:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
证明:
在△OAB中有OA+OB>AB
在△OAD中有 ,
在△ODC中有 ,
在△ 中有 ,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA
即:
,
即:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA)
21.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
22.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,EF⊥AB,垂足为F,点G为AC上一点,连接DG.
(1)求证:
CD∥EF;
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数.
23.已知:
a、b、c为三角形的三边长
化简:
|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|
24.请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.
(1)探究1:
如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70°,则∠BPC= 度;
(2)探究2:
如图2,P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,求∠BPC与∠A的数量关系?
并说明理由.
(3)拓展:
如图3,P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点,设∠A+∠D=α.
①直接写出∠BPC与α的数量关系;
②根据α的值的情况,判断△BPC的形状(按角分类).
25.问题1:
如图,我们将图
(1)所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为 .
问题2:
如图
(2),已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B=28°,∠D=48°,求∠P的大小;
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题:
由问题1结论得:
∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC,
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC,
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC;
由“ ”得:
∠AOC=∠BAO+∠B,∠AOC=∠DCO+∠D.
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D.
所以2∠APC= .
请帮助小明完善上述说理过程,并尝试解决下列问题(问题1、问题2中得到的结论可以直接使用,不需说明理由);
解决问题1:
如图(3)已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,并说明理由;
解决问题2:
如图(4),已知直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的关系为 .
初中数学组卷八年级上册第一章节2
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边长为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
【解答】解:
设大小处于中间的边长是xcm,则最大的边是(x+1)cm,最小的边长是(x﹣1)cm.
则(x+1)+x+(x﹣1)=12,
解得:
x=4,
则最短的边长是:
4﹣1=3cm.
故选B.
2.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p,且|m﹣n|+(n﹣p)2=0,则这个三角形为( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
【解答】解:
∵|m﹣n|+(n﹣p)2=0,
∴m﹣n=0,n﹣p=0,
∴m=n,n=p,
∴m=n=p,
∴三角形ABC为等边三角形.
故选B.
3.画△ABC中AB边上的高,下列画法中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
过点C作AB边的垂线,正确的是C.
故选:
C.
4.如图,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点,且AE,BF,CD交于点O,它们将△ABC分成6个面积相等的三角形,则AE,BF,CD一定是△ABC的( )
A.高B.中线
C.角平分线D.三边的垂直平分线
【解答】解:
∵S△OAD=S△OBD,
∴AD=BD,
∴CD是△ABC的中线,
同理,BF、AE也是△ABC的中线,
故选:
B.
5.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这样做的根据是( )
A.两点之间,线段最短B.直角三角形的两个锐角互余
C.三角形三个内角和等于180°D.三角形具有稳定性
【解答】解:
用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形的根据是三角形具有稳定性.
故选:
D.
6.已知a,b,c是△ABC的三条边长,化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为( )
A.2a+2b﹣2cB.2a+2bC.2cD.0
【解答】解:
∵a、b、c为△ABC的三条边长,
∴a+b﹣c>0,c﹣a﹣b<0,
∴原式=a+b﹣c+(c﹣a﹣b)
=a+b﹣c+c﹣a﹣b=0.
故选D.
7.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=( )
A.145°B.150°C.155°D.160°
【解答】解:
在△ABC中,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,
∴6x=180°,
∴x=30°,
∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°,
故选B.
8.小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=45°,∠D=30°,则∠α+∠β等于( )
A.180°B.210°C.360°D.270°
【解答】解:
∠α=∠1+∠D,
∠β=∠4+∠F,
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F
=∠2+∠D+∠3+∠F
=∠2+∠3+30°+90°
=210°,
故选:
B.
9.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°,则该多边形的对角线的条数是( )
A.12B.13C.14D.15
【解答】解:
根据题意,得
(n﹣2)•180=360°×2+180°,
解得:
n=7.
则这个多边形的边数是7,
七边形的对角线条数为
=14,
故选C.
