人教版数学第十三章轴对称第5讲轴对称及轴对称变换.docx
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人教版数学第十三章轴对称第5讲轴对称及轴对称变换
第3讲轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1.轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质:
①关于某直线对称的两个图形是全等形;②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;③两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
2.线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线,它反映了与线段的两种关系:
①位置关系——垂直;②数量关系——平分.
性质定理:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线)、或求几条折线段的最小值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件.
经典·考题·赏析
【例1】如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是()
【解法指导】对折问题即是轴对称问题,折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01.将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是()
02.如图,将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠,使点A落在点G上,点D落在点H上;然后再沿虚线GH折叠,使B落在点E上,点C落在点F上,叠完后,剪一个直径在BC上的半圆,再展开,则展开后的图形为()
【例2】如图,在边长为1的正方形网格中,将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’,则与点B’关于x轴对称的点的坐标是()
A.(0,-1)B.(1,1)C.(2,-1)D.(1,-1)
【解法指导】在△ABC中,点B的坐标为(-1,1),将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’,由点的坐标平移规律可得B’(-1+2,1),即B’(1,1).由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是(1,-1),故应选D.
【变式题组】
01.若点P(-2,3)与点Q(a,b)关于x轴对称,则a、b的值分别是()
A.-2,3B.2,3C.-2,-3D.2,-3
02.在直角坐标系中,已知点P(-3,2),点Q是点P关于x轴的对称点,将点Q向右平移4个单位得到点R,则点R的坐标是___________.
03.已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围为___________.
【例3】如图,将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°),沿线段CD折叠,使点B落在B1处,若∠ACB1=70°,则∠ACD=()
A.30°B.20°C.15°D.10°
【解法指导】由折叠知∠BCD=∠B1CD.设∠ACD=x,则∠BCD=∠B1CD=∠ACB1+∠ACD=70°+x.又∠ACD+∠BCD=∠ACB,即x+(70°+x)=90°,故x=10°.故选D.
【变式题组】
01.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB=65°,则∠AED’等于()
A.70°B.65°C.50°D.25°
02.如图,△ABC中,∠A=30°,以BE为边,将此三角形对折,其次,又以BA为边,再一次对折,C点落在BE上,此时∠CDB=82°,则原三角形中∠B=___________.
03.⑴观察与发现:
小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片(如图①);再次折叠该三角形纸片,使点A和点D重合,折痕为EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?
请说明理由.
⑵实践与运用:
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为BE(如图③);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D’处,折痕为EG(如图④);再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,EF是AD的垂直平分线,E为垂足,EF交BC的延长线于点F,求证:
∠B=∠CAF.
【解法指导】∵EF是AD的中垂线,则可得△AEF≌△DEF,∴∠EAF=∠EDF.从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可.
证明:
∵EF是AD的中垂线,∴AE=DE,∠AEF=∠DEF,EF=EF,∴△AEF≌△DEF,∴∠2+∠4=∠3,∴∠3=∠B+∠1,∴∠2+∠4=∠B+∠1,∵∠1=∠2,∴∠B=∠4
【变式题组】
01.如图,点D在△ABC的BC边上,且BC=BD+AD,则点D在__________的垂直平分线上.
02.如图,△ABC中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC于E,且AE=EC,若AB=3cm,则DC=___________cm.
03.如图,△ABC中,∠BAC=126°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,则∠EAG=___________.
04.△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线交AC于F,若AB=12cm,△BCF的周长为20cm,则△ABC的周长是___________cm.
【例5】如图,在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称,请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF.
【解法指导】在正方形格点图中,如果已知条件中没有给对称轴,在找对称轴时,通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴.若以图案居中的水平直线为对称轴,所作的△DEF如图①②③所示;若以图案居中的竖直直线为对称轴,所作的△DEF如图④所示;若以图案居中的斜线为对称轴,所作的△DEF如图⑤⑥所示.
【变式题组】
01.如图,在2×2的正方形格点图中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有___________个.
02.如图甲,正方形被划分成16个全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑,且满足下列条件:
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半;
⑵涂黑部分成轴对称图形.
如图乙是一种涂法,请在图1-3中分别设计另外三种涂法.(在所设计的图案中,若涂黑部分全等,则认为是同一种不同涂法,如图乙与图丙)
【例6】如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家,试问在何处饮水,所求路程最短?
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M,使其AM+BM为最小;⑵本题利用轴对称知识进行解答.
