完整版勾股定理知识点及典型例题.docx
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完整版勾股定理知识点及典型例题
八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航
一、勾股定理:
a,b,斜边长为C,那么
1、勾股定理定义:
如果直角三角形的两直角边长分别为
a2+b2=C2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾:
直角三角形较短的直角边
股:
直角三角形较长的直角边
弦:
斜边
勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:
a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三
角形。
2.勾股数:
满足a2+b2=C2的三个正整数叫做勾股数(注意:
若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样
也是勾股数组。
)
*附:
常见勾股数:
3,4,5;6,8,10;9,12,15;5,12,13
3.判断直角三角形:
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
(经典直角
三角形:
勾三、股四、弦五)
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为C);
(2)若c2=3+孑,则^ABC是以/C为直角的三角形;
若a2+b2 若a2+b2>C2,则此三角形为锐角三角形(其中 4.注意: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 7、错误的描述方法: “当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 勾股定理: (一)结合三角形: 3.在 ABC中,AB=13AC=15,高AD=12贝UBC的长为 形状。 试说明: C=90。 状。 (二)、实际应用: 1.梯子滑动问题: (1)一架长2.5m的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7m(如图),如果梯子的顶端沿 墙下滑0.4m,那么梯子底端将向左滑动米 第3题图 (2) 下滑 8米,如果梯子的顶端 如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 ,“等于”,或“小于”) A沿AC方向下滑x米时,梯足B沿CB 1米,那么,梯子底端的滑动距离1米,(填“大于” 如图,梯子AB斜靠在墙面上,AC1BC,AC=BC当梯子的顶端 (3) 方向滑动y米,则x与y的大小关系是( A.X+yB.x>yC.x (4)小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多 后,发现绳子下端刚好触到地面,试问旗杆的高度为米 1m, 当他把绳子的下端拉开5米 2.直角边与斜边和斜边上的高的关系: 直角三角形两直角边长为a,b,斜边上的高为 h则下列式子总能成立的是( .,,22.2 A.abbB.a 22 b2hC. 111 ———D. abh 1 a2 1 h2 变: 如图, 在Rt△ABC中,/ ACB=90, 求证: (1) (2) 1 ~2 a a 1 bc b,h,ch (3) 为三边的三角形是直角三角形 试一试: (1) 只需证明h2^1 a2 古) 1,从左边推到到右边 (2) (3) h2 2 ch,注意面积关系abch的应用 3.爬行距离最短问题: 1.如图,一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,得到C1处有一只昆虫甲,在盒子的内部有一只昆虫乙(盒 壁的忽略不计) (1)假设昆虫甲在顶点Ci处静止不动,如图a,在盒子的内部我们先取棱BBi的中点E,再连结AE、ECi, 昆虫乙如果沿途径AEC1爬行,那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲,仔细体会其中的道理, 并在图b中画一条路径,使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行,同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。 (2)如图b,假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿C1C向下爬行,同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲? 试一试: 对于 (2),当昆虫甲从顶点沿棱C1C向顶点C爬行的同时,昆虫乙可以沿不同的路径爬行, 利用勾股定理建立时间方程,通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间 ni A1 A1 U b 2.如图,一块砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点F距地面的高FD=8cm,地面上吃食,要爬行的最短路线是 3.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,a和b是这个台阶两 相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分 米? 4.如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B,则它走过的路程最短为( A处的一只蚂蚁到B处 cm A.罷aB. 142a C. 3a D. J5a 5、如图,壁虎在一座底面半径为 它发现在自己的正上方油罐上边 B 缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿 一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少 6、如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬 行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟? 7葛藤是一种刁钻的植物,它自己腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常饶着树干盘旋而上,它还有一手绝招, 就是它绕树盘升的路线,总是沿着短路线一盘旋前进的。 难道植物也懂得数学吗? 如果阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗? 如果树的周长为3cm绕一圈升高4cm则它爬行路程是多少厘米? 如果树的周长为8cm绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米? 如果爬行10圈到达树顶,则树干高 多少厘米? 小。 冋最小是多少? 4、实际问题 3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离 是。 4.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米, /B=60°,则江面的宽度为。 5、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米, 假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否 会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为 多少? 5、求边长: 1.如图所示,在四边形ABCD中,/BAD=900,/DBC=9C0,AD=3AB=4,BC=12求CD 6、方向问题: 1.有一次,小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行,在A点望湖中小岛M测得/MAN=30°,当他到B点时,测得/MBN=45°,AB=100米,你能算出AM的长吗? 2.一轮船在大海中航行,它先向正北方向航行8km,接着,它又掉头向正东方向航行15千米. ⑴此时轮船离开出发点多少km? ⑵若轮船每航行1km,需耗油0.4升,那么在此过程中轮船共耗油多少升 7、折叠问题: 1.如图,矩形纸片ABCD的长AD=9cm,宽 多少? 2.如图,在长方形ABCD中,将△ABC沿AC对折至 △AEC位置,CE与AD交于点F。 (1)试说明: AF=FC (2)如果AB=3,BC=4,求AF的长 3.如图,在长方形ABCD中,DC=5在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为尸,若^ABF的面积为30,求折叠的^AED的面积 4.如图所示,有一个直角三角形纸片,两直角边现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边你能求出CD的长吗? 5.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边 AC=6BC=8将^ABC折叠,使点B与点 A重合,折痕为DE则CD等于() A. 4 25B.丝C.7d.5 43 6、如图, 矩形纸片 形纸片沿 AE折叠, D ABCD的边AB=10cmBC=6cmE为BC上一点,将矩 点B恰好落在CD边上的点G处,求BE的长. DCi E / /”\ A S 8利用勾股定理测量长度 如图,水池中离岸边 D点1.5米的C处,直立长 着一根芦苇,出水部分 BC的长是0.5米,把芦苇 拉到岸边,它的顶端 B恰好落到D点,并求水池 A D 的深度AC. 9、旋转问题 1、如图,P是等边三角形ABC内一点,PA=2,PB=2j3,PC=4, 求^ABC的边长。 2、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的 直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P: ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C? 若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由 ②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角 边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q, 与BC交于点E,能否使CE=2cm若能,请你求出这时AP的长; 若不能,请你说明理由 3、如图,正方形ABCD中,E是BC边上的中点,F是AB上一点,且 吗? 为什么?
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