高考数学理科5年高考+3年模拟精选课件全国卷1地区通用31导数与积分.docx
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高考数学理科5年高考+3年模拟精选课件全国卷1地区通用31导数与积分
高考理数(课标专用)
五年咼考
>
A组统_命题■课标卷题组
考点导数的概念及其几何意义
1.(2018课标I,5,5分)设函数/⑴』+@・1疋+处.若心)为奇函数,则曲线)吋⑴在点(0,0)处的切线方程为()
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
答案D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.
••TOXx'+a1疋+必为奇函数,/.a-1=0,解得a=1,・\/(x)=x'+兀,・••广(x)=3F+1,.*./'(0)=1,故曲线)匸金)在点(0,0)处的切线方程为)r,故选D.
解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:
(1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切点.
(2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建立方程组.
(3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.
2.(2014课标II,&5分,0.660)设曲线尸ov・ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为则妇()
A.OB.lC.2D.3
答案Dy=a■士j,当兀=0时,y=a・l=2,.•・d=3,故选D.
思路分析根据导数的几何意义得yJ=2,由此可求得a.
方法总结己知曲线在某点处的切线,求曲线方程中的参数时,常利用“切线的斜率等于曲线所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.
3.(2018课标II,13,5分)曲线尸21n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为.
答案y=2x
解析本题主要考查导数的几何意义.
2
因为27+t?
所以卩心=2,又(o,o)为切点,
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为尸2上
4.(2018课标III,14,5分)曲线尸@+l)e'在点(0,1)处的切线的斜率为・2,则x.
答案・3
解析本题考查导数的综合应用.
设金)=(俶+1Q,则加=@+“+lQ,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f(0)=a+l=-2,解得d=3.
5.(2016课标III,15,5分)已知/⑴为偶函数,当兀V0时兀)=ln(・x)+3兀,则曲线)吋⑴在点(1厂3)处的切线方程是.
答案y=-2x-1
解析令兀>0,则-x<0,f(-x)=\nx-3x,y^f(-x)=f(x),
••/>)=ln炉3心>0),则广(兀)二-・3(兀>0),・•・广
(1)=-2,・•・在点(1,・3)处的切线方程为),+3=2(r1),即尸-2x-l.
思路分析根据函数代兀)是偶函数,求出兀>0时函数/(兀)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.
6<(2016课标II,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线)=ln(x+l)的切线贝Jb二
答案Mn2解析直线y=kx+b与曲线尸Inx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为4(兀』)0(兀2』2),由y=lnx+2得
)」=丄,由)=ln(x+l)得,.I比=丄=—1—-,兀2=?
・1,・・・yi=ln^+2,y2=-ln上即A
•V"T"1X]十1KK
”A+2冋p,一两*B在直线+止
b=\-\n2,d=2・
to
思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.
加iT
7.(2014课标I,21,12分,0.244)设函数/⑴二卅Inx+——,曲线尸蚣)在点(1,/U))处的切线方程为y=e(x-l)+2.
⑴求a,b;
(2)证明:
Ax)>l・
解析⑴函数/⑴的定义域为(0,+oo),/'(x)=6/e'lnx+-e'--^-ev,+-ex*!
.
XXX
由题意可得A1)=2,广
(1)=e.故《=1,b=2.
(2)由
(1)矢口,兀¥)=小11x+-c",从而心)>1等价于xlnx>xe
xe
设函数g(x)=xlnx,则g\x)=1+lnx
所以当炸(0,丄]时,g©)v0;当兀W(丄,+8]时,g(兀)>0・
le丿le丿
故g(JC)在fo,lU单调递减,在]丄,+』上单调递增,从而g(x)在(0,4-00)上的最小值为g(11=.1.
Ie丿\e丿(e丿e
2设函数/2(x)=xer—,则/7r(x)=ex(l-x).
e
所以当XW(0,1)时,丹(兀)>0;当xe(i,+oo)时,h\x)<0.
故加兀)在(0,1)上单调递增,在(l,+oo)上单调递减,从而此)在(0,+oo)上的最大值为/?
(1)=--.
e
综上,当Q0时,g(x)>h(x\即/U)>1・
思路分析
(1)利用导数的几何意义及切线过切点求的值;
09
⑵利用
(1)得怒)的解析式,将心)>1等价转化为刘nx>xev-二,构造函数^(x)=xlnx,/?
