李庆扬数值分析第五版第5章习题答案0808.docx
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李庆扬数值分析第五版第5章习题答案0808
第5章
复习与思考题
1、用高斯消去法为什么要选主元?
哪些方程组可以不选主元?
k
答:
使用高斯消去法时,在消元过程中可能出现a0的情况,这时消去法无法进行;即
kk
k
时主元素a0,但相对很小时,用其做除数,会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
kk
误差的扩散,最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元,以保证计算的进行和计
算的准确性。
当主对角元素明显占优(远大于同行或同列的元素)时,可以不用选择主元。
计算时一般选
择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系?
用它们解线性方程组Ax=b有何不同?
A要满足什么
条件?
答:
高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解,其中一个
为上三角矩阵U,一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算,减少计算量,提高计算精度。
A需要满足的条件是,顺序主子式(1,2,⋯,n-1)不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比,有什么优点?
楚列斯基分解是LU分解的一种,当限定下三角矩阵L的对角元素为正时,楚列斯基分解具
有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解?
为什么说平方根法计算稳定?
具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长,切对角元素恒为正数,因此,是一个稳定的
算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定?
对角占优的三对角方程组
6、何谓向量范数?
给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53,符合3个运算法则。
正定性
齐次性
三角不等式
设x为向量,则三种常用的向量范数为:
(第3章p53,第5章p165)
n
||x|||x|
1i
i1
1
n
22
||x||(x)
2i
i1
||x||max|xi|
1in
7、何谓矩阵范数?
何谓矩阵的算子范数?
给出矩阵A=(aij)的三种范数||A||1,||A||2,||
A||
∞,||A||1与||A||2哪个更容易计算?
为什么?
向量范数定义见p162,需要满足四个条件。
正定条件
齐次条件
三角不等式
相容条件
矩阵的算子范数有
||A||
1
||A||
2
||A||
从定义可知,||A||1更容易计算。
8、什么是矩阵的条件数?
如何判断线性方程组是病态的?
答:
设A为非奇异阵,称数
1
cond(A)vAA(v1,2,)为矩阵A的条件数
v
v
当cond(A)1时,方程是病态的。
9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异?
(1)矩阵行列式的值很小。
(2)矩阵的范数小。
(3)矩阵的范数大。
(4)矩阵的条件数小。
(5)矩阵的元素绝对值小。
接近奇异阵的有
(1)、
(2)
注:
矩阵的条件数小说明A是良态矩阵。
矩阵的元素绝对值小,不能说明行列式的值小等。
10、判断下列命题是否正确:
(1)只要矩阵A非奇异,则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax=b的解。
答:
错误,主元位置可能为0,导致无法计算结果。
(2)对称正定的线性方程组总是良态的。
答:
正确。
(3)一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。
答:
正确。
(4)如果A非奇异,则Ax=b的解的个数是由右端向量b的决定的。
答:
正确。
解释:
若A|b与A的秩相同,则A有唯一解。
若不同,则A无解。
(5)如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素,则矩阵必奇异。
(6)范数为零的矩阵一定是零矩阵。
答:
正确。
(7)奇异矩阵的范数一定是零。
答:
错误,可以不为0。
(8)如果矩阵对称,则||A||1=||A||
∞。
答:
根据范数的定义,正确。
(9)如果线性方程组是良态的,则高斯消去法可以不选主元。
答:
错误,不选主元时,可能除数为0。
(10)在求解非奇异性线性方程组时,即使系数矩阵病态,用列主元消去法产生的误差也很
小。
答:
错误。
对于病态方程组,选主元对误差的降低没有影响。
T||
(11)||A||1=||A
∞。
答:
根据范数的定义,正确。
(12)若A是nn的非奇异矩阵,则
cond(
1
A)cond(A)。
答:
正确。
A是nn的非奇异矩阵,则A存在逆矩阵。
1
cond(A)AA
根据条件数的定义有:
111111
cond(A)A(A)AAAA
习题
1、设A是对称阵且a110,经过高斯消去法一步后,A约化为
T
a
a
11
1
0A
2
,证明
A是对
2
称矩阵。
证明:
aa...a
11121n
设对称矩阵
A
aa...a
1222n2
............
