第二讲整式.docx
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第二讲整式
第二讲整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念:
:
由数与字母的积组成的代数式
1、整式:
多项式:
。
单项式中的叫做单项式的系数,所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的,多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项:
①定义:
所含相同,并且相同字母的也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项。
②合并同类项法则:
把同类项的相加,所得的和作为合并后的,不变。
【名师提醒:
1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同:
一是相同,二是相同,与系数的大小和字母的顺序无关。
】
二、整式的运算:
1、整式的加减:
①去括号法则:
a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.
②添括号法则:
a+b+c=a+(),a-b-c=a-()
③整式加减的步骤是先,再。
【名师提醒:
在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号,特别强调:
括号前是负号去括号时括号内每一项都要。
】
2、整式的乘法:
①单项式乘以单项式:
把它们的系数、相同字母的幂分别,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式:
用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积,即m(a+b+c)=。
③多项式乘以多项式:
先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积,即(m+n)(a+b)=。
④乘法公式:
Ⅰ、平方差公式:
(a+b)(a—b)=,
Ⅱ、完全平方公式:
(a±b)2=。
【名师提醒:
1、在多项式的乘法中有三点注意:
一是避免漏乘项,二是要避免符号的错误,三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用,要注意各自的形式特点,灵活进行运用。
】
3、整式的除法:
①单项式除以单项式,把、分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项这个单项式,再把所得的商。
即(am+bm)÷m=。
三、幂的运算性质:
1、同底数幂的乘法:
不变相加,即:
aman=(a>0,m、n为整数)
2、幂的乘方:
不变相乘,即:
(am)n=(a>0,m、n为整数)
3、积的乘方:
等于积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂。
即:
(ab)n=(a>0,b>0,n为整数)。
4、同底数幂的除法:
不变相减,即:
am÷an=(a>0,m、n为整数)
【名师提醒:
运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误,(-a)n=(n为奇数),(-a)n=(n为偶数),二是应知道所有的性质都可以逆用,如:
已知3m=4,2n=3,则9m8n=。
】
【重点考点例析】
考点一:
代数式的相关概念。
例1(2013•凉山州)如果单项式-xa+1y3与
ybx2是同类项,那么a、b的值分别为( )
A.a=2,b=3B.a=1,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2
点评:
考查了同类项,同类项定义中的两个“相同”:
相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点。
对应训练
1.(2013•苏州)计算-2x2+3x2的结果为( )
A.-5x2B.5x2C.-x2D.x2
考点二:
代数式求值
例2(2013•苏州)已知x-
=3,则4-
x2+
x的值为( )
A.1B.
C.
D.
点评:
此题考查了代数式求值,将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键,利用了整体代入的思想.
例3(2013•湘西州)下面是一个简单的数值运算程序,当输入x的值为3时,则输出的数值为1
.
点评:
此题考查了代数式求值,此类题要能正确表示出代数式,然后代值计算,解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序.
对应训练
2.(2013•盐城)若x2-2x=3,则代数式2x2-4x+3的值为9
.
3.(2013•绥化)按如图所示的程序计算.若输入x的值为3,则输出的值为-3
.
考点三:
单项式与多项式。
例4(2013•云南)下列运算,结果正确的是( )
A.m6÷m3=m2B.3mn2•m2n=3m3n3
C.(m+n)2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2
点评:
本题主要考查了合并同类项的法则,幂的乘方的性质,单项式的乘法法则,熟练掌握运算法则是解题的关键.
对应训练
4.(2013•沈阳)下面的计算一定正确的是( )
A.b3+b3=2b6B.(-3pq)2=-9p2q2
C.5y3•3y5=15y8D.b9÷b3=b3
考点四:
幂的运算。
例5(2013•株洲)下列计算正确的是( )
A.x+x=2x2B.x3•x2=x5C.(x2)3=x5D.(2x)2=2x2
点评:
此题考查了合并同类项的法则,同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识,解题要注意细心.
对应训练
5.(2013•张家界)下列运算正确的是( )
A.3a-2a=1B.x8-x4=x2
C.
=-2D.-(2x2y)3=-8x6y3
考点五:
完全平方公式与平方差公式
例6
(1)(2013•郴州)已知a+b=4,a-b=3,则a2-b2=12
.
(2)(2013•珠海)已知a、b满足a+b=3,ab=2,则a2+b2=5
.
