《轴对称》整章讲学.docx
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《轴对称》整章讲学
轴对称
轴对称
(1)
学习过程:
一、探究活动
(一)
1.动手做剪纸:
(1)将一张长方形的纸对折;
(2)在纸上画出一个你喜欢的图形;
(3)沿线条剪下;(4)把纸展开;
2.观察下面的图形,它们有什么共同特征?
3.结论:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做,这条直线就是它的。
这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
二:
尝试应用
(一)
1.先想后做:
下面图形是轴对称图形吗?
如果是,请画出它们的对称轴。
等腰三角形等腰梯形等边三角形
平行四边形正方形圆
2.想一想下列英文字母中,那些是轴对称图形?
3.猜字游戏(抢答)
在艺术字中,有些汉字是轴对称的,
猜猜下列是哪些字的一半?
三:
探究活动
(二)
1.
(1).看下面两组图形,和刚才的蝴蝶,枫叶等比较,有什么不同?
第一组第二组
(2)思考:
这两幅图有什么共同点?
2.结论:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形这条直线叫做,折叠后重合的点是对应点,叫做。
四:
尝试应用
(二)
1.下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗?
如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对称点。
2.说出图中点A、B、C、D、E的对称点。
3.思考:
(1)成轴对称的两个图形全等吗?
(2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?
这两个图形对称吗?
(3)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个什么图形?
4.比较归纳。
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别
个图形
个图形
联系
1.沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够
2.都有
3.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形,那么这个图形
就是如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条直线
五:
链接中考
1.下图是由小正方形组成的“L”形图。
请你在下图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形。
2.图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称?
整个图形是轴对称图形吗?
它共有几条对称轴?
六:
智力测验:
1.
2.一辆汽车的车牌在水中的倒影如下图所示,你能确定该车的车牌号码吗?
七:
课堂小结:
本节课你有什么收获?
12.1.2轴对称
(2)
学习目标:
1.探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观念。
2.探索线段垂直平分线的性质,培养自己认真探究、积极思考的能力。
学习过程:
复习:
如图所示,它们都是对称图形,请观察并指出哪些是轴对称图形,哪些图形成轴对称.
探究新知
(一)轴对称的性质
1.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称,点A′B′C′分别是点A、B、C的对称点,线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系?
(1)设AA′交对称轴MN于点P,将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后,点A与A′重合吗?
于是有PA=,∠MPA==度
(2)对于其他的对应点,如点B、B′,C、C′也有类似的情况吗?
(3)那么MN与线段AA′,BB′,CC′的连线有什么关系呢?
2.垂直平分线的定义:
经过线段并且这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
3.轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么是任何一对对应点所连线段的
类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4.练习:
教材P32图12.1-5
(二)线段垂直平分线的性质
1.探究:
教材P32
2.归纳,线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的与这条线段的距离
3.思考:
反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?
探究:
教材P33
4.归纳:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的上.
二、巩固提高:
例1如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求ΔABD的周长?
2.△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。
练习:
教材P341,2.
3.某住宅小区拟栽种12棵风景树,若想栽成6行,每行4棵,且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案。
请你仿照举例在下面的方框中再设计两种不同的栽树方案(不写作法)
12.1.3轴对称(3)
学习目标:
1.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴。
2.作出轴对称图形的对称轴,即线段垂直平分线的尺规作图。
学习过程:
一、知识回顾
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对所连
的线。
二、学习新知
(一)思考:
教材P34思考
归纳:
作轴对称图形的对称轴的方法是:
找到一对,作出连接它们的
的线,就可以得到这两个图形的对称轴.
(二)应用
1.如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
2.已知线段AB,作出它的垂直平分线CD,并拼出线段的中点O.
3.如图,在五角星上作出一条对称轴
三、巩固提高:
练习:
教材P35第1、2、3题
4.如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半,
请你以树干为对称轴画出树的另一半。
四、当堂达标:
1.下列图形中,是轴对称图形的为()
A B C D
2.剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产,在民间广泛流传,下面的一组剪纸作品,属于轴对称图形的是()
3.下列说法中,正确的个数是( )
(1)轴对称图形只有一条对称轴,
(2)轴对称图形的对称轴是一条线段,(3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,(4)全等的两个图形一定成轴对称,(5)轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言。
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4.下列图形中,不是轴对称图形的是( )
A.两条相交直线B.线段
C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段
5.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点
C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点
6.在△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的中垂线交另一腰AC于D,连结BD,如果△BCD的周长是17cm,则腰长为()
A.12cmB6 cm C 7cm D5cm
7.如果⊿ABC与⊿A/B/C/关于直线l对称,且∠A=50°,∠B/=70°,那么∠C/=____。
8.成轴对称的两个图形的对应线段______,对应角______。
9.如果两个图形关于某直线对称,那么连结__________的线段被_________垂直平分
10.如图,∠MON内有一点P,PP1、PP2分别被OM、ON垂直平分,P1P2与OM、ON分别交于点A、B.若P1P2=10厘米,则△PAB的周长为()
A6厘米B8厘米C10厘米D12厘米
11.已知如图,四边形ABCD关于直线MN对称,其中A,C是对称点,则直线MN与线段AC的关系是__________.
