实际问题与一元二次方程.docx
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实际问题与一元二次方程
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-22.3.2实际问题与一元二次方程
(2)主备:
审核:
一、学习目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
二、学习重、难点
重点:
如何解决增长率与降低率问题;
难点:
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量。
三、学习过程
(一)复习、感知
1.某商品原价289元,降价后售价为256元,求该商品价格的降低率是多少?
2.某乡产粮大户,2007年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,2008年粮食产量上升到60.5吨.求粮食产量增长的百分率.
(二)探究、发现
探究2:
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙中药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整体封面长宽比例相同的长方形,如果要使四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
图见课本47页22.3-1
(三)互动、归纳:
这种增长率(或降低率)的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式:
若增长(或降低)前的量是a(即起始量或原来的量为a)。
平均增长(或降低)百分率为x,
①第一次增长(或降低)后的量是:
;
②第二次增长(或降低)后的量是:
;
③第n次增长(或降低)后的量是:
(四)课堂训练
1.某商品连续两次降价10%后为m元,则该商品原价为()
A.
元B.1.12m元C.
元D.0.81m元
2.某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨,3月份上升到7200吨,设平均每月的增长率为x,根据题意,得()
A.5000(1+x2)=7200B.5000(1+x)+5000(1+x)2=7200
C.5000(1+x)2=7200D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7200
3.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,如果二、三月份平均增长的百分率相同,求这个月平均增长率?
4.恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
(五)布置作业:
习题22.3第5、6、7、8、题
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第二十二章一元二次方程小结与复习主备:
审核:
第二十二章一元二次方程小结与复习
(分3课时完成)
一、知识结构
二、知识点归纳
1.方程中只含有_______未知数,并且未知数的最高次数是_______,这样的______的方程叫做一元二次方程,通常可写成如下的一般形式:
_______()其中二次项系数是______,一次项系数是______,常数项是________.
2.解一元二次方程的一般解法有
(1)_________;
(2)________;(3)_________;(4)求根公式法,求根公式是
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是____________,当_______时,它有两个不相等的实数根;当_________时,它有两个相等的实数根;当_______时,它没有实数根.
4.一元二次方程的根与系数的关系:
(根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)
结论1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么:
结论2.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
5.一元二次方程应用题.
三、典型习题
(一)一元二次方程概念
1.在下列方程中,一元二次方程的个数是().
①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③(x-2)(x+5)=x2-1④3x2-
=0
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为().
A.2,3,-6B.2,-3,18C.2,-3,6D.2,3,6
3.方程x(x-1)=2的两根为().
A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=-1C.x1=1,x2=2D.x1=-1,x2=2
4.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根(b≠0),则
=().
A.1B.-1C.0D.2
5.方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________,一次项系数为_________,常数项为_________.
6.一元二次方程的一般形式是.
7.关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是________.
8.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为________.
9.a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=
x-(x+1)是一元二次方程?
10.关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?
为什么?
11.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根,求(a-b)2+4ab的值.
(二)解一元二次方程的方法:
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得().
A.(x-2)2+3B.(x-2)2-3C.(x+2)2+3D.(x+2)2-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是().
A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+(-4)2=1C.x2+8x+42=1D.x2-4x+4=-11
3.方程x2+4x-5=0的解是________.
4.代数式
的值为0,则x的值为________.
5.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
6.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
7.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.
8.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
9.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________.
10.已知b≠0,不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2-(2a+b)x+(a+ab-2b2)=0的根的情况是________.
11.如果x2-4x+y2+6y+
+13=0,则(xy)z=
12.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)
+(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?
若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元一次方程m是否存在?
若存在,请求出.
13.用直接开平方法解下列方程
(1)3x2+9=0
(2)8x2-16=0(3)(x-
)2=
2(x-3)2=72
14.用配方法解下列方程
(1)x2-8x+1=0
(2)x2-2x-
=0(3)9y2-18y-4=0(4)x2+3=2
x
15.用公式法解下列方程.
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x(3)x2-
x+
=0(4)4x2-3x+2=0
16.用因式分解法解下列方程.
(1)3y2-6y=0
(2)25y2-16=0(3)x2-12x-28=0(4)x2-12x+35=0
17.不解方程,判定方程根的情况
(1)16x2+8x=-3
(2)9x2+6x+1=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0
18.不解方程,写出下列方程的两根和与两根积:
19.已知方程
的一个根是1,求另一根及m的值.
20.已知方程
的一个根为
,求另一根及c的值.
21.已知
是方程
的两个根,不解方程,求下列代数式的值.
22.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).
23.m为何值时,
(1)方程
有两个不相等的正数根?
(2)方程
的两根异号?
(三)一元二次方程应用题
解决增长率与降低率问题
1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.
2.某糖厂2010年食糖产量为a吨,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计2012年的产量将是________.
3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价30%后,2001年降价70%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是__________.
4.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为
5.公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.
面积与面积之间的关系
1.矩形的周长为8
,面积为1,则矩形的长和宽分别为________.
2.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.
3.如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?
4.在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?
如何全面地比较几个对象的变化状况的问题
1.一个产品原价为a元,受市场经济影响,先提价20%后又降价15%,现价比原价多_______%.
2.甲用1000元人民币购买了一手股票,随即他将这手股票转卖给乙,获利10%,乙而后又将这手股票返卖给甲,但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出,在上述股票交易中,甲盈了_________元.
3.一个容器盛满纯药液63L,第一次倒出一部分纯药液后用水加满,第二次又倒出同样多的药液,再加水补满,这时容器内剩下的纯药液是28L,设每次倒出液体xL,则列出的方程是________.
4.某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡,甲种贺年卡平均每天可售出500张,每张盈利0.3元,乙种贺年卡平均每天可售出200张,每张盈利0.75元,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现,如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元,那么商场平均每天可多售出100张;如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元,那么商场平均每天可多售出34张.如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元,那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大.
5新华商场销售甲、乙两种冰箱,甲种冰箱每台进货价为2500元,市场调研表明:
当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4台.乙种冰箱每台进货价为2000元,市场调研表明:
当销售价为2500元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降低45元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,那么两种冰箱的定价应各是多少?
6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若每千克50元销售,一个月能售出500kg,销售单价每涨1元,月销售量就减少10kg,针对这种水产品情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算销售量和月销售利润.
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的关系式.
(3)商品想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应为多少?
7.上海甲商场七月份利润为100万元,九月份的利率为121万元,乙商场七月份利率为200万元,九月份的利润为288万元,那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
8.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,试验发现,每多种一棵桃树,每棵桃树的产量就会减少2个,如果要使产量增加15.2%,那么应多种多少棵桃树?
9.某玩具厂有4个车间,某周是质量检查周,现每个车间都原有a(a>0)个成品,且每个车间每天都生产b(b>0)个成品,质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品,然后,周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品,假定每名检验员每天检验的成品数相同.
(1)这若干名检验员1天共检验多少个成品?
(用含a、b的代数式表示)
(2)若一名检验员1天能检验
b个成品,则质量科至少要派出多少名检验员?
一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系应用
10、设:
3a2-6a-11=0,3b2-6b-11=0且a≠b,求a4-b4的值。
11、已知关于x的方程mx2-nx+2=0两根相等,方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。
求证:
方程x2-(k+n)x+(k-m)=0一定有实数根。
12.若方程
与
有相同的根,求k的值及相同的根。
13.求证方程
没有实数根。
14.求证:
关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程.
15.求证:
无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数
16.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)
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