(x)=xev--,再利ee
用导数分别求出gaM/gmax,进而得&(劝>此),从而证得原不等式成立.
方法总结证明不等式,可构造函数,转化为求解函数最值的问题.
B组自主命题•省(区、市)卷题组
考点一导数的概念及其几何意义
1.(2016山东,10,5分)若函数)吋⑴的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=/U)具有T性质•下列函数中具有T性质的是()
A.y=sinxB.y=lnxC.y=e'D.y=x3
答案A设函数图象上的两点分别为J,(矩,力),且七工七,则由题意知只需函数)泓劝满足raj•广(对=1即可•皿)5兀的导函数为门兀匸cos%,则广(0)•广(兀)二1,故函数尸血兀具有t性质;y^/(x)=ln兀的导函数为/'G)=-,贝9广(xj•广(兀2)=」一>0,故函数y=ln兀不具有T性质;y=f(x)=cx
X
的导函数为广(兀)£,则广(七)•广(矩)=尹忑>0,故函数尸疋不具有T性质;尸心)“的导函数为T(x)=3点则广g)•广(对=9彳球$0,故函数尸X3不具有T性质.故选A.
2.(2014江西,13,5分)若曲线尸申上点P处的切线平行于直线2x+y+l=0,则点P的坐标是.
答案(-In2,2)
解析令沧)=氏贝lj/*(x)=-e\设PC"。
),则广(心)=严=2,解得心=ln2,所以y0=e^=e性2,所以点P的坐标为(・ln2,2).
3.(2015陕西,15,5分)设曲线尸e'在点(0,1)处的切线与曲线尸丄(兀>0)上点P处的切线垂直,则P的
X
坐标为.
答案(1,1)
解析•・・函数的导函数为y",
・・・曲线〉"在点(0,1)处的切线的斜率k^=l.
设P(xoJo)(^j>O),
・・•函数尸丄的导函数为卩=丄,
XJC
.・・曲线y=l(x>0)在点P处的切线的斜率危=亠,
由题意知kh=・\,即1/-4]=1,
I耳丿
解得沪1,又如>0,
•■Xo=1■
又•・•点P在曲线y二丄(x>0)上,
X
・・・yo=l,故点P的坐标为(1,1).
4.(2016北京,18,13分)设函数心)=兀严+加,曲线y寸⑴在点(2,人2))处的切线方程为尸(e・l)x+4.
⑴求的值;
⑵求/⑴的单调区间.
解析⑴因为!
心)="“+加,所以广(劝=(1羽严+b.
解得u=2,b=e.
⑵由⑴知幷i)y+ex・
由广(兀)二e"(1・x+e")及e">0知,广(x)与1-x+e1'1同号.
令g(x)=1-x+ex'*,则gQ)=1+e'd.
所以,当用(・8,1)时,gG)<0,g(x)在区间上单调递减;
当兀丘(1,+8)时9g\x)>0,g(x)在区间(1,+8)上单调递增.
故&
(1)=1是g(X)在区间(・°°,+8)上的最小值,
从而g(X)>0/W(・8,+8).
综上可知,广(兀)>0,炸(・8,+OO).故心)的单调递增区间为(・8,+OO).
考点二定积分的运算及应用
1.(2014山东,6,5分)直线严4兀与曲线y*在第一象限内围成的封闭图形的面积为()
A.2逅B.4V2C.2D.4
答案D由=得x=0或=2或兀=2(舍).
y=x
5=jJ4x-x3)dx=^2x2-|o=4.
评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.
2.(2014江西,8,5分)若沧)“+2打(x)dr,则打(x)d*()
A.-lB.-—C.—D.1
33
、11
+2inxI?
=-+2wi解得加=故选B.
答案B
令J:
/(x)d¥=m,贝"(x)=x2+2m,所以J:
/(x)cIy=J:
("+2〃?
)dx=
3.(2014湖北,6,5分)若函数/(x),g(x)满足贝x)g(x)dA=0,则称/⑴,g(x)为区间卜1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:
®/(x)=sin|x,^(x)=cos卜;②/(x)=x+1,g(x)=x・1:
③/⑴=x,g(x)=*
其中为区间卜1,1]上的正交函数的组数是()
A.OB.lC.2D.3
答案C由①得/⑴g(x)=sin、cos、=*sinx,是奇函数,所以J]/(x)g(x)d¥=0,所以①为区间卜1,1]上的正交函数;由②得/⑴g(x)*・1,所以\j(x)g(x)dx=L(x2-1)cLr=^
是区间卜1,1]上的正交函数;由③得/⑴g(Q*,是奇函数,所以L/Wg(x)go,所以③为区间卜1,
1]上的正交函数.故选C.
b€egDa?
