1、高中数学必修1集合与函数 21函数定值域 知识点高中数学必修1集合与函数2.1函数定值域知识点+例题+练习题1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的。注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。2.构成函数的三要素：、和:（
2、1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）。3.两个函数
3、的相等：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的和都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4.区间： （1）区间的分类：开区间：、闭区间：、半开半闭区间：； （2）无穷区间：； （3）区间的数轴表示。5.映射的概念:一般地，设A、B是两个，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立
4、起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。【例1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).【例2】判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？(1)f(x)=(x1)0；g(x)=1(2)f(x)=x；g(x)= (3)f(x)=x2；f(x)=(x+1)2(4)f(x)=|x|；g(x)= (5)f(x)=x2,g(x-2)=(x-2)2,g(t)=t2【例3】给出四个
5、命题：函数是其定义域到值域的映射;是函数;函数y=2x(xN)的图象是一条直线;与g(x)=x是同一函数.其中正确的有_个.【例4】设集合A和集合B都是实数集R，映射f：AB把集合A中的元素x映射到集合B中的元素x3x1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是()A.1B.0,1，1C.0D.0，1，2【例5】若f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)，且f(2)=p，f(3)=q，则f(72)等于()A.p+qB.3p+2qC.2p+3qD.p3+q2【例6】已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？证明
6、你的发现.【例7】已知函数的定义域为集合A、B=x|xa.(1)求集合A；(2)若AB，求实数a的取值范围.【例8】根据下列条件，求下列各函数的定义域：(1)已知函数y=f(x2)的定义域为1,4，求函数y=f(x)的定义域；(2)已知函数y=f(2x)的定义域为0,1，求函数y=f(x1)的定义域；(3)已知函数y=f(x)的定义域为0,1，求g(x)=f(xa)f(xa)的定义域.【例9】求下列函数的值域：(1)y=2x1，x1,2,3,4,5；(2)y=1；(3)y=x24x6，x1,5；(4)y=x；(5)y=.【例10】求的值域.1.设集合M=x|2x2，N=y|0y2，给出下列四个
7、图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是()2.已知映射f：AB，即对任意aA，f：a|a|.其中，集合A=3，2，1,2,3,4，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的对应元素，则集合B中元素的个数是()A.4B.5C.6D.73.已知函数f(x1)的定义域为(2，1)，则函数f(x)的定义域为()A.(-1.5，-1)B.(1,0)C.(3，2)D.(-2，-1.5)4.函数f(x)=5，则f(3)=()A.3B.4C.1D.65.设，则=()A.1B.1C.0.6D.0.66.已知f(x)=x21，则ff(1)=()A.2B.3C.4D.57.已知函数f(x)由下表给出，
8、则f(f(3)等于()A.1B.2C.3D.48.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,79.函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式为()A.f(x)=(xa)2(bx) B.f(x)=(xa)2(xb)C.f(x)=(xa)2(xb) D.f(x)=(xa)2(xb)10.
9、函数的定义域是11.函数的定义域是12.函数的定义域是13.已知元素(x，y)在映射f下的原象是(x+y，x-y)，则(1，2)在f下的象是_.14.函数y=x22x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_.15.设，则ff(x)=_.16.函数f(x)=x22x5定义域为A，值域为B，则集合A与B的关系是.17.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于_.18.已知函数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(1),f(12)的值.19.已知函数.(1)求f(2)与f(0.5)，f(3)与f().(2)由(1)中求得结
10、果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现.(3)求f(1)f(2)f(3)f(2017)f()f()f().20.求函数的值域；1.函数符号y=f(x)表示()A.y等于f与x的乘积B.f(x)一定是一个式子C.y是x的函数D.对于不同的x，y也不同2.下列各组中，集合P与M不能建立映射的是()A.P=0，M=B.P=1,2,3,4,5，M=2,4,6,8C.P=有理数，M=数轴上的点D.P=平面上的点，M=有序实数对解析:选项A中，M=，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射.3.已知集合A=1,2，m，B=4,7,13，若f：xy=3x1是从集合A到集合B的
