北师大版七年级数学下册 第四章证明构造全等三角形常用方法与技巧含答案Word格式文档下载.docx
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所以GE=DF+GD=BE+GD.
2、翻折法
2.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D.试说明:
∠2=∠1+∠C.
如图,过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
因为∠ACB=90°
,所以∠2+∠ACF=90°
因为CE⊥AD,
所以∠AEC=90°
所以∠1+∠ACF=180°
-∠AEC=180°
-90°
=90°
因为CE⊥AD,所以∠AEC=90°
在△ABD和△FBD中,
所以△ABD≌△FBD(ASA).所以∠2=∠DFB.
又因为∠DFB=180°
-∠AFC,
∠1+∠C=180°
所以∠DFB=∠1+∠C.所以∠2=∠1+∠C.
3、构造法
3.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,∠ABC=45°
,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.
试说明:
∠ADC=∠BDF.
所以∠1=∠2.
在△ACD和△CBG中,
所以△ACD≌△CBG(ASA).
所以∠ADC=∠G,CD=BG.
因为点D为BC的中点,所以CD=BD.所以BD=BG.
因为∠DBG=90°
,∠DBF=45°
所以∠GBF=∠DBG-∠DBF=90°
-45°
=45°
所以∠DBF=∠GBF.
在△BDF和△BGF中,
所以△BDF≌△BGF(SAS).所以∠BDF=∠G.
所以∠ADC=∠BDF.
4、旋转法
4.如图,在正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
如图,延长CB到点H,使得BH=DF,连接AH.
所以∠D=∠ABH=90°
在△ABH和△ADF中,
所以△ABH≌△ADF(SAS).
所以AH=AF,∠BAH=∠DAF.
所以∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF.
所以∠HAF=∠BAD=90°
因为BE+DF=EF,所以BE+BH=EF,即EH=EF.
在△AEH和△AEF中,
所以△AEH≌△AEF(SSS).
所以∠EAH=∠EAF.
所以∠EAF=
∠HAF=45°
5、倍长中线法
5.如图,在△ABC中,D为BC的中点.若AB=5,AC=3,求AD长度的取值范围.
如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.
因为D为BC的中点,所以CD=BD.
又因为AD=ED,∠ADC=∠EDB,
所以△ADC≌△EDB(SAS).所以AC=EB.
因为AB-EB<
AE<
AB+EB,
所以AB-AC<
2AD<
AB+AC.
又因为AB=5,AC=3,
所以2<
8.所以1<
AD<
4.
综合练习
1.如图,在△ABC中,D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,DE=EF,则下列结论中:
①∠ADE=∠EFC;
②∠ADE+∠ECF+∠FEC=180°
;
③∠B+∠BCF=180°
④S△ABC=S四边形DBCF,正确的结论有( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
2.如图,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,△ABC沿线段DE折叠,使点A落在点F处.若∠B=50°
,则∠BDF=________.
3.如图,已知边长为1的正方形ABCD,AC,BD交于点O,过点O任作一条直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部分的面积是________.
4.如图,AD,AE分别是△ABC的角平分线、高线,且∠B=50°
,∠C=70°
,则∠EAD=________.
5.如图,已知四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且AE=
(AB+AD),若∠D=115°
,则∠B=________.
6.如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,过点A的直线l绕点A旋转,BD⊥l于D,CE⊥l于E.
(1)试说明:
DE=BD+CE.
(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时,
(1)中结论是否成立?
若成立,请说明;
若不成立,请探究DE,BD,CE又有怎样的数量关系,并写出探究过程.
7.在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.设∠BAC=α,∠DCE=β.
(1)如图①,点D在线段BC上移动时,角α与β之间的数量关系是____________,请说明理由;
(2)如图②,点D在线段BC的延长线上移动时,角α与β之间的数量关系是____________,请说明理由;
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时,请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________.
参考答案
1.A
2.80°
3.
4.10°
点拨:
由AD平分∠BAC,可得∠DAC=
∠BAC=
×
(180°
-50°
-70°
)=30°
.由AE⊥BC,可得∠EAC=90°
-∠C=20°
,所以∠EAD=30°
-20°
=10°
5.65°
过C作CF⊥AD,交AD的延长线于F.
因为AC平分∠BAD,
所以∠CAF=∠CAE.
因为CF⊥AF,CE⊥AB,
所以∠AFC=∠AEC=90°
在△CAF和△CAE中,
所以△CAF≌△CAE(AAS).
所以FC=EC,AF=AE.
因为AE=
(AB+AD),
所以AF=
(AE+EB+AD),
即AF=BE+AD.
所以DF=BE.
在△FDC和△EBC中,
所以△FDC≌△EBC(SAS).
所以∠FDC=∠EBC.
又因为∠ADC=115°
所以∠FDC=180°
-115°
=65°
所以∠B=65°
6.解:
(1)因为BD⊥l,CE⊥l,
所以∠ADB=∠AEC=90°
所以∠DBA+∠BAD=90°
又因为∠BAC=90°
所以∠BAD+∠CAE=90°
所以∠DBA=∠CAE.
因为AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°
所以△ABD≌△CAE(AAS).
所以AD=CE,BD=AE.
则AD+AE=BD+CE,
即DE=BD+CE.
(2)
(1)中结论不成立.
DE=BD-CE.
同
(1)说明△ABD≌△CAE,
所以BD=AE,AD=CE.
又因为AE-AD=DE,
所以DE=BD-CE.
7.解:
(1)α+β=180°
理由:
因为∠DAE=∠BAC,
所以∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
又因为AB=AC,AD=AE,
所以△ABD≌△ACE(SAS).
所以∠ABC=∠ACE.
在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
,∠ABC=∠ACE,
所以∠BAC+∠ACB+∠ACE=180°
因为∠ACB+∠ACE=∠DCE=β,
所以α+β=180°
(2)α=β
所以∠BAD=∠CAE.
因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°
,∠ACB+∠ACD=180°
所以∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠ECD.
所以∠BAC=∠ECD.
所以α=β.
(3)α=β.画图略.
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