中考数学专题大讲堂第七讲几何变换之翻折探究Word含答案语文.docx
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中考数学专题大讲堂第七讲几何变换之翻折探究Word含答案语文
几何变换之翻折探究
思考与解决几何图形的问题,主要是借助基本图形的性质(定义,定理等)和图形之间的关系.许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”,而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的情况也是同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样,和相互间的位置没有直接关系,但是,在同一个问题中涉及到的两个全等三角形,绝大多数都有一定的位置关系,或成轴对称关系,或成平移关系,或成旋转的关系(包括中心对称).这样,在解决具体的几何图形问题时,图形本身所显示或暗示的“变换特征”,对我们识别出、构造出基本图形和图形关系(如全等三角形),有着极为重要的启发和引导的作用.
图形的翻折问题本质上是轴对称问题,满足轴对称的性质,即:
1.折叠图形关于折痕对称
2.对应边、角相等
3.对应点的连线被折痕垂直平分
我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的.先讲翻折题的三种常见方法
【题目】(16年秋锡山区期中)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,点B落在点D的位置,且AD交y轴于点E,那么点D的坐标为.
法一:
求.定.点.关.于.定.直.线.的.对.称.点.(万能方法)
如答图1,连BD,交AC于G,则△ABC∽△AGB∽△BFD,
∴BD=2BG=AB·1·2=3×1
×2=6,DF=BD·1=1
10
×6=3,BF=3DF=9,
1010
1010
1055
∴D(-4,12)
55
法二:
由.直.角.翻.折.主.动.寻.求.K.型.相.似.(特殊技巧)
如答图1,由∠ADC=90°⟹△ADN∽△DCF,相似比为3:
1,设ON=CF=x,则DN=3x,DF=3-3x,
由AN=3DF得x+1=3(3-3x),解得x=4,∴D(-4,12)
555
法三:
由.翻.折.主.动.寻.求.等.腰.三.角.形.(特殊技巧)如答图2,延长CD交x轴于H,可得CH=AH,设DH=y,则AH=y,
在Rt△ADH中用勾股定理可得y=4
易得DM=12,∴D(-4,12)
555
法四:
由.翻.折.主.动.寻.求.等.腰.三.角.形.(特殊技巧)
如答图2,设CE=AE=a,则OE=3-a,在Rt△AOE
中用勾股定理可得a=5,
3
由比例关系可得OM=4,∴D(-4,12)
555
【例题剖析】
题型一:
利用对应边相等,对应角相等
例1-1、(2019年无锡)10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=3,BC=4,将边
AC沿CE翻折,使点A落在AB上的点D处;再将边BC沿CF翻折,使点B落在CD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边AB分别交于点E、F,则线段B′F的长为()
A3423
.B.C.
53
D.2
【解答】选B
〖点评〗本题的关键点在于发现并证明∠B′FB是直角,由翻折可知∠A=∠ADC=∠B′DF,
∠A+∠B=90°
又∠B=∠B′========‹∠B′FB是直角⟹△B′DF是“345”的三角形
又由翻折可知B′C=BC=4,CD=AC=3,
例1-2、(18年4月锡山区二模)17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在
AC,BC上,且∠CDE=∠B,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处.若
AC=8,AB=10,则CD的长为.
【解答】CD=25
8
答图1答图2
母子三角形
〖点评〗本题的关键点在于发现并证明F是AB的中点,如答图,由翻折⟹CF⊥DE=====‹
∠1=∠B
直角三角形斜边上的中线定理的逆命题
∠1=∠2====‹∠2=∠B⟹CF=BF======================‹F是AB中点
本题也可以根据90度翻折构造K型相似来解决,如答图2
〖针对练习〗
1、(18年4月宜兴一模)16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC的中点,连结AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连结CF,则sin∠EFC=.
【解答】4
5
题型二:
利用(或构造)等腰三角形
例2-1、(18年4月宜兴一模)10.一张矩形纸片ABCD,其中AD=8cm,AB=6cm,先沿对角线BD对折,点C落在点C′的位置,BC′交AD于点G(图1);再折叠一次,使点D与点A重合,得折痕EN,EN交AD于点M(图2),则EM的长为()
A.2B.3
2
C.2D.7
6
【解答】选D
〖点评〗本题的关键点在于发现并利用△DEN是等腰三角形,由翻折⟹∠CDB=∠EDB,
作高EH
EN是折痕⟹EN∥CD⟹∠END=∠BDC⟹∠END=∠EDN⟹EN=ED===‹△DEN是
“556”的三角形
例2-2、(12年南长区一模)已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点B′处.
