1、中考数学专题大讲堂第七讲几何变换之翻折探究Word含答案语文几何变换之翻折探究思考与解决几何图形的问题，主要是借助基本图形的性质（定义，定理等）和图形之间的关系许多基本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征”，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的情况也是同样具有“变换”形式的联系本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系，或成旋转的关系（包括中心对称）这样，在解决具体的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征”，对我们识别出、构造出基本图形
2、和图形关系（如全等三角形），有着极为重要的启发和引导的作用图形的翻折问题本质上是轴对称问题，满足轴对称的性质，即：1. 折叠图形关于折痕对称2. 对应边、角相等3. 对应点的连线被折痕垂直平分我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的 先讲翻折题的三种常见方法【题目】（16 年秋锡山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 D的位置，且 AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为 法一：求定点关于定直线的对称点（万能方法）如答图 1，连 BD，交 AC 于 G
3、，则ABCAGBBFD，BD2BGAB 1 23 12 6 ，DFBD 1 110 6 3，BF3DF9，10 1010 1010 5 5D（4，12）5 5法二：由直角翻折主动寻求K型相似（特殊技巧）如答图 1，由ADC90ADNDCF，相似比为 3：1， 设 ONCFx，则 DN3x，DF33x，由 AN3DF 得 x13（33x），解得 x4，D（4，12）5 5 5法三：由翻折主动寻求等腰三角形（特殊技巧） 如答图 2，延长 CD 交 x 轴于 H，可得 CHAH， 设 DHy，则 AHy，在 RtADH 中用勾股定理可得 y4易得 DM12，D（4，12）5 5 5法四：由翻折主动寻
4、求等腰三角形（特殊技巧）如答图 2，设 CEAEa，则 OE3a，在 RtAOE中用勾股定理可得 a5，3由比例关系可得 OM4，D（4，12）5 5 5【例题剖析】题型一：利用对应边相等，对应角相等例 11、（2019 年无锡）10如图，RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，将边AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，则线段 BF 的长为（ ）A 3 4 2 3 B C5 3D 2【解答】选 B点评本题的关键点在于发现并证明BFB 是直角，由翻折可知A
5、ADCBDF，AB90又BB=BFB 是直角BDF 是“345”的三角形又由翻折可知 BCBC4，CDAC3，例 12、（18 年 4 月锡山区二模）17如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别在AC，BC 上，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处若AC8，AB10，则 CD 的长为 【解答】CD258答图 1 答图 2母子三角形点评本题的关键点在于发现并证明 F 是 AB 的中点，如答图，由翻折CFDE= 1B直角三角形斜边上的中线定理的逆命题12=2BCFBF= F 是 AB 中点本题也可以根据 90 度翻折构造 K 型相似来解决，如答图
6、2针对练习1、（18 年 4 月宜兴一模）16如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 的中点， 连结 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连结 CF，则 sinEFC 【解答】45题型二：利用（或构造）等腰三角形例 21、（18 年 4 月宜兴一模）10一张矩形纸片 ABCD，其中 AD8 cm，AB6 cm， 先沿对角线 BD 对折，点 C 落在点 C的位置，BC交 AD 于点 G（图 1）；再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M（图 2），则 EM 的长为（ ）A2 B32C 2 D76【解答】选 D点评本题的关键
7、点在于发现并利用DEN 是等腰三角形，由翻折CDBEDB，作高EHEN 是折痕ENCDENDBDCENDEDNENED= DEN 是“556”的三角形例 22、（12 年南长区一模）已知正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点 F，将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B处（1） 当BE1 时，CF cm；CE（2） 当BE2 时，求 sinDAB的值；CE（3） 略【解答】当 E 点在 BC 边上时，sinDAB 5 ，当 E 点在 BC 的延长线上时，sinDAB133，5点评本题三种方法都可以，方法一：如答图 1，构造