点评:
此题考查了平方差公式和完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
例7(2013•张家港市二模)如图,从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为acm,则另一边长是( )
A.(2a+3)cmB.(2a+6)cmC.(2a+3)cmD.(a+6)cm
点评:
本题考查了图形的变化,正确理解:
第一个图形中,从边长为(a+3)cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形,剩余部分的面积与第三个图形的面积相等,是解题的关键.
对应训练
6.(2013•徐州)当m+n=3时,式子m2+2mn+n2的值为9
.
7.(2013•攀枝花模拟)如图
(一),在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪成一个矩形(如图
(二)),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
考点六:
整式的运算
例8(2013•株洲)先化简,再求值:
(x-1)(x+1)-x(x-3),其中x=3.
点评:
此题考查了整式的混合运算-化简求值,涉及的知识有:
平方差公式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
例9(2013•宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足( )
A.a=
bB.a=3bC.a=
bD.a=4b
点评:
此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.
对应训练
8.(2013•扬州)先化简,再求值:
(x+1)(2x-1)-(x-3)2,其中x=-2.
9.(2013•泰州)把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若按图1摆放时,阴影部分的面积为S1;若按图2摆放时,阴影部分的面积为S2,则S1与S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.无法确定
考点七:
规律探索。
例10((2013•山西)一组按规律排列的式子:
,…,则第n个式子是.
点评:
本题考查了单项式的知识,属于基础题,关键是观察分子、分母的变化规律.
例11(2013•淄博)如下表,从左到右在每个小格中都填入一个整数,使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等,则第2013个格子中的整数是-2
.
-4
a
b
c
6
b
-2
…
点评:
此题主要考查了数字变化规律,仔细观察排列规律求出a、b、c的值,从而得到其规
律是解题的关键.
例12(2013•烟台)将正方形图1作如下操作:
第1次:
分别连接各边中点如图2,得到5个正方形;第2次:
将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…,以此类推,根据以上操作,若要得到2013个正方形,则需要操作的次数是( )
A.502B.503C.504D.505
点评:
此题主要考查了图形的变化类,根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键.
对应训练
10.(2013•淮安)观察一列单项式:
1x,3x2,5x2,7x,9x2,11x2,…,则第2013个单项式是4025x2
.
11.(2013•玉林)一列数a1,a2,a3,…,其中a1=
,
(n为不小于2的整数),则a100=( )
A.
B.2C.-1D.-2
12.(2013•十堰)如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图5中三角形的个数是( )
A.8B.9C.16D.17
【聚焦山东中考】
1.(2013•济宁)如果整式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于( )
A.3B.4C.5D.6
2.(2013•东营)下列运算正确的是( )
A.a3-a2=aB.a2•a3=a6C.(a3)2=a6D.(3a)3=9a3
3.(2013•烟台)下列各运算中,正确的是( )
A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a4÷a2=a3D.(a+2)2=a2+4
4.(2013•日照)下列计算正确的是( )
A.(-2a)2=2a2B.a6÷a3=a2C.-2(a-1)=2-2aD.a•a2=a2
5.(2013•威海)若m-n=-1,则(m-n)2-2m+2n的值是( )
A.3B.2C.1D.-1
6.(2013•威海)下列运算正确的是( )
A.3x2+4x2=7x4B.2x3•3x3=6x3
C.x6+x3=x2D.(x2)4=x8
7.(2013•泰安)下列运算正确的是( )
A.3x3-5x3=-2xB.6x3÷2x-2=3x
C.(
x3)2=
x6D.-3(2x-4)=-6x-12
8.(2013•临沂)下列运算正确的是( )
A.x2+x3=x5B.(x-2)2=x2-4C.2x2•x3=2x5D.(x3)4=x7
9.(2013•聊城)把地球看成一个表面光滑的球体,假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝,然后把钢丝加长,使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm,那么钢丝大约需要加长( )
A.102cmB.104cmC.106cmD.108cm
10.(2013•日照)如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是( )
A.M=mnB.M=n(m+1)C.M=mn+1D.M=m(n+1)
11.(2013•日照)已知m2-m=6,则1-2m2+2m=-11
.
12.(2013•滨州)观察下列各式的计算过程:
5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…
请猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为100n(n-1)+25
.