(1)当BE=1时,CF=cm;
CE
(2)当BE=2时,求sin∠DAB′的值;
CE
(3)略
【解答】当E点在BC边上时,sin∠DAB′=5,当E点在BC的延长线上时,sin∠DAB′
13
=3,
5
〖点评〗本题三种方法都可以,
方法一:
如答图1,构造等腰三角形AGF,再由勾股定理得到方程x2+62=(9-x)2解得
x=5,所以sin∠DAB′=5
213
方法二:
如答图2,△ABE∽△AHB∽△B′GB,三边之比都为2:
3:
13,
∴BH=3BE=3×4=12
⟹BB′=2BH=24⟹BG=2BB′=48⟹AG=30⟹sin∠
131313
DAB′=5
13
13131313
方法三:
如答图3,构造相似三角形△AB′F∽△B′EG,且相似比为3:
2,可得方程组
3x+2y=6
,解得
x=10
13,所以sin∠DAB′=5
3x2+3y2=36
y=2413
13
另一种情况类似,参考答图4
答图1答图2答图3
答图4
例2-3、(17年滨湖二模)18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点E从C点出发向终点B运动,速度为1cm/秒,运动时间为t秒,作EF∥AB,点P是点C关于EF的对称点,连结AP,当△AFP恰好是直角三角形时,t的值为.
【解答】t=25或7
88
答图1答图2
〖点评〗本题的关键点在于CP与折痕EF垂直,也即与AB垂直,在∠APE=90°时,可得等腰三角形ABE。
首先∠AFP不可能是直角,否则易得∠CFE=45°,与题意不符;
如果∠FAP=90°,则AP∥BC⟹CP=5AC=15⟹CE=CP·1·5=25
44238
∠F‸E=∠FEC=∠B
如果∠APE=90°,则A、P、E三点共线⟹∠FEP=∠BAE===========‹∠BAE=∠
B⟹AE=BE⟹32+t2=(4-t)2⟹t=7
8
题型三:
利用(或构造)“K”字形相似
例3-1、探究与应用:
在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形,将几何“模块”
化.例如在相似三角形中,K字形是非常重要的基本图形,可以建立如下的“模块”(如图1):
(1)请就图1证明上述“模块”的合理性;
(2)请直.接.利.用.上述“模块”的结论解决下面两个问题:
①如图2,已知点A(-2,1),点B在直线y=-2x+3上运动,若∠AOB=90°,求此时点B的坐标;
②如图3,过点A(-2,1)作x轴与y轴的平行线,交直线y=-2x+3于点C、D,求点A关于直线CD的对称点E的坐标.
【解答】
(1)略;
(2)①B(3,3);
42
②过点E作EN⊥AC的延长线于点N,过点D作DM⊥NE的延长线于点M,
∵A(-2,1),
∴C点的纵坐标为1,D点的横坐标为-2,
∴C(x,1),D(-2,y),
∴1=-2x+3,y=-2×(-2)+3,
∴x=1,y=7,
∴C(1,1),D(-2,7).设E(x,y),
∴DM=x+2,ME=7-y,CN=x-1,EN=y-1,由对称可知:
DE=AD=6,CE=AC=3
∵∠M=∠N=∠DEC=90°,
∴△DME∽△ENC,
∴DM=ME=DE,
ENCNCE
∴x+2=2=x香1,
y香17香y2
∴解得:
x=14
5
y=17
5
∴B(14,17)
55
例3-2、(14外国语一模,18)如图,将等边△ABC折叠,使点B落在边AC上,对应点
为D,设折痕为MN,如果CD=3,则BM的值为.
DA2BN
【解答】BM=8
BN7
〖点评〗方法一:
如答图1,根据翻折,得到∠MDN=60°⟹△ADN∽△CMD⟹DM=
DN
CD+DM+MC=CD+BM+MC=CD+BC=8
AD+DN+NAAD+BN+NAAD+AB7
方法二:
如答图2,分别边D点作DF⊥BC于F点,作DE⊥AB于E点,则设AD=4,CD=6,则CF=3,DF=33,AE=2,DE=23,
x2=7香x2+332
再设BM=x,BN=y,则有
y2=
8香y2+232
x=38
解得7
y=19
4
∴DM=8
DN7
答图1答图2
〖针对练习〗
1、(2019河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上的一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD、BC于点M、N,当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为.
【答案】322或355
题型四:
利用相似算对称点
例4-1、(11年东林,26)如图1,直线y=-3x+3与x轴、y轴交于A、B两点,C点为
4
线段AO上一点,一动点P在x轴上.