11、映射，则m的值为()A.22B.8C.7D.44.设集合A=x|0x2，B=y|1y2，在图中能表示从集合A到集合B的映射的是()5.已知函数f(x)=1，则f(2)的值为()A.2B.1C.0D.不确定6.下列图形可作为函数y=f(x)的图象的是()7.函数y=的定义域是()A.(-1,1) B.(-,-1)(1,+)C.(0,1) D.-1,18.若函数g(x2)=2x3，则g(3)的值是()A.9B.7C.5D.39.函数的定义域是()A.-3,1.5B.-3,-1.5)(-1.5,1.5)C.-3,1.5)D.-3,-1.5)(-1.5,1.510.已知f(x1)的定义域为3,3，则f
12、(x)的定义域为_.11.已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.12.在体育测试时，初三的一名高个男同学推铅球，已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分（如图所示）.如果这个男同学出手处A点的坐标是（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标是（6，5）.（1）求这个二次函数的解析式；（2）该同学把铅球推出去多远？（精确到0.01米，15=3.873）知识点参考答案1.答案为：对应关系f，唯一确定；y=f(x)，xA；定义域；值域；2.答案为：定义域、对应关
13、系和值域；3.答案为：定义域，对应法则；4.答案为：();(,)；(-,+);5.答案为：非空的集合；唯一确定；非空数集间；例题参考答案例1.(1)x2;(2)x0，2x3，故A=x|23.故实数a的取值范围为a3.例8.解：(1)y=f(x2)中，1x4，3x26，函数y=f(x)中，3x6，故函数y=f(x)的定义域为3,6.(2)y=f(2x)中，0x1，02x2，函数y=f(x1)中，0x12，1x1，函数y=f(x1)的定义域为1,1.(3)由题意得0x+a1,0x-a1，-ax1-a,ax1+a，以下按a的取值情况讨论：当a=0时，函数的定义域为0,1.a0时，须1aa.才能符合函
14、数定义(定义域不能为空集).0a0.5.此时函数的定义域为x|ax1a.a0时，须1aa，即0.5a0，此时函数的定义域为x|ax1a.综上可得：0.5a0时，定义域为x|ax1a,0a0.5时，定义域为x|ax1a.例9.解：(1)y=2x1，且x1,2,3,4,5，y3,5,7,9,11.函数的值域为3,5,7,9,11.(2)0，11.函数的值域为1，).(3)配方得y=(x2)22，x1,5，由图知2y11.即函数的值域为2,11.(4)令u=，则u0，x=，y=u= (u1)2.函数的值域为，).(5)y=33.函数的值域为y|y3.例10.解： =1-，而x2-x+1=(x-0.5
15、)2+0.750.75，即0，-y1.即的值域为-,1.课堂练习题参考答案1.答案为：B;2.答案为：A;3.答案为：B;解析:函数f(x1)的定义域为(2，1)，1x10，函数f(x)的定义域为(1,0).4.答案为：A;5.答案为：B;6.答案为：D;7.答案为：A8.答案为：C；解析：由题目的条件可以得到a2b=14,2bc=9,2c3d=23,4d=28.解得a=6，b=4，c=1，d=7，故选C.9.答案为：A;10.答案为：x1；11.答案为：x1且x2.12.答案为：x1且x2且x3；13.答案为：（3，-1）；14.答案为：1,0,3；15.答案为.16.答案为BA;17.答案
16、为：2；18.解：(1)根据题意知x10且x40，x4且x1，即函数f(x)的定义域为4,1)(1，).(2)f(1)3.f(12).19.解：(1)f(x)=，f(2)=0.8，f(0.5)=0.2，f(3)=0.9;f()=0.1.(2)由(1)发现f(x)f()=1.证明如下：f(x)f()=1.(3)f(1)=0.5.由(2)知f(2)f(0.5)=1，f(3)f()=1，f(2017)f()=1，原式=1+1+.+1=20160.5=2016.5.20.解：已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7，即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)=0.当y2时，将上式视为关
17、于x的一元二次方程.xR，0，即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得-4.5y2.当y=2时，32+70，y2.函数的值域为4.5,2).课后练习题参考答案1.答案为：C;2.答案为：A;3.答案为：D;4.答案为：D;5.答案为：B6.答案为：D;7.答案为：D.8.答案为：C9.答案为：B；10.答案为：4,2；解析：3x3，4x12，f(x)的定义域为4,2.11.解：(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一：令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=
18、b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二：因为36=2232,所以f(36)=f(2232)=f(22)+f(32)=f(22)+f(33)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q.12.解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k.由顶点坐标为（6，5），y=a（x-6）2+5.又A（0，2）在抛物线上，2=a62+5,解得a=-.y=-（x-6）2+5，即y=-x2+x+2.（2）当y=0，即-x2+x+2=0时，解得x=62.又x=6-2不合题意，舍去.x=6+213.75（米）.