13.(2013•潍坊)当n等于1,2,3…时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示,则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n
.(用n表示,n是正整数)
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2013•丽水)化简-2a+3a的结果是( )
A.-aB.aC.5aD.-5a
2.(2013•徐州)下列各式的运算结果为x6的是( )
A.x9÷x3B.(x3)3C.x2•x3D.x3+x3
3.(2013•连云港)计算a2•a4的结果是( )
A.a6B.a8C.2a6D.2a8
4.(2013•重庆)计算3x3÷x2的结果是( )
A.2x2B.3x2C.3xD.3
5.(2013•遵义)计算(-
ab2)3的结果是( )
A.-
a3b6B.-
a3b5C.-
a3b5D.-
a3b6
6.(2013•佛山)多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是( )
A.3,-3B.2,-3C.5,-3D.2,3
7.(2013•遂宁)下列计算错误的是( )
A.-|-2|=-2B.(a2)3=a5
C.2x2+3x2=5x2D.
=2
8.(2013•盘锦)下列计算正确的是( )
A.3mn-3n=mB.(2m)3=6m3C.m8÷m4=m2D.3m2•m=3m3
9.(2013•达州)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算( )
A.甲B.乙C.丙D.一样
10.(2013•黄冈)矩形AB=a,AD=b,AE=BF=CG=DH=c,则图中阴影部分面积是( )
A.bc-ab+ac+b2B.a2+ab+bc-ac
C.ab-bc-ac+c2D.b2-bc+a2-ab
11.(2013•保康)如图,边长为(a+2)的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是( )
A.2B.a+4C.2a+2D.2a+4
12.(2013•新华区一模)定义运算a⊕b=a(1-b),下面给出了这种运算的四个结论:
①2⊕(-2)=6;
②若a+b=0,则(a⊕a)+(b⊕b)=2ab;
③a⊕b=b⊕a;
④若a⊕b=0,则a=0或b=1.
其中结论正确的有( )
A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
二、填空题
14.(2013•晋江市)计算:
2a2+3a2=5a2
.
15.(2013•天津)计算a•a6的结果等于a7
.
16.(2013•上海模拟)计算:
6x2y3÷2x3y3=.
17.(2013•同安区一模)“比a的2倍大
的数”用代数式表示是.
18.(2013•义乌市)计算:
3a•a2+a3=4a3
.
19.(2013•铁岭)某商店压了一批商品,为尽快售出,该商店采取如下销售方案:
将原来每件m元,加价50%,再做两次降价处理,第一次降价30%,第二次降价10%.经过两次降价后的价格为0.945
元(结果用含m的代数式表示)
20.(2013•贵港)若ab=-1,a+b=2,则式子(a-1)(b-1)=-2
.
21.(2013•沈阳)如果x=1时,代数式2ax3+3bx+4的值是5,那么x=-1时,代数式2ax3+3bx+4的值是3
.
22.(2013•苏州)按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为20
.
21.(2013•泰州)若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是1
.
22.(2013•晋江市)若a+b=5,ab=6,则a-b=±1
.
23.((2013•永州)定义
为二阶行列式.规定它的运算法则为
=ad-bc.那么当x=1时,二阶行列式
的值为0
.
24.(2013•雅安)已知一组数2,4,8,16,32,…,按此规律,则第n个数是2n
.
25.(2013•云南)下面是按一定规律排列的一列数:
,…那么第n个数是.
26.(2013•孝感)如图,古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如:
称图中的数1,5,12,22…为五边形数,则第6个五边形数是51
.
27.(2013•青岛)要把一个正方体分割成8个小正方体,至少需要切3刀,因为这8个小正方体都只有三个面是现成的.其他三个面必须用三刀切3次才能切出来.那么,要把一个正方体分割成27个小正方体,至少需用刀切6
次;分割成64个小正方体,至少需要用刀切9
次.
三、解答题
28.(2013•宜昌)化简:
(a-b)2+a(2b-a)
29.(2013•宁波)先化简,再求值:
(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-3.
30.(2013•三明)先化简,再求值:
(a+2)(a-2)+4(a+1)-4a,其中a=
-1.
31.(2013•邵阳)先化简,再求值:
(a-b)2+a(2b-a),其中a=-
,b=3.
32.(2013•娄底)先化简,再求值:
(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=-1,y=
.