(1)当P点运动到与原点O重合时,P点关于直线BC的对称点恰好落在直线AB上,求此时PC的长;
(2)如图2,若C点为线段AO的中点,问:
P点运动到何处,点P关于直线BC的对称点落在直线AB上?
【解答】
(1)方法较多,PC=3
2
(2)C(2,0),△AOB三边之比为2:
3:
设P(t,0),则CP=2-t,
由△AOB∽△PHD∽△PEC→DH=2PD=2·2PE=2
·2·3PC=12(2-t)=24香12晦,
1313
PH=3DH=18(2-t)→OH=36香5晦,
13131313
21313
∴D(36香5晦,24香12晦),代入y=-3x+3可得t=16
1313421
例4-2、(2019无锡,27)如图,已知□ABCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,
2n)(m>n>0),作□ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D.
(1)若m=3,试求四边形CC1B1B的面积S的最大值;
(2)若点B1恰好落在y轴上,试求n的值.
m
【解答】
(1)如图1,
∵□ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称,
∴四边形AB1C1D是平行四边形,CC1⊥EF,BB1⊥EF,
∴BC∥AD∥B1C1,CC1∥BB1,
∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形,
∴S□BCEF=S□BCDA=S□B1C1DA=S□B1C1EF,
∴S□BCC1B1=2S□BCDA.
∵A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)、m=3,
∴AB=m-n=3-n,OD=2n,
∴SBCDA=AB•OD=(3-n)•2n=-2(n2-3n)=-2(n-3)2+9,
∴S=2S
22
=-4(n-3)2+9.
□BCC1B1
□BCDA2
∵-4<0,∴当n=3时,S最大值为9;
2□BCC1B1
(2)当点B1恰好落在y轴上,如图2,
∵DF⊥BB1,DB1⊥OB,
∴∠B1DF+∠DB1F=90°,∠B1BO+∠OB1B=90°,
∴∠B1DF=∠OBB1.
∵∠DOA=∠BOB1=90°,
∴△AOD∽△B1OB,
∴OA=OB1,
ODOB
∴n=OB1,
2nm
∴OB1=m.
2
由轴对称的性质可得AB1=AB=m-n.
在Rt△AOB1中,
n2+(m)2=(m-n)2,
2
整理得3m2-8mn=0.
∵m>0,∴3m-8n=0,
∴n=3.
m8
〖针对练习〗
1、(18年滨湖区一模)28.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,G是边AB的中点,平行于AB的动直线l分别交△ABC的边CA、CB于点M、N,设CM
=m.
(1)当m=1时,求△MNG的面积;
(2)若点G关于直线l的对称点为点G′,请求出点G′恰好落在△ABC的内部(不含边界)时,m的取值范围;
(3)略
【解答】
(1)9;
(2)7<t<4
48
题型五:
翻折形成辅助圆
例5-1、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动A点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是.
【答案】7-1,
〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点A′的轨迹是以M为圆心,MA为半径的圆弧,最后利用圆外一点到圆上的最短距离找到最小值
例5-2、(2019无锡)28.如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=m,动点P从点D出发,在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动.连结CP,作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s).
(1)若m=6,求当P、E、B三点在同一直线上时对应的t的值;
(2)已知m满足:
在动点P从点D到点A的整个运动过程中,有且只有一个时刻t,使点E到直线BC的距离等于3,求所有这样的m的取值范围.
【解析】由翻折⟹点E在以C为圆心,CD为半径的圆上
(1)点E的确定
当P、E、B三点共线时,由∠PEC=90°→∠BEC=90°→点E又在以BC为直径的圆上⟹点E是两圆交点,
易得△BEC≌△PAB⟹BP=BC=6而BE=62香42=25
∴t=PD=PE=6-25
也可以利用翻折得到∠DPC=∠EPC,结合∠DPC=∠PCB⟹∠EPC=∠PCB⟹BP=BC=
6
(2)点E的确定
点E到直线BC的距离等于3,点E又在以C为圆心,CD为半径的圆上→点E只能有图中两种情况,然后由点E的位置反推出点P的两个极限位置即可
由△P2DC∽△DHE2⟹D‸2=DH
⟹D‸2=7
⟹DP2=47,若DP2>DA,则E2要舍去,
CD
只存在唯一的E点;
E2H47
由△P1DC∽△DFE1⟹D‸1=DF
⟹D‸1=1
⟹DP1=47,若DP1>DA,则E1和E2都要舍
去,不存在E点
CDE1F477
∴P点应在P1P2之间,477≤m<47
例5-3、(16年滨湖区一模)27.如图1,∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA、OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PO折叠,点O落在平面内点C处.
(1)①当PC∥QB时,OQ=;
②当PC⊥QB时,求OQ的长.
