完整版勾股定理经典例题含答案.docx
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完整版勾股定理经典例题含答案
经典例题透析
种类一:
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
(1)已知a=6,c=10,求b,
(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.
思路点拨:
写解的过程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
分析:
(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=
(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=
(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=
贯通融会
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2-CD2=132-122=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
种类二:
勾股定理的结构应用
2、如图,已知:
在中,,,.求:
BC的长.
思路点拨:
由条件,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有
,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,从而求出BC的
长.
分析:
作于D,则因,
∴(的两个锐角互余)
∴(在中,假如一个锐角等于,
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
依据勾股定理,在中,
.
依据勾股定理,在中,
1
.
∴.
贯通融会【变式1】如图,已知:
,,于P.求证:
.
分析:
连结BM,依据勾股定理,在中,
.
而在中,则依据勾股定理有
.
∴
又∵(已知),
∴.
在中,依据勾股定理有
,
∴.
【变式2】已知:
如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
剖析:
怎样结构直角三角形是解本题的重点,能够连结AC,或延伸AB、DC交于F,或延伸AD、BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简单。
分析:
延伸AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
种类三:
勾股定理的实质应用
(一)
用勾股定理求两点之间的距离问题3、如
图所示,在一次夏令营活动中,小明从阵营A点出发,沿北偏东60°方向走了
抵达B点,而后再沿北偏西30°方向走了500m抵达目的地C点。
(1)
2
求A、C两点之间的距离。
(2)确立目的地C在阵营A的什么方向。
分析:
(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得:
BC=500m,AB=
由勾股定理可得:
所以
(2)在Rt△ABC中,
∵BC=500m,AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
贯通融会
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车可否经过该工厂的厂门?
【答案】因为厂门宽度能否足够卡车经过,只需看当卡车位于厂门正中间时其高度能否小于CH.如下图,点D在
离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.
解:
OC=1米(大门宽度一半),
OD=0.8米(卡车宽度一半)
在Rt△OCD中,由勾股定理得:
CD===0.6米,
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
所以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经过厂门.
3
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总企业为了改良乡村用电电费过高的现状,当前正在全国各地乡村进行电网改造,某地有四个乡村A、
B、C、D,且正好位于一个正方形的四个极点,现计划在四个乡村结合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪一种架设方案最省电线.
思路点拨:
解答本题的思路是:
最省电线就是线路长最短,经过利用勾股定理计算线路长,而后进行比较,得出结论.
分析:
设正方形的边长为1,则图
(1)、图
(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3
图(3)中,在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中,延伸EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH
由∠FBH=及勾股定理得:
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连结线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
贯通融会
【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点
A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短行程.
4
解:
如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,依据勾股定理得
(发问:
勾股定理)
∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).
答:
最短行程约为10.77cm.
种类四:
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
思路点拨:
由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边
长就是,近似地可作。
作法:
如下图
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边,作另向来角边为1的直角。
斜边为;
(3)按序这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是
、、、。
贯通融会【变式】在数轴上表示的点。
分析:
能够把看作是直角三角形的斜边,,
为了有益于绘图让其余两边的长为整数,
而10又是9和1这两个完好平方数的和,得此外两边分别是3和1。
作法:
如下图在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。
种类五:
抗命题与勾股定理逆定理
6、写出以下原命题的抗命题并判断能否正确
5
1.原命题:
猫有四只脚.(正确)
2.原命题:
对顶角相等(正确)
3.原命题:
线段垂直均分线上的点,到这条线段两头距离相等.(正确)
4.原命题:
角均分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨:
掌握原命题与抗命题的关系。
分析:
1.抗命题:
有四只脚的是猫(不正确)
2.抗命题:
相等的角是对顶角(不正确)
3.抗命题:
到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直均分线上.?
(正确)
4.抗命题:
到角两边距离相等的点,在这个角的均分线上.(正确)
总结升华:
本题是为了学习勾股定理的抗命题做准备。
7、假如ABC的三边分别为a、b、c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。
思路点拨:
要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从
该条件下手,解决问题。
222
分析:
由a+b+c+50=6a+8b+10c,得:
222
a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。
∴a=3,b=4,c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。
总结升华:
勾股定理的逆定理是经过数目关系来研究图形的地点关系的,在证明中也常要用到。
贯通融会【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
【答案】:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC能否为直角三角形.