解:
先作点A关于直线CD的对称点A’,连接A’B交CD于点M,则点M为所求,下面证明此时的AM+BM最小.
证明:
在CD上任取与M不重合的点M’,
∵AA’关于CD对称,∴CD为线段AA’的中垂线,
∴AM=A’M,M’=A’M’,在△A’M’B中,有A’B<A’M’+BM’,
∴A’M+BM<A’M’+BM’,∴AM+BM<AM’+BM’,
即AM+BM最小.
【变式题组】
01.设直线l是一条河,P、Q两地相距8千米,P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米,欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水.现在如下四种铺设管道方案,图中的实线表示辅设的管道,则铺设的管道最短的是()
02.若点A、B是锐角∠MON内两点,请在OM、ON上确定点C、点D,使四边形ABCD周长最小,写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.
演练巩固·反馈提高
01.如图,△ABC与△A’B’C’关于直线l对称,且∠A=78°,∠C’=48°,则∠B的度数是().
A.48°B.54°C.74°D.78°
02.如图,把一张长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()
A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形
03.图1是四边形纸片ABCD,其中∠B=120°,∠D=50°,若将其右下角向内折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如图2所示,则∠C=()
A.80°B.85°C.95°D.110°
04.如图,阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形,若点A的坐标是(1,3),则点M和点N的坐标分别是()
A.M(1,-3),N(-1,-3)B.M(-1,-3),N(-1,3)
C.M(-1,-3),N(1,-3)D.M(-1,3),N(1,-3)
07.如图,镜子中号码的实际号码是___________.
08.如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为___________cm2.
05.点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是(-3,5),则点P关于y轴对称的对称点的坐标是()
A.(3,-5)B.(-5,3)C.(3,5)D.(5,3)
06.已知M(1-a,2a+2)关于y轴对称的点在第二象限,则a的取值范围是()
A.-1<a<1B.-1≤a≤1C.a>1D.a>-1
09.已知点A(2a+3b,-2)和B(8,3a+2b)关于x轴对称,则a+b=___________.
10.如图,在△ABC中,OE、OF分别是AB、AC中垂线,且∠ABO=20°,∠ABC=45°,求∠BAC和∠ACB的度数.
11.如图,C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点,A、B是桌面上的两个球,怎样击打A球,才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球?
请画出A球经过的路线,并写出作法.
12.如图,P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点,PM⊥BC于M,PN⊥BA的延长线于N.求证:
AN=MC.
13.有如图“
”的8张纸条,用每4张拼成一个正方形图案,拼成的正方形的每一行和每一列中,同色的小正方形仅为2个,且使每个正方形图案都是轴对称图形,在网格中画出你拼成的图.(画出的两个图案不能全等)
培优升级·奥赛检测
01.在平面直角坐标系中,直线l过点M(3,0),且平行于y轴.
⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1,△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2,写出△A2B2C2的三个顶点的坐标;
⑵如果点P的坐标是(-a,0),其中a>0,点P关于y轴的对称点是点P1,点P1关于直线l的对称点是P2,求PP2的长.
02.已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于P、M.
⑴求证:
AB=CD;
⑵若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由.
03.在△ABC中,∠BAC=90°,点A关于BC边的对称点为A’,点B关于AC边的对称点为B’,点C关于AB边的对称点为C’,若S△ABC=1,求S△A’B’C’.
04.小王同学在小组数学活动中,给本小组出了这样一道“对称跳棋”题:
如图,在作业本上画一条直线l,在直线l两边各放一粒围棋子A、B,使线段AB长a厘米,并关于直线l对称,在图中P1处有一粒跳棋子,P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米,按以下程序起跳:
第1次,从P1点以A为对称中心跳至P2点;第2次,从P2点以l为对称轴跳至P3点;第3次,从P3点以B为对称中心跳至P4点;第4次,从P4以l为对称轴跳至P1点;
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母;(画图工具不限)
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下,假设a=8,b=6,c=3,计算这时它与A的距离是多少?
05.如图,已知平面直角坐标系,A、B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).
⑴若P(p,0)是x轴上的一个动点,则当p=___________时,△PAB的周长最短;
⑵若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点,则当a=___________时,四边形ABCD的周长最短;
⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点,请问:
是否存在这样的点M(m,0)、N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?
若存在,请求出m=___________,n=___________(不必写解答过程);若不存在,请说明理由.
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- 人教版 数学 第十三 轴对称 变换