33.(2013•义乌市)如图1所示,从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,
(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1和S2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
34.(2013•张家界)阅读材料:
求1+2+22+23+24+…+22013的值.
解:
设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S-S=22014-1
即S=22014-1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
请你仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+210
(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).
2014中考真题
一.选择题(共10小题)
1.(2014•佛山)多项式2a2b﹣a2b﹣ab的项数及次数分别是( )
A.3,3B.3,2C.2,3D.2,2
2.(2014•南昌)如图1,将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形,得到一个“
”的图案,如图2所示,再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形,如图3所示,则新矩形的周长可表示为( )
A.2a﹣3bB.4a﹣8bC.2a﹣4bD.4a﹣10b
3.(2014•安徽)x2•x3=( )
A.x5B.x6C.x8D.x9
4.(2014•温州)计算:
m6•m3的结果( )
A.m18B.m9C.m3D.m2
5.(2014•永州)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.﹣2(a﹣b)=﹣2a﹣2bC.2x2+3x2=5x4D.(﹣
)﹣2=4
6.(2014•岳阳)下列计算正确的是( )
A.2a+5a=7aB.2x﹣x=1C.3+a=3aD.x2•x3=x6
7.(2014•永州)在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时,小林发现:
从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍,于是她设:
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6,得:
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1,即5S=610﹣1,所以S=
,得出答案后,爱动脑筋的小林想:
如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1),能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值?
你的答案是( )
A.
B.
C.
D.a2014﹣1
8.(2014•福州)下列计算正确的是( )
A.x4•x4=x16B.(a3)2=a5C.(ab2)3=ab6D.a+2a=3a
9.(2014•六盘水)下列运算正确的是( )
A.(﹣2mn)2=4m2n2B.y2+y2=2y4C.(a﹣b)2=a2﹣b2D.m2+m=m3
10.(2014•临沂)下列计算正确的是( )
A.a+2a=3a2B.(a2b)3=a6b3C.(am)2=am+2D.a3•a2=a6
二.填空题(共10小题)
11.(2014•北海)下列式子按一定规律排列:
,
,
,
,…,则第2014个式子是 _________ .
12.(2014•乐山)如图.在正方形ABCD的边长为3,以A为圆心,2为半径作圆弧.以D为圆心,3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分为S1、S2.则S1﹣S2= _________ .
13.(2014•西宁)计算:
a2•a3= _________ .
14.(2014•达州)化简:
(﹣a2b3)3= _________ .
15.(2014•佛山)计算:
(a3)2•a3= _________ .
16.(2014•潍坊)计算:
82014×(﹣0.125)2015= _________ .
17.(2014•连云港)计算:
(2x+1)(x﹣3)= _________ .
18.(2014•孝感)若a﹣b=1,则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 _________ .
19.(2014•包头)计算:
(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= _________ .
20.(2014•日照)已知a>b,如果
+
=
,ab=2,那么a﹣b的值为 _________ .
三.解答题(共10小题)
21.(2014•宜昌)化简:
(a+b)(a﹣b)+2b2.
22.(2014•乌鲁木齐)实数x满足x2﹣2x﹣1=0,求代数式(2x﹣1)2﹣x(x+4)+(x﹣2)(x+2)的值.
23.(2014•槐荫区一模)化简:
(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2).
24.(2014•盐城)先化简,再求值:
(a+2b)2+(b+a)(b﹣a),其中a=﹣1,b=2.
25.(2014•沈阳)先化简,再求值:
{(a+b)2﹣(a﹣b)2}•a,其中a=﹣1,b=5.
26.(2014•宜兴市模拟)计算:
(1)(
)﹣1﹣
+(5﹣π)0
(2)(2x﹣1)2+(x﹣2)(x+2)﹣4x(x﹣
)
27.(2014•南通)计算:
(1)(﹣2)2+(
)0﹣
﹣(
)﹣1;
(2)[x(x2y2﹣xy)﹣y(x2﹣x3y)]÷x2y.
28.(2014•义乌市)先化简,再求值:
(x+5)(x﹣1)+(x﹣2)2,其中x=﹣2.
29.(2014•衡阳)先化简,再求值.(a+b)(a﹣b)+b(a+2b)﹣b2,其中a=1,b=﹣2.
30.(2014•北京)已知x﹣y=
,求代数式(x+1)2﹣2x+y(y﹣2x)的值.
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