,则经过1次高斯校区法后,有
aa...a
1n2nnn
aa...a
11121n
(1)
A
aa
121n
0aa...aa
2212n212
aa
1111
............
aa
1n1n
0aa...aa
2n12nn12
aa
1111
aa...a
11121n
aa
1212
0aa...aa
2212n21n
aa
1111
............
aa
1n1n
0aa...aa
n212nn1n
aa
1111
T
所以a1[a12...a2]
n
aa
1212
aa...aa
2212n21n
aa
1111
A
2
.........
aa
1n1n
aa...aa
n212nn1n
aa
1111
所以A2为对称矩阵。
2、设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为A(a),其中A(aij)n,
ijn
(2)
A2(aij)n1;
证明:
(1)A的对角元素0(1,2,,)
ain;
(2)
ii
A是对称正定矩阵;
2
T
(1)依次取xi(0,0,,0,1,0,,0),i1,2,,n,则因为A是对称正定矩阵,
i
T
所以有axAx0
ii。
(2)
aa
i11j
(ijn
2)
A中的元素满足ij,(,2,3,,),又因为A是对称正定
aa
2ij
a
11
矩阵,满足aija,i,j1,2,,n,所以
ji
aaaa
i11j1ij1
(2)
(2)
aijaaa,
ijjiji
aa
1111
即
A是对称矩阵。
2
3、设Lk为指标为k的初等下三角矩阵(除第k列对角元以下元素外,Lk和单位阵I相同),
即
1
...
L
k
1
m
k1,k
1
......
m
n,k
1
求证当i,jk时,
LILI也是一个指标为k的初等下三角矩阵,其中Iij为初等置换矩
kijkij
阵。
4、试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角矩阵,U为单位上三角矩
阵。
本题不推导。
参见书上例题。
P147页。
5、设Uxd,其中U为三角矩阵。
(1)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,并写出算法
(2)计算解三角方程组Uxd的乘除法次数
(3)设U为非奇异矩阵,试推导求
1
U的计算公式
本题考查求解公式的一般方法,可从第n个元素开始,逐步计算n-1,⋯1时对应的求解公式。
解法,略。
6、证明:
1
(1)如果A是对称正定矩阵,则
A也是对称正定矩阵
(2)如果A是对称正定矩阵,则A可以唯一地写成
T
ALL,其中L是具有正对角元的下
三角矩阵
均是对称正定矩阵的性质。
应予以记住。
7、用列主元消去法解线性方程组
12x3x3x15
123
18x3xx15
123
xxx
123
6
并求出系数矩阵A的行列式的值
1233
A1831
111
123315
A|b183115
1116
使用列主元消去法,有
123315
A|b183115
1116
183115
123315
1116
183115
7
015
3
0
71731
6186
183115
0
71731
6186
7
015
3
183115
0
71731
6186
00
6666
217
A的行列式为-66
方程组的解为
X1=1,x2=2,x3=3
8、用直接三角分解(Doolittle分解)求线性方程组的解
111
xxx
123
456
9
111
xxx
123
345
8
1
2
xx2x8
123
本题考查LU分解。
解:
111
456
A
111
345
1
2
12
100
L
1
3
10
1
2
11
111
456
U0
1113
6090
00
957
540
9、用追赶法解三对角方程组Axb,其中
210001
121000
A01210,b0。
001210
000120
解:
追赶法实际为LU分解的特殊形式。
设U为、单位上三角矩阵。
有
(1)计算
i的递推公式
1c1/b11/20.5
2c2/(b2a21)1/(2
(1)(0.5))2/3
3c3/(b3a32)1/(2
(1)(2/3))3/4
4c4/(b4a43)1/(2
(1)(3/4))4/5
(2)解Ly=f
y1f1/b11/2
y2(f2a2y1)/(b2a21)(0
(1)(1/2))/(2
(1)(0.5))1/3
y3(f3a3y2)/(b3a32)(0
(1)(1/3))/(2
(1)(2/3))1/4
y4(f4a4y3)/(b4a43)(0
(1)(1/4))/(2
(1)(3/4))1/5
y5(f5a5y4)/(b5a54)(0
(1)(1/5))/(2
(1)(4/5))1/6
(3)解UX=y
x5y51/6
x4y44x51/5(4/5)1/61/3
x3y33x41/4(3/4)1/31/2
x2y22x31/3(2/3)1/22/3