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,求OQ的长.
【解答】
(1)2;
(2)22+2,22-2;
(3)符合条件的点Q共有5个.
①当点C在∠AOB内部或一边上时,OQ=2,2,22
②当点C在∠AOB的外部时,OQ=6+2,6-2
〖点评〗本题的关键点在于根据翻折判断出点C的轨迹是以P为圆心,OP为半径的圆,难点在于分类要全面
〖针对练习〗
1、(2019宿迁)26.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AB=1,BC=3,点E在边CD上移动,连接AE,将多边形ABCE沿直线AE翻折,得到多边形AB′C′E,点B、C的对应点分别为点B′、C′.
(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1),求线段CE的长;
(2)若B′C′分别交边AD,CD于点F,G,且∠DAE=22.5°(如图2),求△DFG的面积;
(3)在点E从点C移动到点D的过程中,求点C′运动的路径长.
【解答】
(1)CE=6-2;
(2)5香6;(3)2n
23
题型六:
翻折的构造
例6-1、如图,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.
【解答】方法一:
根据定长对定角作辅助圆;方法二:
折叠,
如答图,作两次轴对称得到正方形ABCD,即而可得AH=6,
例6-2、如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是△ABC内一点,且AD=AC,
BD=CD,则∠ADB的度数为()
A.135°B.120°C.150°D.140°
【解答】选A,
如答图,补成完整的正方形,显然∠ADB=135°
例6-3、(18年4月宜兴一模)9.如图,Rt△ABC中,∠CAB=90°,在斜边CB上取两点M、N(不包含C、B两点),且tanB=tanC=tan∠MAN=1.设MN=x,BM=n,CN=
m,则以下结论不可能成立的是()
A.m=nB.x=m+nC.x<m+nD.x2=m2+n2
【解答】选D,
方法一,构造旋转,如答图1;方法二,构造折叠,如答图2;
题型七:
综合型
例7-1、(14年江南中学,10,03年天津)如图,在△ABC中,已知AB=2a,∠A=30°,
CD是AB边的中线,若将△ABC沿CD对折起来,折叠后两个小△ACD与△B′CD重叠
部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的1,有如下结论:
①BC的边长可以等于a;②
4
折叠前的△ABC的面积可以等于32;③折叠前的△ABC的面积可以等于32;④折叠
2a3a
后,以A、B′为端点的线段与中线CD一定平行且相等,其中正确的结论是()
A.①③B.①②④C.①③④D.①②③④
解:
如图,设B′D与AC相交于O,
∵CD是AB边的中线,
∴SACD=SBCD=1SABC,
△△2△
∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的1,
4
∴点O是AC、B′D的中点,
∴四边形ADCB′是平行四边形,
∴AB′∥CD,B′C∥AD,B′C=AD,故④正确;
∴B′C∥BD,B′C=BD,
∴四边形BCB′D是平行四边形,由翻折变换的性质得,BC=B′C,
∴平行四边形BCB′D是菱形,
∴BC=BD=1AB=1×2a=a,故①正确;
22
若S△ABC=3a2,
2
∵四边形AB′CD为平行四边形,
∴SCOD=1SACD=1SABC,满足条件,即SABC
△2△4△△
的值可以等于3a2,故②正确,
2
假设折叠前的△ABC的面积可以等于3a2,设点
3
C到AB的距离为h,
则1×2ah=3a2,解得h=3a,3a2÷tan30°=3a÷3=a,
233333
∴垂足为AB的中点D,
∴翻折后点A、B重合,不符合题意,
∴假设不成立,则③错误.
综上所述,正确的结论有①②④.
故选:
B.
课后练习
1、如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,若点D的对应点D′,连接D′B,以下结论中:
①D′B的最小值为3;
②当DE=5时,△ABD′是等腰三角形;
2
③当DE=2时,△ABD′是直角三角形;
④△ABD′不可能是等腰直角三角形;
其中正确的有.(填上你认为正确结论的序号)
【解答】①②④
2、如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E、F分别在AD、BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=25.以上结论中,你认为正确的有()个.
A.1B.2C.3D.4
【解答】选C
3、(2019年无锡)10.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC边的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE,则线段CE的长等于()
A.2B.5
4
C.5
3
D.7
5
【解答】选D
3、(18年省锡中二模)27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,又P是第一象限抛物线上的一点,抛物线对称轴交x轴于点F,交直线AP于点E,AE:
EP=1:
2.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)直线AP交y轴于点G,若CG=53,求此抛物线的解析式;
3
(3)在
(2)的条件下,若点D是射线AP上一动点,沿着DF翻折△ADF得到△A
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