12.2.1作轴对称图形
学习目标:
1.能够作轴对称图形。
2.能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。
学习过程:
一、学习新知:
1.探究轴对称前后两个图形的性质
⑴阅读教材P39的四辐图
⑵操作:
自己动手在纸上画一个图案,将这张纸折叠,描图,再打开纸,看看你得到了什么?
改变折痕的位置再试一次,你又得到了什么?
⑶归纳:
①由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形,这个图形与原图形的、完全相同。
②新图形上一个点,都是原图形上的某一点关于直线l的点。
③连接任意一对对应点的线段被对称轴
2.作轴对称图形
如图,已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
二、巩固提高
1.把下列图形补成关于L对称的图形。
2.如图,已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
实际应用:
1.要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
2.用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形,使拼成的图案是一个轴对称图形。
请你在图②、图③、图④中各画一种拼法(要求三种拼法各不相同)。
12.2.2用坐标表示轴对称
学习目标:
1.能够经过探索利用坐标来表示轴对称。
2.掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点。
学习过程:
一、知识回顾
已知△ABC,求作△A’B’C’,使它与△ABC关于直线l成轴对称
二、学习新知
(一)关于x轴、y轴对称的点的坐标特点
1.自主学习:
阅读教材P43,并完成书上探索研究并归纳:
2.归纳:
点(x,y)关于x轴对称的点的作标是;
点(x,y)关于y轴对称的点的作标是
3.练习:
教材P44练习第1题、第2题(完成于书上)
(二)应用:
例1.如图,四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),
C(-2,5),D(-5,4),分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形。
三、巩固提高
1.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标
(3,6)
(-7,9)
(-3,-5)
(6,-1)
(0,10)
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
2.点A(3,-12),B(3,12)关于_______轴对称,点C(-5.4,-10),D(5.4,-10)关于________轴对称。
3.已知点(2,x)和点(y,3)关于y轴对称,则(x+y)2011=。
4.已知点A(2x+y,-7)和点B(4,4y-x)关于x轴对称,求x,y的值
5.
(1)请画出
关于
轴对称的
(其中
分别是
的对应点,不写画法);
(2)直接写出
三点的坐标:
.
(3)△ABC的面积为。
6.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,4),B(-3,2),C(-2,1),
⑴作出△ABC关于直线x=1对称的图形
;
⑵写出
三点的坐标:
.
⑶如果点P(2,y)和Q(x,3)关于直线x=1
对称,则x=,y=。
12.3.1等腰三角形
(1)
学习目标:
1.了解等腰三角形的概念,掌握等腰三角形的性质。
2.运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
学习过程:
一、知识回顾
1.下列图形不一定是轴对称图形的是()A圆B长方形C线段D三角形
2.怎样的三角形是轴对称图形?
答:
3.有两边相等的三角形叫,相等的两边叫,另一边叫两腰的夹角叫,腰和底边的夹角叫
4.如图,在△ABC中,AB=AC,标出各部分名称
二、学习新知
(一)等腰三角形的性质
1.探究:
教材P49
把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,填入下表
2.归纳等腰三角形的性质:
性质1:
等腰三角形的两个相等(简写成“”)
性质2:
等腰三角形、、互相重合。
(简写成“”)
3.证明以上性质:
如图,已知在△ABC中,AB=AC,求证:
∠B=∠C.
(二)应用
例1.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
2.练习:
教材51练习第1题,第2题(完成于书上)
三、巩固提高
1.下列说法正确的是()
A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;B.顶角相等的两个等腰三角形全等
C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍;D.等腰三角形的两个底角相等
2.
中,
,有一点既在
的对称轴上,又在
对称轴上,则该点一定是()
A.
点B.
中点C.
中点D.
中点
3.已知
中,
,且
,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
6.