10.一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )
A.120°B.130°C.135°D.150°
【解答】解:
设这个内角度数为x°,边数为n,
则(n﹣2)×180﹣x=2570,
180•n=2930+x,
∴n=
,
∵n为正整数,0°<x<180°,
∴n=17,
∴这个内角度数为180°×(17﹣2)﹣2570°=130°.
故选B.
二.填空题(共6小题)
11.如图,已知△ABC的周长为27cm,AC=9cm,BC边上中线AD=6cm,△ABD周长为19cm,AB= 8cm .
【解答】解:
设AB=xcm,BD=ycm,
∵AD是BC边的中线,
∴BC=2BD=2ycm.
由题意得
,
解得
,
所以AB=8cm.
故答案为8cm.
12.若三角形的三边长分别为2,a,9,且a为整数,则a的值为 8或9或10 .
【解答】解:
a的范围是:
9﹣2<a<9+2,
即7<a<11,
则a=8或9或10.
故答案为:
8或9或10.
13.如图,在△ABC中,∠A=m°,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;…∠A2016BC和∠A20l6CD的平分线交于点A2017,则∠A2017=
°.
【解答】解:
∵A1B平分∠ABC,A1C平分∠ACD,
∴∠A1BC=
∠ABC,∠A1CA=
∠ACD,
∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC,
即
∠ACD=∠A1+
∠ABC,
∴∠A1=
(∠ACD﹣∠ABC),
∵∠A+∠ABC=∠ACD,
∴∠A=∠ACD﹣∠ABC,
∴∠A1=
∠A,
∠A2=
∠A1=
∠A,…,
以此类推可知∠A2017=
∠A=(
)°,
故答案为:
.
14.若三角形三个内角的度数之比为2:
3:
5,则这个三角形一定是 直角 三角形.
【解答】解:
设三角分别为2x,3x,5x,
依题意得2x+3x+5x=180°,
解得x=18°.
故三角36°,54°,90°.
故填直角.
15.在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,∠A=20°,则∠B= 70° .
【解答】解:
∵∠C=Rt∠=90°,∠A=20°,
又∵∠A+∠B+C=180°,
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C
=180°﹣20°﹣90°=70°.
故答案为:
70°.
16.正八边形的每个外角的度数为 45° .
【解答】解:
360°÷8=45°.
故答案为:
45°.
三.解答题(共9小题)
17.如图,AD是△ABC的角平分线,∠B=45°,∠ADC=75°,求∠BAC、∠C的度数.
【解答】解:
∵∠B=45°,∠ADC=75°,
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=75°﹣45°=30°,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°,
在△ABC中,∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°.
18.在△ABC中,AB=9,AC=2,并且BC的长为偶数,求△ABC的周长.
【解答】解:
根据三角形的三边关系得:
9﹣2<BC<9+2,
即7<BC<11,
∵BC为偶数,
∴BC=8或10,
∴△ABC的周长为:
9+2+8=19或9+2+10=21.
19.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.
【解答】解:
设∠1=∠2=x,则∠3=∠4=2x.
因为∠BAC=63°,
所以∠2+∠4=117°,即x+2x=117°,
所以x=39°;
所以∠3=∠4=78°,
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°.
20.四边形ABCD是任意四边形,AC与BD交点O.求证:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
证明:
在△OAB中有OA+OB>AB
在△OAD中有 OA+OD>AD ,
在△ODC中有 OD+OC>CD ,
在△ OBC 中有 OB+OC>BC ,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA
即:
2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA ,
即:
AC+BD>
(AB+BC+CD+DA)
【解答】证明:
∵在△OAB中OA+OB>AB
在△OAD中有OA+OD>AD,
在△ODC中有OD+OC>CD,
在△OBC中有OB+OC>BC,
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA
即2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA,
即AC+BD>
(AB+BC+CD+DA).
故答案为:
OA+OD>AD;OD﹣OC>CD;OBC;OB+OC>BC;2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA.
21.如图所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)求证:
CD⊥AB;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
【解答】
(1)证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠BCD=90°,
∵∠1=∠B,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB;
(2)解:
∵S△ABC=
AB•CD=
AC•BC,
∴CD=
=
=4.8.