答案A
4.(2014湖南,9,5分)己知函数/⑴二sin(:
w),且J打⑴ck=0,则函数心)的图象的一条对称轴是
()
a5龙
A.x=—
6
2亓2打
由J;J()3sin(x-^)cU=-cos(x-^)|03
71
X-—
3丿
令兀上以兀+兰,kez,得e刼+乜,ke乙即几x)的图象的对称轴是x=hi+迴,kgz,故选A.
3266
5.(2015湖南,11,5分)^(x-l)dx=.
答案0
r2(1、c
解析f0(x_1)dA=-x2-xo=(2-2)-0=0.
'丄/
6.(2015天津,11,5分)曲线y“与直线尸兀所围成的封闭图形的面积为.
解析曲线尸X2与直线尸X所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由
y
C组教师专用题组
考点一导数的概念及其几何意义
1.(2013湖北,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(r)=7-3r+竺(啲单位:
s,”的单位:
m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离弹位:
m)是()
1+r
A.l+251n5B.8+251nll
3
C.4+251n5D.4+501n2
答案C由v(r)=0得=4.故刹车距离为ov(r)dr=
2.(2012课标,12,5分)设点P在曲线严討上,点0在曲线严ln(2x)上,则P0的最小值为()
A.l-ln2B.V2(l-ln2)
C.l+ln2D.>/2(l+ln2)
答案B由y=yel得凸2y,所以日n2y,所以尸卜'的反函数为尸In2兀所以尸与)=ln2兀的图象关于直线对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(In20=丄=1,解得5=1,令]打卜1,解得匕如2,所以两点为(1,In2)和(In2,1),
x12丿
故J=V2(l-ln2),故选B.
3.(2013江西,13,5分)设函数/⑴在(0,+8)内可导,且/©0+巴则T(l)=.
答案2
解析令凸匚则巾)=ln出,所以沧)=ln兀+心>0),所以广(兀)二丄+1,所以广⑴二1+1=2.
X
4.(2013北京,18,13分)设厶为曲线C:
尸牛在点(1,0)处的切线.
(1)求厶的方程;
⑵证明滁切点(1,0)之外,曲线C在直线厶的下方.
解析⑴设沧匸旦,则广(2兽.
X
所以f⑴=1.所以厶的方程为尸
⑵证明:
令gd)=v・l呎兀)侧除切点之外,曲线C在直线厶的下方等价于g(x)>0(WQ0,兀主1).g(x)满足g(l)=0,且g\x)=1-fG)=*T:
】n兀
X
当O 当兀>1时,xM>0,lnx>0,所以g©)>0,故g(x)单调递增. 所以,ga)>g(l)=0(VQ0X1). 所以除切点之外,曲线C在直线乙的下方. 考点二定积分的运算及应用 1.(2014陕西,3,5分)定积分Jo(2x+ex)cLr的值为() A.e+2B.e+1C.eD.e-1 答案Cf*(2x+e')dx=(x2+eA)|;=l+e*-l=e,tt选C. 2.(2013江西,6,5分)若盼卜址鼻=J: 丄氏S3=Jgg则&込,5的大小关系为() X A.5,<52<53B.S2<5,<53C.S2<53 答案B5,=|x|? =p S2=lnx|=ln2,53=e'|]=e2-e. 77 Vln2<1<-,e2-e=e(e-1)>e>-, JJ 故S2V&VS3,选B. 3.(2011课标,9,5分)由曲线尸長,直线2及y轴所围成的图形的面积为() A.—B.4C—D.6 33 答案C如图阴影部分面积即为所求,求得曲线严仮与直线)=炉2的交点为A(4,2), /.5^i=J4(Vx-x+2)ch-=f-|x2 _16 ・ 3 错因分析由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因.评析本题考查定积分运算及定积分的几何意义,属容易题. 4.(2015陕西,16,5分)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物 线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为• 答案1.2解析建立直角坐标系,如图. C y B 一/. D0 AEx 过B作BE丄兀轴于点E,VZBAE=45°,BE=2,: .AE=2,又OE=5,・・・A(3,O)0(5,2).