(1)求集合A;
(2)若A⊆B,求实数a的取值范围.
【例8】根据下列条件,求下列各函数的定义域:
(1)已知函数y=f(x+2)的定义域为[1,4],求函数y=f(x)的定义域;
(2)已知函数y=f(2x)的定义域为[0,1],求函数y=f(x+1)的定义域;
(3)已知函数y=f(x)的定义域为[0,1],求g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域.
【例9】求下列函数的值域:
(1)y=2x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=
+1;
(3)y=x2-4x+6,x∈[1,5];
(4)y=x+
;
(5)y=
.
【例10】求
的值域.
1.设集合M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数关系的是( )
2.已知映射f:
A→B,即对任意a∈A,f:
a→|a|.其中,集合A={-3,-2,-1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素,则集合B中元素的个数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知函数f(x+1)的定义域为(-2,-1),则函数f(x)的定义域为( )
A.(-1.5,-1)B.(-1,0)C.(-3,-2)D.(-2,-1.5)
4.函数f(x)=
-5,则f(3)=( )
A.-3B.4C.-1D.6
5.设
,则
=( )
A.1B.-1C.0.6D.-0.6
6.已知f(x)=x2+1,则f[f(-1)]=( )
A.2B.3C.4D.5
7.已知函数f(x)由下表给出,则f(f(3))等于( )
A.1B.2C.3D.4
8.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:
明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )
A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7
9.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为( )
A.f(x)=(x-a)2(b-x)B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)D.f(x)=(x-a)2(x-b)
10.函数
的定义域是
11.函数
的定义域是
12.函数
的定义域是
13.已知元素(x,y)在映射f下的原象是(x+y,x-y),则(1,2)在f下的象是____________.
14.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为____________.
15.设
,则f[f(x)]=________.
16.函数f(x)=x2-2x+5定义域为A,值域为B,则集合A与B的关系是.
17.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则
的值等于________.
18.已知函数
.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(12)的值.
19.已知函数
.
(1)求f
(2)与f(0.5),f(3)与f(
).
(2)由
(1)中求得结果,你能发现f(x)与f(
)有什么关系?
并证明你的发现.
(3)求f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2017)+f(
)+f(
)+…+f(
).
20.求函数
的值域;
1.函数符号y=f(x)表示( )
A.y等于f与x的乘积B.f(x)一定是一个式子
C.y是x的函数D.对于不同的x,y也不同
2.下列各组中,集合P与M不能建立映射的是( )
A.P={0},M=∅B.P={1,2,3,4,5},M={2,4,6,8}
C.P={有理数},M={数轴上的点}D.P={平面上的点},M={有序实数对}
解析:
选项A中,M=∅,故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应,故不能建立映射.
3.已知集合A={1,2,m},B={4,7,13},若f:
x→y=3x+1是从集合A到集合B的映射,则m的值为( )
A.22 B.8 C.7 D.4
4.设集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在图中能表示从集合A到集合B的映射的是( )
5.已知函数f(x)=-1,则f
(2)的值为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.不确定
6.下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是( )
7.函数y=
的定义域是( )
A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}
8.若函数g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( )
A.9B.7C.5D.3
9.函数
的定义域是( )
A.[-3,1.5]B.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5)C.[-3,1.5)D.[-3,-1.5)∪(-1.5,1.5]
10.已知f(x-1)的定义域为[-3,3],则f(x)的定义域为____________.
11.已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
(1)求f(0),f
(1)的值;
(2)若f
(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.
12.在体育测试时,初三的一名高个男同学推铅球,已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图所示).如果这个男同学出手处A点的坐标是(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标是(6,5).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)该同学把铅球推出去多远?
(精确到0.01米,15=3.873)
知识点参考答案
1.答案为:
对应关系f,唯一确定;y=f(x),x∈A;定义域;值域;
2.答案为:
定义域、对应关系和值域;
3.答案为:
定义域,对应法则;
4.答案为:
();[];(],[);(-∞,+∞);
5.答案为:
非空的集合;唯一确定;非空数集间;
例题参考答案
例1.
(1)x≠±2;
(2)x<1且x≠-1;(3)1.5≤x≤7.
例2.
(1)×;
(2)×;(3)×;(4)√;(5)√.
例3.答案为:
①;
例4.答案为:
B;
例5.答案为:
B;
例6.解:
(1)f
(2)=0.8,f(0.5)=0.2,f(3)=0.9,f(3-1)=0.1;
(2)f(x)+f(
)=1.
例7.解:
(1)要使函数f(x)有意义,应满足3-x≥0,x+2>0,∴-2(2)∵A⊆B,∴把集合A、B分别表示在数轴上,如图所示,
由如图可得,a>3.故实数a的取值范围为a>3.