22.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,EF⊥AB,垂足为F,点G为AC上一点,连接DG.
(1)求证:
CD∥EF;
(2)如果∠1=∠2,且∠3=115°,求∠ACB的度数.
【解答】
(1)证明:
∵CD⊥AB,EF⊥AB,
∴CD∥EF;
(2)解:
∵CD∥EF,
∴∠2=∠DCB,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCB,
∴DG∥BC,
∴∠ACB=∠3=115°.
23.已知:
a、b、c为三角形的三边长
化简:
|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|
【解答】解:
∵a、b、c为三角形三边的长,
∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,
∴原式=|(b+c)﹣a|+|b﹣(c+a)|﹣|c﹣(a+b)|﹣|(a+c)﹣b|
=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c
=2c﹣2a.
24.请你参与下面探究过程,完成所提出的问题.
(1)探究1:
如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70°,则∠BPC= 125 度;
(2)探究2:
如图2,P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,求∠BPC与∠A的数量关系?
并说明理由.
(3)拓展:
如图3,P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点,设∠A+∠D=α.
①直接写出∠BPC与α的数量关系;
②根据α的值的情况,判断△BPC的形状(按角分类).
【解答】解:
(1)∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,
∵BP、CP是角平分线,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠BCP,
∴∠PBC+∠BCP=55°,
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,
∴∠BPC=125°,
故答案为:
125;
(2)∵BP,CP分别是外角∠DBC,∠ECB的平分线,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠DBC+∠ECB)=
(180°﹣∠A),
在△PBC中,∠P=180°﹣
(180°﹣∠A)=90°﹣
∠A.
(3)如图3,
①延长BA、CD于Q,
则∠P=90°﹣
∠Q,
∴∠Q=180°﹣2∠P,
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°﹣2∠P
=360°﹣2∠P,
∴∠P=180°﹣
;
②当0<α<180时,△BPC是钝角三角形,
当α=180时,△BPC是直角三角形,
当α>180时,△BPC是鋭角三角形.
25.问题1:
如图,我们将图
(1)所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为 ∠AOC=∠A+∠C+∠P .
问题2:
如图
(2),已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B=28°,∠D=48°,求∠P的大小;
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题:
由问题1结论得:
∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC,
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC,
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC;
由“ 外角的性质 ”得:
∠AOC=∠BAO+∠B,∠AOC=∠DCO+∠D.
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D.
所以2∠APC= ∠B+∠C .
请帮助小明完善上述说理过程,并尝试解决下列问题(问题1、问题2中得到的结论可以直接使用,不需说明理由);
解决问题1:
如图(3)已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,并说明理由;
解决问题2:
如图(4),已知直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的关系为 ∠P=90°+
(∠B+∠D) .
【解答】解:
问题1:
连接PO并延长.
则∠1=∠A+∠2,∠3=∠C+∠4,
∵∠2+∠4=∠P,∠1+∠3=∠AOC,
∴∠AOC=∠A+∠C+∠P;
故答案为:
∠AOC=∠A+∠C+∠P;
问题2:
如图2,∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠2+∠B=∠3+∠P,
∠1+∠P=∠4+∠D,
∴2∠P=∠B+∠D,
∴∠P=
(∠B+∠D)=
×(28°+48°)=38°;
解决问题1:
如图3,∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴(180°﹣2∠1)+∠B=(180°﹣2∠4)+∠D,
在四边形APCB中,(180°﹣∠1)+∠P+∠4+∠B=360°,
在四边形APCD中,∠2+∠P+(180°﹣∠3)+∠D=360°,
∴2∠P+∠B+∠D=360°,
∴∠P=180°﹣
(∠B+∠D);
解决问题2:
如图4,∵AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵(∠1+∠2)+∠B=(180°﹣2∠3)+∠D,
∠2+∠P=(180°﹣∠3)+∠D,
∴2∠P=180°+∠D+∠B,
∴∠P=90°+
(∠B+∠D).
故答案为:
∠P=90°+
(∠B+∠D).
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