设抛物线的方程为 代2py(p>0),将点B的坐标代入得p斗,故抛物线的方程为尸**从而曲边三角形OEB的面积 ■厶」 又Saab£=亍x2x2=2, 故曲边三角形OAB的面积为扌,从而图中阴影部分的面积为? 又易知等腰梯形4BCD的面积为也x2=16, 2 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 =1.2. 5.(2013湖南,12,5分)若]工山=9,则常数T的值为_ 答案3 解析flx2dx=^-|J=^-=9,解得T=3. 6.(2013福建,15,5分)当兀WR,lxlvl时,有如下表达式: 1+x+x2+u■・+#+・・・=—? —. 1-x J: ldr+f2xdx+f2x2dx+...4- JoJo 从而得到如下等式: 1} 2> ・1 +-X +…+七唔)+...=ln2. 两边同时积分得: lx|+^x 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: |\2/・、3•彳.\w+1 答案1 +*”£]+...+占C;;x [丄丄1 解析q+cb+c訂+…+C: ;#=(1+M两边同时积分得: J0dx+#C;迪+£C沁+・・・+£C: 21 ■'3 灿=£(1+g,从而得到如下等式: c訣出c;X(g +…+——-n+\ ZI+1] 三年模拟 A组2016—2018年高考模拟•基础题组 考点一导数的概念及其几何意义 1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数心)的导函数是f(x),且满足/⑴=2护l)+ln丄,则几1)= 人 () A.-eB.2C.-2D.e 答案b由已知得八兀)二? r(i)■丄,令q1得广⑴二护⑴・i,解得r(i)=i,则/u)=? r(i)=2. A 2.(2018广东深圳二模,7)设函数/⑴=兀+丄+0若曲线尸心)在点(dj@))处的切线经过坐标原点, X 则如() A.lB.OC.-lD.-2 答案D由题意可得J(a)=a+丄+b,广(x)=l・所以广@)=1-丄,故切线方程^.y-a-—-b=axaa (z),将(0,0)代入得 -a---b=(i-_L^I(-6Z),故,故ab=-2,故选D. a\a~)a 3.(2017山西名校联考,3)若函数心)的导函数的图象关于y轴对称,则沧)的解析式可能为() Ay(x)=3cosxBy(x)=x34-x2 C.f(x)=1+sin2xDy(x)=ev+x 答案CA选项中,/G)=3sinx,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中J'(x)=3x2+2x9其图象的对称轴为厂冷,排除B选项;C选项中,广(x)=2cos2兀其图象关于y轴对称;D选项中,/*(%)=疋+1,其图象不关于y轴对称. 4.(2016安徽安庆二模,7)给出定义: 欣f(x)是函数产他)的导函数,/©)是函数厂(劝的导函数,若方程厂'0)=0有实数解心则称点(心几⑹)为函数冃⑴的“拐点”•己知函数/⑴=3x+4sin兀・cos兀的拐点是M(xo,/U))),则点M() A.在直线y=・3兀上B.在直线y=3兀上 C.在直线y=・4x上D.在直线y=4x上 答案B广(x)=3+4cosx+sinx,fr,(x)=-4sinx+cosx,结合题意知4sinx0-cosxo=O,所以心>)=3xo,故M(x(),沧0))在直线y=3兀上.故选B. 5.(2018安徽淮南一模,21)已知函数/⑴“・lnx. (1)求函数/(x)在点(1,/ (1))处的切线方程; ⑵在函^f(x)=x2-\nx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横 坐标都在区间[*,1]上? 若存在,求出这两点的坐标,若不存在,请说明理由. g,l]不妨设MS,结合题意 解析⑴由题意可得/⑴=1,且f(x)=2r-,广⑴=2・1=1,则所求切线方程为y・l=lx(x・l),即尸x.