例8.解:
(1)∵y=f(x+2)中,1≤x≤4,∴3≤x+2≤6,∴函数y=f(x)中,3≤x≤6,
故函数y=f(x)的定义域为[3,6].
(2)∵y=f(2x)中,0≤x≤1,∴0≤2x≤2,∴函数y=f(x+1)中,0≤x+1≤2,
∴-1≤x≤1,∴函数y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(3)由题意得0≤x+a≤1,0≤x-a≤1,∴-a≤x≤1-a,a≤x≤1+a,以下按a的取值情况讨论:
①当a=0时,函数的定义域为[0,1].
②a>0时,须1-a≥a.才能符合函数定义(定义域不能为空集).∴0此时函数的定义域为{x|a≤x≤1-a}.
③a<0时,须1+a≥-a,即-0.5≤a<0,此时函数的定义域为{x|-a≤x≤1+a}.
综上可得:
-0.5≤a<0时,定义域为{x|-a≤x≤1+a},0≤a≤0.5时,定义域为{x|a≤x≤1-a}.
例9.解:
(1)∵y=2x+1,且x∈{1,2,3,4,5},∴y∈{3,5,7,9,11}.∴函数的值域为{3,5,7,9,11}.
(2)∵
≥0,∴
+1≥1.∴函数的值域为[1,+∞).
(3)配方得y=(x-2)2+2,∵x∈[1,5],由图知2≤y≤11.即函数的值域为[2,11].
(4)令u=
,则u≥0,x=
,∴y=
+u=
(u+1)2≥
.∴函数的值域为[
,+∞).
(5)y=
=
=3+
≠3.∴函数的值域为{y|y≠3}.
例10.解:
=1-
,而x2-x+1=(x-0.5)2+0.75≥0.75,
即0<
≤
,∴-
≤y<1.即
的值域为[-
1].
课堂练习题参考答案
1.答案为:
B;
2.答案为:
A;
3.答案为:
B;
解析:
∵函数f(x+1)的定义域为(-2,-1),∴-14.答案为:
A;
5.答案为:
B;
6.答案为:
D;
7.答案为:
A
8.答案为:
C;
解析:
由题目的条件可以得到a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28.解得a=6,b=4,c=1,d=7,故选C.
9.答案为:
A;
10.答案为:
x≥1;
11.答案为:
x≥1且x≠2.
12.答案为:
x≥1且x≠2且x≠3;
13.答案为:
(3,-1);
14.答案为:
{-1,0,3};
15.答案为
.
16.答案为B⊆A;
17.答案为:
2;
18.解:
(1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0,∴x≥-4且x≠1,
即函数f(x)的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).
(2)f(-1)=-3-
.f(12)=-
.
19.解:
(1)∵f(x)=
,∴f
(2)=0.8,f(0.5)=0.2,f(3)=0.9;f(
)=0.1.
(2)由
(1)发现f(x)+f(
)=1.证明
如下:
f(x)+f(
)=1.
(3)f
(1)=0.5.由
(2)知f
(2)+f(0.5)=1,f(3)+f(
)=1,…,f(2017)+f(
)=1,
∴原式=
+1+1+...+1=2016+0.5=2016.5.
20.解:
已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)=0.
当y≠2时,将上式视为关于x的一元二次方程.
∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)(3y+7)≥0,解得-4.5≤y<2.
当y=2时,3×2+7≠0,∴y≠2.∴函数的值域为[4.5,2).
课后练习题参考答案
1.答案为:
C;
2.答案为:
A;
3.答案为:
D;
4.答案为:
D;
5.答案为:
B
6.答案为:
D;
7.答案为:
D.
8.答案为:
C
9.答案为:
B;
10.答案为:
[-4,2];解析:
∵-3≤x≤3,∴-4≤x-1≤2,∴f(x)的定义域为[-4,2].
11.解:
(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f
(1)+f(0),解得f
(1)=0.
(2)方法一:
令a=b=2,得f(4)=f
(2)+f
(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,
令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.
方法二:
因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)
=f
(2)+f
(2)+f(3)+f(3)=2f
(2)+2f(3)=2p+2q.
12.解:
(1)设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.
由顶点坐标为(6,5),∴y=a(x-6)2+5.
又A(0,2)在抛物线上,∴2=a·62+5,解得a=-
.∴y=-
(x-6)2+5,即y=-
x2+x+2.
(2)当y=0,即-
x2+x+2=0时,解得x=6±2
.
又x=6-2
不合题意,舍去.∴x=6+2
≈13.75(米).