八年级之图形变换.docx
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八年级之图形变换.docx
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八年级之图形变换
八年级之图形变换
1、已知△ABC为等边三角形,E为直线BA上的一点,D为直线BC上一点,EC=ED.
(1)E在线段BA上(如图1)时,线段AE、AC、DC之间有怎样的数量关系?
F在线段BA的延长线上(如图2、图3)时,线段AE、AC、DC之间又有怎样的数量关系?
请写出结论;
(2)对
(1)中的结论,请你加以证明:
2、已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合,将此三角板绕A点旋转时,三角板的斜边交直线CD于P,连接PA,分别过点B、D作垂直PA的垂线,垂足分别为E、F
(1)当点P在边CD上时(如图1),求证BE=EF+DF;
(2)当点P在CD所在直线如图2、图3时,线段BE、EF、DF之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论;
(3)在图3中,连接BD,若四边形EBDF的面积为
AB=5,求DP的长。
3、已知四边形ABCD是由一个等边三角形和一个顶角为120°的等腰三角形拼成,将一个含60°的角的纸片的顶点放在D处,将该纸片旋转,设纸片60°角的两边分别交直线AB,AC于M,N两点。
(1)当M、N分别在边AB、AC上时(如图1),求证:
BM+CN=MN;
(2)当M、N分别在AB、AC所在直线上如图2,图3时,求线段BM、CN、MN之间又有怎样的数量关系,请写出结论并写出证明。
4、操作:
在△ABC中,AC=BC=2,∠C=900,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。
图①,②,③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。
研究:
(1)三角板绕点P旋转,观察线段PD和PE之间有什么数量关系?
并结合图②加以证明。
(2)三角板绕点P旋转,是否能居为等腰三角形?
若能,指出所有情况(即写出△PBE为等腰三角形时CE的长);若不能,请说明理由。
5、如图,在Rt⊿ABC中,AB=AC=2,∠BAC=900,将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上,以点P为旋转中心,转动三角板的两直角边PE、PF分别与线段AC、AB相交,交点分别为N、M,线段MN、AP相交于点D。
(1)请你猜出线段PN与PM的大小关系,并说明理由;
(2)设线段AM的长为x,⊿PMN的面积为y,请求出y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
6、已知等腰直角⊿ABC,一等腰直角板的一个锐角顶点与C点重合,将此三角板绕C点旋转时,三角板两边交直线AC于M、N。
(1)当M、N在⊿ABC斜边AB上时(如图1),求证:
AM2+BN2=MN2;
(2)当点M在AB上,点N在AB的延长线上时,猜想线段AM、BN和MN之间的数量关系,并证明你的猜想;
7、如图1,正方形ABCD的一边BC及一等腰直角三角板CEF斜边CF在同一条直线MN上,连接AF,点O为AF的中点,分别连接DO、EO;
(1)求证:
DO=EO,DO⊥EO;
(2)若将三角板CEF绕点C顺时针旋转α角(00<α<450)如图2,猜想线段DO与EO的位置关系与数量关系,并证明你的猜想。
8、
9、已知:
⊿ABC为直角三角形,∠BAC=900,D为BC边的中点,有一块直角三角板PMN,其中∠MPN=900,将它放在⊿ABC上,使得其顶点P与D点重合,旋转三角板PMN,在旋转过程中,三角板的两条直角边DM、DN分别于AB、BC边所在的直线交于点E、F,连结EF。
(1)当E、F分别在边AB、AC上(如图1)求证:
BE2+CF2=EF2
(2)当E、F分别在边AB、AC所在的直线上(如图2、图3)时线段BE、CF、EF之间的关系是否变化?
请写出结论并证明。
10、已知:
∠AOB=900,OM为∠AOB内的任意一条射线,点C为射线OM上任意一点,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB相交于点D、E。
(1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)求证:
OD2+OE2=OC2。
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时,在图2中∠ODC=450时,OD2、OE2、OC2之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并证明你的猜想;(3)在图3中∠ODC=600时OD2、OE2、OC2之间又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并计算当OD=5,OE=
时CD的长。
11、已知⊿ABC为等腰直角三角形,∠C=900,以C为顶点作∠ECF=450,CE交AB于E,CF交AB于F,当∠ECF绕点C在∠ACB内部旋转时;
(1)观察在点E、点F的位置发生变化时,AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF?
直接写出观察结果。
(2)AE、EF、FB这三条线段能否构成以EF为斜边的直角三角形,若能,请加以证明?
若不能,请说明理由;(3)当∠ECF旋转到∠ACB的外部(E在AB上,F在AB的延长线上)时,
(2)中的结论是否仍成立,如仍成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由。
(4)已知AE=4,BF=3,求AC的长。
12、已知:
如图1,等边△ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=1200,连接PA、PB、PC。
(1)求证:
PB+PC=PA;
(2)若P为△ABC内一点,∠BPC=1500,如图2,请猜想PA、PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想;
12、
在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的
长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,
然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时,
一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条
直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于
点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG
的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足
的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平
移到图15-3所示的位置(点F在线段AC上,
且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否
仍然成立?
(不用说明理由)
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