剖析:
本题是利用勾股定理的的逆定理,只需证明:
a2+b2=c2即可
证明:
6
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。
请问FE与DE能否垂直?
请说明。
【答案】答:
DE⊥EF。
证明:
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连结DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
经典例题精析
种类一:
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
思路点拨:
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,能够先经过比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值从而求面积。
分析:
设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,依据题意得:
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96
总结升华:
直角三角形边的相关计算中,经常要设未知数,而后用勾股定理列方程(组)求解。
贯通融会【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D
则:
BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:
AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC=BC·AD=
注:
等边三角形面积公式:
若等边三角形边长为a,则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,依据题意得:
7
由
(1)得:
x+y=7,
(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)
(3)-
(2),得:
xy=12
∴直角三角形的面积是
xy=×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是
n+1,n+2,n+3,求n。
思路点拨:
第一要确立斜边(最长的边)长
n+3,而后利用勾股定理列方程求解。
解:
此直角三角形的斜边长为
n+3,由勾股定理可得:
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得:
n2=4
∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2
总结升华:
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的状况下,第一要先确立斜边,直角边。
【变式4】以以下各组数为边长,能构成直角三角形的是()
A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40
分析:
本题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,
对数据较大的能够用c2=a2+b2的变形:
b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
比如:
对于选择D,
∵82≠(40+39)×(40-39),
∴以8,39,40为边长不可以构成直角三角形。
同理能够判断其余选项。
【答案】:
A
【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。
解:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
222
∵AC+CD=169,AD=169
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36
种类二:
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假定拖沓机行驶
时,四周100m之内会遇到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校能否会遇到噪声影响?
请说
明原因,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨:
(1)要判断拖沓机的噪音能否影响学校A,实质上是看A到公路的距离能否小于100m,小于100m则受
影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。
(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖沓机对学
校A的影响所行驶的行程。
所以一定找到拖沓机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。
分析:
作AB⊥MN,垂足为B。
在RtABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,
∴AB=AP=80。
(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会遇到噪声的影响。
如图,假定拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始遇到影响,那么AC=100(m),
8
由勾股定理得:
BC2=1002-802=3600,∴BC=60。
同理,拖沓机行驶到点D处学校开始离开影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖沓机行驶的速度为:
18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答:
拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会遇到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺乏直角条件,则能够经过作协助垂线的方法,结构直角三
角形以便利用勾股定理。
贯通融会【变式1】如图学校有一块长方形花园,有很少量人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。
他们只是少走了__________步路(假定2步为1m),却踩伤了花草。
分析:
他们本来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm,则
故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m,所以他们只是少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角
形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?
平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作协助线)。
【答案】
(1)单位正三角形的高为,面积是。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,所以其面积。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如下图),则在Rt△ACK中,,
,故
种类三:
数学思想方法
(一)转变的思想方法
我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,经常作垂线,结构直角三角形,将问题转变为直角三角形问题来解决.
3、如下图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE
9
⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
思路点拨:
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以重点是线段的转变,依据直角三角形
的特点,三角形的中线有特别的性质,不如先连结AD.
解:
连结AD.
因为∠BAC=90°,AB=AC.又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB.AD⊥BC.且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°.又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理:
AF=BE=12.
在Rt△AEF中,依据勾股定理得:
,所以EF=13。
总结升华:
本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
经过本题,我们能够认识:
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应经过适合的转变把它们放在同向来角三角形中求解。
(二)方程的思想方法
4、如下图,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值。
思路点拨:
由,再找出、的关系即可求出和的值。
解:
在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,
则,由勾股定理,得。
因为,所以,
,,。
总结升华:
在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
贯通融会:
【变式】如下图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF
的长。
解:
因为△ADE与△AFE对于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,
在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,
所以。
所以。
设,则。
在Rt△ECF中,,即,解得。
即EF的长为5cm。
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