(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角的度数是
(2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角的度数是
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
8.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证BD=CE
12.3.1等腰三角形
(2)
学习目标:
1.理解等腰三角形的判定方法及应用。
2.通过对等腰三角形的判定方法的探索,体会探索学习的乐趣。
学习过程:
一、知识回顾
1.等腰三角形的两边长分别为6,8,则周长为
2.等腰三角形的周长为14,其中一边长为6,则另两边分别为
3.等腰三角形的一个角为70°,则另外两个角的度数是
4.等腰三角形的一个角为120°,则另外两个角的度数是
5.如图,在△ABC中,AB=AC,
(1)若AD平分∠BAC,那么、
(2)若BD=CD,那么、
(3)若AD⊥BC,那么、
二、学习新知
(一)等腰三角形的判定方法
1.思考:
(1)如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)?
(2)我们把这个问题一般化,在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
已知:
在△ABO中,∠A=∠B,求证:
AO=AO
2.等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的也相等(简写成)
(二)应用
1.求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
2.练习:
教材P53练习第1题,(完成于书上)
3.如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,求证:
OC=OD
三、巩固提高:
1、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:
AB=AD.
2.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E,求证△CEB是等腰三角形
3.思考题:
(l)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上题中,若AB=10㎝,AC=12㎝,求△ADE的周长?
12.3.2等边三角形
(1)
学习目标:
1.解并掌握等边三角形的定义,探索等边三角形的性质和判定方法
2.能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题
学习过程:
一、知识回顾
1.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的相等;
(2)等腰三角形、、互相重合;
2.等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形-------------三条边都的三角形,
这样的三角形叫做等边三角形。
二、学习新知
(一)等边三角形的性质和判定方法
1.思考:
(1)把等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等)用到等边三角形,能得到什么结论?
(2)一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
(3)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?
2.归纳:
(1)等边三角形的性质:
等边三角形的
(2)等边三角形的判定:
(二)应用
1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,AC于D,E。
求证△ADE是等边三角形。
2.探究:
等边三角形三条中线相交于一点。
画出图形,找出图中所有的全等三角形,并证明它们全等。
3.练习:
教材P54练习第1、2题(完成于书上)
三、巩固提高
例1已知:
如图,△ABC是等边三角形,D,E分别是AB、BC上两点,且AD=BE。
求证:
AE=CD。
2.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证:
BE=DC。
3.如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,求∠DBC的度数。
12.3.2等边三角形
(2)
学习目标:
1.证明直角三角形中有一个角为30°的性质.
2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用.
学习过程:
一、知识回顾
1.等边三角形的性质:
2.等边三角形的判定:
二、学习新知:
(一)探究:
教材P55
有一个角为30°的直角三角形的性质
1.问题:
用两个全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
2.由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能证明你的结论吗?
已知:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:
BC=
AB.
3.归纳:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么
(二)应用:
例1.右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?
2.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=20㎝,∠ABC=∠ACB=15°,求△ABC的面积?
练习:
教材P56练习(完成于书上)
三、巩固提高:
1.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:
BD=
AB.
2.已知:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
求证:
CD=2AD.
3.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:
BF=2CF.
第十二章轴对称训练题一
1,如图,已知DE是AC的垂直平分线,AB=10cm,BC=11cm,求ΔABD的周长?
2.,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。
3,把下列图形补成关于L对称的图形。
4,如图,已知△ABC和直线l,你能作出△ABC关于直线l对称的图形。
5,.要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
6,证明以上性质:
如图,已知在△ABC中,AB=AC,求证:
∠B=∠C.
第十二章轴对称训练题二
1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
2,如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=26°,求∠B和∠C的度数.
3,如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证BD=CE
4,求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
5,如图,AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB,求证:
OC=OD
6,如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证:
AB=AD.
第十二章轴对称训练题三
1,如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E,求证△CEB是等腰三角形
2,(l)如图,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE//BC,交AB于点D,交AC于E.问图中哪些三角形是等腰三角形?
(2)上题中,若AB=10㎝,AC=12㎝,求△ADE的周长?
3,如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB,AC于D,E。
求证△ADE是等边三角形。
4,等边三角形三条中线相交于一点。
画出图形,找出图中所有的全等三角形,并证明它们全等。
5,已知:
如图,△ABC是等边三角形,D,E分别是AB、BC上两点,且AD=BE。
求证:
AE=CD。
6,如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证:
BE=DC。
第十二章轴对称训练题四
1,如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,求∠DBC的度数。
2,右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°,立柱BD、DE要多长?
3,已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=20㎝,∠ABC=∠ACB=15°,求△ABC的面积?
4,.已知:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.求证:
BD=
AB.
5,已知:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线.
求证:
CD=2AD.
6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:
BF=2CF.
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