8、等腰三角形 AGF，再由勾股定理得到方程 x262（9x）2 解得x5，所以 sinDAB 52 13方法二：如答图 2，ABEAHBBGB，三边之比都为 2：3： 13，BH 3 BE 3 4 12BB2BH 24 BG 2 BB48 AG30 sin13 13 13DAB 51313 13 13 13方法三：如答图 3，构造相似三角形ABFBEG，且相似比为 3：2，可得方程组3x2y6，解得x1013，所以 sinDAB 53x 2 3y 236y24 1313另一种情况类似，参考答图 4答图 1 答图 2 答图 3答图 4例 23、（17 年滨湖二模）18如图，在 RtABC 中，C9
9、0，AC3 cm，BC4 cm， 点 E 从 C 点出发向终点 B 运动，速度为 1 cm/秒，运动时间为 t 秒，作 EFAB，点 P 是点 C 关于 EF 的对称点，连结 AP，当AFP 恰好是直角三角形时，t 的值为 【解答】t25或78 8答图 1 答图 2点评本题的关键点在于 CP 与折痕 EF 垂直，也即与 AB 垂直，在APE90时，可得等腰三角形 ABE。首先AFP 不可能是直角，否则易得CFE45，与题意不符；如果FAP90，则 APBCCP5AC15 CECP15254 4 2 3 8FEFECB如果APE90，则 A、P、E 三点共线FEPBAE=BAEBAEBE32t2
10、（4t）2t78题型三：利用（或构造）“K”字形相似例 31、探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化例如在相似三角形中，K 字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图1）：（1） 请就图 1 证明上述“模块”的合理性；（2） 请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：如图 2，已知点 A（2，1），点 B 在直线 y2x3 上运动，若AOB90，求此时点 B 的坐标；如图 3，过点 A（2，1）作 x 轴与 y 轴的平行线，交直线 y2x3 于点 C、D，求点 A 关于直线 CD 的对称点 E 的坐标【解答】（1）略；（2）B（3，3）；4
11、2过点 E 作 ENAC 的延长线于点 N，过点 D 作 DMNE 的延长线于点 M，A（2，1），C 点的纵坐标为 1，D 点的横坐标为2，C（x，1），D（2，y），12x3，y2（2）3，x1，y7，C（1，1），D（2，7）设 E（x，y），DMx2，ME7y，CNx1，ENy1， 由对称可知：DEAD6，CEAC3MNDEC90，DMEENC，DM ME DE，EN CN CEx2 2 x 香 1，y香1 7香y 2解得：x145y175B（14，17）5 5例 32、（14 外国语一模，18）如图，将等边ABC 折叠，使点 B 落在边 AC 上，对应点为 D，设折痕为 MN，如果C
12、D 3，则BM的值为 DA 2 BN【解答】BM 8BN 7点评方法一：如答图 1，根据翻折，得到MDN60ADNCMD DM DNCDDMMC CDBMMC CDBC 8ADDNNA ADBNNA ADAB 7方法二：如答图 2，分别边 D 点作 DFBC 于 F 点，作 DEAB 于 E 点， 则设 AD4，CD6，则 CF3，DF3 3，AE2，DE2 3，x2 7 香x 2 3 3 2再设 BMx，BNy，则有y28 香 y 2 2 3 2x38解得 7y194DM 8DN 7答图 1 答图 2针对练习1、（2019 河南）如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC
13、上的一个动点， 连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD、BC 于点 M、N，当点 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为 【答案】322或355题型四：利用相似算对称点例 41、（11 年东林，26）如图 1，直线 y3x3 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，C 点为4线段 AO 上一点，一动点 P 在 x 轴上（1） 当 P 点运动到与原点 O 重合时，P 点关于直线 BC 的对称点恰好落在直线 AB 上，求此时 PC 的长；（2） 如图 2，若 C 点为线段 AO 的中点，问：P 点运动到何处，点 P 关于直线 BC 的对
14、称点落在直线 AB 上？【解答】（1）方法较多，PC32（2）C（2，0），AOB 三边之比为 2：3： 设 P（t，0），则 CP2t，由AOBPHDPECDH 2 PD 2 2PE 22 3 PC12（2t）24香12晦，13 13PH3DH18（2t）OH36香5晦，13 13 13 132 13 13D（36香5晦，24香12晦），代入 y3x3 可得 t1613 13 4 21例 42、（2019 无锡，27）如图，已知ABCD 的三个顶点 A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（mn0），作ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB1C1D（1） 若 m3，试求四边形 CC1B
