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相似三角形复习1
授课时间:
2017-9-24
学习目标
教学内容
相似三角形总复习
知识点1:
比例的性质
一、比例线段:
如果两条线段的比(两条线段长度的比)等于另两条线段的比,那么称这四条线段成比例(即称a、b、c、d这四条线段成比例或称a、b、c、d为成比例线段).
二、比例的基本性质①:
如果
那么=;
反过来,如果
(b≠0,d≠0),那么=,或=。
相似三角形基本概念
1、定义:
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形,记作△ABC∽△A′B′C′。
2、相似三角形的特性:
①对应性:
即两个三角形相似时,一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.
②顺序性:
相似三角形的相似比是有顺序的.
③两个三角形形状一样,但大小不一定相等.
④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例.
相似三角形的判定
方法就三种:
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例
相似三角形中的基本图形:
(1)平行型:
(A型,X型)
(2)交错型:
(3)旋转型:
(4)母子三角形:
【例题精讲】
1、如图,在△ABC中,D为AC边上的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F.若BG:
GA=3:
1,BC=10,则AE的长为
2、如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=AB,连结EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC︰CD为()
A、2︰1B、3︰2C、3︰1D、5︰2
3、如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是.
4、如图:
四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形,
(1)求证:
△AEF∽△CEA
(2)求证:
∠AFB+∠ACB=45°
5、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AD平分∠CAB交BC于点D,过点C作CE⊥AD于E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于点G,AE·
AD=16,AB=4
(1)求证:
CE=EF
(2)求EG的长
6、如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
△ABF∽△EAD;
(2)若AE=4,∠BAC=30°
,求AE的长;
(3)在
(1),
(2)条件下,若AD=3,求BF的长.
7、如图,在矩形ABCD中,E是CD的中点,BE⊥AC于F,过F作FG∥AB交AE于G,求证:
AG2=AF·
FC。
【课堂达标】
1、如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是______.
2、如图所示,AD、BE分别是三角形ABC的中线和角平分线,AD⊥BE,AD=BE=6,则AC=______。
3、把标准纸一次又一次对开,可以得到均相似的“开纸”.现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将它们剪下,则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是.
4、如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.M为AD中点,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DCN的面积为2,求四边形ABNM的面积.
5、如图,在△ABC中(BC>
AC),∠ACB=90°
,点D在AB边上,DE⊥AC于点E,设点F在线段EC上,点G在射线CB上,以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等,FG交CD于点P,问:
线段CP可能是△CFG的高线还是中线?
或两者都有可能?
请说明理由。
6、已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:
△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:
4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?
若变化,说明理由;
若不变,求出线段EF的长度.
7、如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°
得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
四边形BMNP是平行四边形;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系。
8、如图,在△ABC中,∠A=90°
,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为t,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2.
(1)当t=s时,点P与点Q重合;
(2)当t=s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
9、如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.
DM=DA;
(2)如图②,点G在BE上,且∠BDG=∠C.求证:
△DEG∽△ECF;
(3)在
(2)的条件下,已知EF=2,CE=3,求GE的长.
10、如图,正三角形ABC的边长为3+
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法);
(2)求
(1)中作出的正方形E′F′P′N′的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.
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