•X ⑵假设存在两点满足题意,且设切点坐标为(兀小),(如力),则兀"^和 (1)中求得的导函数解析式可得[2曲-丄2兀2-丄=-1, X\X2) 討|上单调递增,函数的值域为卜1,1], 码=一1,也=_丄舍去],・2丿 故-1^2xr丄<加2・丄W1,据此有< 解得匕=丄,兀2=] 2 故存在两点fl,in2+-l(M)满足题意.匕4) 考点二定积分的运算及应用 1. (2018安徽淮南一模,4)求曲线与)=x所围成的封闭图形的面积S,正确的是() 答案B两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故对兀积分时,积分上限是1,下限是0,由于在[0, 1]上,x故曲线y"与所围成的封闭图形的面积S=J: (xW)dY(同理可知对『积分时,S=f (77・y)dy). 2.(2018湖北孝感模拟,5)已知「讣-加卄斗,则加的值为( 3. 4.(2018河南郑州一模,6)汽车以v=(3r+2)m/s做变速运动时,在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是() 1113 A.5mB.—mC.6mD.—m 22 答案D根据题意,汽车以x(3f+2)m/s做变速运动时,汽车在第Is至第2s之间的Is内经过的路程$=[(3r+2)ck=弓~+2“|m,故选D. 5. ,则[;卩(x2-2x)dx=() (2017河南百校联盟4月模拟,7)已知丄+丄=2血,若卩W0,壬sin(pcos。 v/ B,4c.|D.-| 333 A丄 几3 6.(2016山东威海一模,11)曲线尸sinx(OWxWTr)与兀轴围成的封闭区域的面积为 答案2 解析由题意知封闭区域的面积S=J.sinxcU=・cosxr70=-costi-(-cos0)=1-(-1)=2. 7.(2017江西南城一中、高安中学等9校联考,14)f*(2x+. 答案1+| 解析['\J\-x2ck表示以原点为圆心,以1为半径的圆的面积的士,.・.a/1—x2dA=f•又TJ*。 2xdr=x2lo=1, /.J: (2x+J1_x2)dx=J: 2xdx+J: Jl-Fdx=l+f. B组2016—2018年高考模拟■综合题组 (时间: 25分钟分值: 35分) 一、选择题(每题5分,共20分) 1.(2018湖南株洲二模,9)设函数尸兀sinx+cos兀的图象在点(『J⑴)处的切线斜率为g(f),则函数尸g(r)图象的一部分可以是() 答案A由y=xsinx+cosx可f#/=sinx+xcosx-sinx=xcos儿则g(f)=fcos人g⑴是奇函数,排除选项B,D;当圧(0冷)时,y>0,排除选项C.故选A. 思路分析求出函数的导函数,得到切线斜率的解析式,然后判断图象. 易错警示求导时注意不要计算错误. 2. (2018安徽淮北一模,12)若存在实数x使得关于x的不等式(已疔+牙么优+匕运亍成立,则实数a的取值范围是() 答案A存在实数X使不等式(e'-6/)W-26/W^y成立,即[(eS)2+H2ar+/UW*,易知(已疔+F・2dx+C『即为e・亦+(炉0)2,表示点(*e)与(d,G)的距离的平方.由(d,a)在直线/: y=x_Jt,设与直线/平行且与曲线湘切的直线的切点为(加肋,可得切线的斜率为孑=1,解得加=0,・・・心1,切点为(0,1),由切点到直线/的距离为直线/上的点与曲线上的点之间的距离的最小值,可得(0・疔+(山)2弓,解得。 斗则a的取值集合为出.故选A. 解题关键将(eT+込2q+/转化为(S+(S,得其表示点(兀,眄与(3)的距离的平方是求解本题的关键. 3.(2018安徽江南十校4月联考,10)若曲线与曲线3弓@>0)存在公共切线,则°的取值 范围为() 答案D曲线在点伽,肿)的切线斜率为2“曲线尸匕@>0)在点仏丄的切线斜率为丄a\a)a 1w2--en 叭如果两条曲线存在公共切线,那么2m=-e.又由直线的斜率公式得到加二一,则有加=2/7 am—n ・2,则由题意知4n-4=lew有解,即),=4十4,尸丄e*的图象有交点.若直线尸4r4与曲线)=丄廿相切,设ciaa 切点为(叩),则丄凸4,且=4$・4=丄匕可得切点为(2,4),此时丄二△,故要使满足题意,需丄则aaaae-ae" M兰,故G的取值范围是dM兰.故选D. 44 解题关键将原问题
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- 高考 数学 理科 年高 模拟 精选 课件 全国卷 地区 通用 31 导数 积分