15、1B 的面积 S 的最大值；（2） 若点 B1 恰好落在 y 轴上，试求n 的值m【解答】（1）如图 1，ABCD 与四边形 AB1C1D 关于直线 AD 对称，四边形 AB1C1D 是平行四边形，CC1EF，BB1EF，BCADB1C1，CC1BB1，四边形 BCEF、B1C1EF 是平行四边形，SBCEFSBCDASB1C1DASB1C1EF，SBCC1B12SBCDAA（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m3，ABmn3n，OD2n，S BCDAABOD（3n）2n2（n23n）2（n3）29，S 2S2 24（n3）29BCC1B1BCDA 240，当 n3时，S 最大值为 9；
16、2 BCC1B1（2）当点 B1 恰好落在 y 轴上，如图 2，DFBB1，DB1OB，B1DFDB1F90，B1BOOB1B90，B1DFOBB1DOABOB190，AODB1OB，OA OB1，OD OB n OB1，2n mOB1m2由轴对称的性质可得 AB1ABmn在 RtAOB1 中，n2（m）2（mn）2，2整理得 3m28mn0m0，3m8n0，n 3m 8针对练习1、（18 年滨湖区一模）28如图，在 RtABC 中，ACB90，BC3，AC4，G 是边 AB 的中点，平行于 AB 的动直线 l 分别交ABC 的边 CA、CB 于点 M、N，设 CMm（1） 当 m1 时，求M
17、NG 的面积；（2） 若点 G 关于直线 l 的对称点为点 G，请求出点 G恰好落在ABC 的内部（不含边界）时，m 的取值范围；（3） 略【解答】（1）9；（2）7t44 8题型五：翻折形成辅助圆例 51、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动 A 点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是 【答案】 71，点评本题的关键点在于根据翻折判断出点 A的轨迹是以 M 为圆心，MA 为半径的圆弧，最后利用圆外一点到圆上的最短距离找到最小值例 52、（2019 无锡）28如图，已知矩形 ABCD 中
18、，AB4，ADm，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动连结 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E设点 P 的运动时间为 t（s）（1） 若 m6，求当 P、E、B 三点在同一直线上时对应的 t 的值；（2） 已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围【解析】由翻折点 E 在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上（1） 点 E 的确定当 P、E、B 三点共线时，由PEC90BEC90点 E 又在以 BC 为直径的圆上 点 E 是两圆交点，
19、易得BECPABBPBC6 而 BE 62 香 422 5tPDPE62 5也可以利用翻折得到DPCEPC，结合DPCPCBEPCPCBBPBC6（2） 点 E 的确定点 E 到直线 BC 的距离等于 3，点 E 又在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上点 E 只能有图中两种情况，然后由点 E 的位置反推出点 P 的两个极限位置即可由P2DCDHE2 D2 DH D2 7DP24 7，若 DP2DA，则 E2 要舍去，CD只存在唯一的 E 点；E2H 4 7由P1DCDFE1 D1 DF D1 1DP14 7，若 DP1DA，则 E1 和 E2 都要舍去，不存在 E 点CD E1F 4 7 7P
20、 点应在 P1P2 之间，477m4 7例 53、（16 年滨湖区一模）27如图 1，AOB45，点 P、Q 分别是边 OA、OB 上的两点，且 OP2cm将O 沿 PO 折叠，点 O 落在平面内点 C 处（1） 当 PCQB 时，OQ ；当 PCQB 时，求 OQ 的长（2） 当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长【解答】（1）2；（2）2 22，2 22；（3） 符合条件的点 Q 共有 5 个 当点 C 在AOB 内部或一边上时，OQ2， 2，2 2当点 C 在AOB 的外部时，OQ 6 2， 6 2点评本题的关键点在于根据翻折判断出点 C 的轨迹是以 P 为圆心，OP 为半径的圆
21、， 难点在于分类要全面针对练习1、（2019 宿迁）26如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB1，BC 3，点 E 在边 CD 上移动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 ABCE，点 B、C 的对应点分别为点 B、C（1） 当 BC恰好经过点 D 时（如图 1），求线段 CE 的长；（2） 若 BC分别交边 AD，CD 于点 F，G，且DAE22.5（如图 2），求DFG 的面积；（3） 在点 E 从点 C 移动到点 D 的过程中，求点 C运动的路径长【解答】（1）CE 62；（2）5 香 6；（3）2 n2 3题型六：翻折的构造例 61、如图，已知MAN45
22、，AHMN 于点 H，且 MH2，NH3，求 AH 的长【解答】方法一：根据定长对定角作辅助圆； 方法二：折叠，如答图，作两次轴对称得到正方形 ABCD，即而可得 AH6，例 62、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，D 是ABC 内一点，且 ADAC，BDCD，则ADB 的度数为（ ）A135 B120 C150 D140【解答】选 A，如答图，补成完整的正方形，显然ADB135例 63、（18 年 4 月宜兴一模）9如图，RtABC 中，CAB90，在斜边 CB 上取两点 M、N（不包含 C、B 两点），且 tanBtanCtanMAN1设 MNx，BMn，CNm，则以下结论不可能成立
23、的是（ ）Amn Bxmn Cxmn Dx2m2n2【解答】选 D，方法一，构造旋转，如答图 1； 方法二，构造折叠，如答图 2；题型七：综合型例 71、（14 年江南中学，10，03 年天津）如图，在ABC 中，已知 AB2a，A30，CD 是 AB 边的中线，若将ABC 沿 CD 对折起来，折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的1，有如下结论：BC 的边长可以等于 a； 4折叠前的ABC 的面积可以等于 3 2；折叠前的ABC 的面积可以等于 3 2；折叠2 a 3 a后，以 A、B为端点的线段与中线 CD 一定平行且相等，其中正确的结论是（ ）A B
24、C D解：如图，设 BD 与 AC 相交于 O，CD 是 AB 边的中线，S ACDS BCD1S ABC， 2 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的1，4点 O 是 AC、BD 的中点，四边形 ADCB是平行四边形，ABCD，BCAD，BCAD，故正确；BCBD，BCBD，四边形 BCBD 是平行四边形， 由翻折变换的性质得，BCBC，平行四边形 BCBD 是菱形，BCBD1AB12aa，故正确；2 2若 SABC 3a2，2四边形 ABCD 为平行四边形，S COD1S ACD1S ABC，满足条件，即 S ABC 2 4 的值可以等于 3a2，故正确，2假设折叠前的ABC 的面积
25、可以等于 3a2，设点3C 到 AB 的距离为 h，则12ah 3a2，解得 h 3a， 3a2tan30 3a 3a，2 3 3 3 3 3垂足为 AB 的中点 D，翻折后点 A、B 重合，不符合题意，假设不成立，则错误综上所述，正确的结论有故选：B课后练习1、如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB8，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠， 若点 D 的对应点 D，连接 DB，以下结论中：DB 的最小值为 3；当 DE5时，ABD是等腰三角形；2当 DE2 时，ABD是直角三角形；ABD不可能是等腰直角三角形；其中正确的有 （填上你认为正确结论的序号）【解答】2、如图，在一
26、张矩形纸片 ABCD 中，AB4，BC8，点 E、F 分别在 AD、BC 上，将纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 C 落在 AD 上的一点 H 处，点 D 落在点 G 处，有以下四个结论：四边形 CFHE 是菱形；EC 平分DCH；线段 BF 的取值范围为 3BF4；当点 H 与点 A 重合时，EF2 5以上结论中，你认为正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4【解答】选C3、（2019 年无锡）10如图，ABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 是 BC 边的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ）A2 B54C53D75【解答】选 D3、（18 年省锡中二模）27如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax22axc 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），且 AB4，又 P 是第一象限抛物线上的一点，抛物线对称轴交 x 轴于点 F，交直线 AP 于点 E，AE：EP1：2（1） 求点 A、点 B 的坐标；（2） 直线 AP 交 y 轴于点 G，若 CG5 3，求此抛物线的解析式；3（3） 在（2）的条件下，若点 D 是射线 AP 上一动点，沿着 DF 翻折ADF 得到A