x1y11x22(1/2)2/35/6
10、用改进的平方根法解方程组
211
x
1
4
123
x
2
5
。
131
x
3
6
本题明确要求使用平方根法进行求解。
实际考查的LDU分解。
见P157
10723
x1,x,x。
23
999
11、下列矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么
分解是否唯一。
123111126
A241,B221,C2515。
46733161546
LU分解存在的条件
一个可逆矩阵可以进行LU分解当且仅当它的所有子式都非零。
如果要求其中的L矩阵(或
U矩阵)为单位三角矩阵,那么分解是唯一的。
同理可知,矩阵的LDU可分解条件也相同,
并且总是唯一的。
即使矩阵不可逆,LU仍然可能存在。
实际上,如果一个秩为k的矩阵的前k个顺序主子式
不为零,那么它就可以进行LU分解,但反之则不然。
解:
因为A的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,-10,所以A不能直接分解为三
角阵的乘积,但换行后可以。
因为B的一、二、三阶顺序主子式分别为1,0,0,所以B不能分解为三角阵的
乘积。
因为C的一、二、三阶顺序主子式分别为1,5,1,所以C能够分解为三角阵的
乘积,并且分解是唯一的。
12、设
0.60.5
A,
0.10.3
计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。
本题考查的是矩阵范数的定义及求法
行范数0.6+0.5=1.1
列范数0.5+0.3=0.8
2-范数的计算需要用到特征值,特征值的计算可以使用幂法进行计算,也可以直接求。
T
AA的最大特征值为0.3690
所以2-范数为0.6074
F-范数0.8426
13、求证:
(a)xxnx
1;
(b)
1
n
A
FAA
2
F
。
根据定义求证。
n
xmaxxxxnmaxxinx。
ii
1
1in1in
i1
n
11
22
Aa
ij
F
nn
i,j1
2
T
A2(AA)
max
14、设
nn
PR且非奇异,又设x为
n
R上一向量范数,定义xpPx。
试证明xp是
n
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
显然xpPx0,cxpPcxcPxcxp、
x1x2(12)121212,从而
pPxxPxPxPxPxxx
pp
x是
p
n
R
上向量的一种范数。
15、设
nn
AR为对称正定,定义
1
x
2
(Ax,x)
A,
试证明
x是
A
n
R上向量的一种范数。
根据向量范数的定义来证明:
要求就有正定性,齐次性,三角不等式等性质。
1
显然
T
x(Ax,x)2xAx0
A
,
11
2T
cx(Acx,cx)2c(xAx)c(Ax,x)2cx
AA
1
T
xx(A(xx),(xx))(xx)A(xx)
2
1212121212
A
TT
xAxxAxxx
112212
AA
16、设A为非奇异矩阵,求证
1
min
10
A
y
Ay
y
。
因为
A
1
max
x0
A
1
x
x
max
x0
A
AA
1
x
1
x
y
y
1
max
1,
AyAy
Ax0
min
y0
y
所以得证
1
min
10
Ay
Ay
y
17、矩阵第一行乘以一数,成为
2
A,证明当
11
2
3
时,cond(A)有最小值。
本题考查条件数的计算
1
cond(A)AA
首先计算A的逆阵
1
1
1
A
1
2
A
2|3|2
|3||3|2
,当
2
3,取得最小值为2
A
11
||
2
,当
||
取值越大,则最小值为2
从而
11
cond(A)AA
(2)max3,2,
又当
2
3
时,
13
cond(A)
(2)max3,2
(2)27。
2
当
2
3
时,
11
cond(A)
(2)max3,2
(2)3367。
综上所述,cond(A)7时最小,这时
2
3
,即
2
3
。
18、设
10099
A,计算A的条件数cond(A)v(v2,)
9998
由
10099
A可知,
9998
9899
1
A,从而
99100
(A
989998991940519602
1TA,
1
)()
99100991001960219801
1940519602
1TA2,
1
由3920610
I(A)()
1960219801
10099100991980119602
T,AA
999899981960219405
1980119602
T2,
由3920610
IAA
1960219405
1
可得2A19603384277608
A,从而
2
1
cond(A)2AA1960338427760839206。
2
2
11A
A199,A199,从而cond(A)A19919939601。
19、证明:
如果A是正交矩阵,则
cond(A)1
2
若A是正交阵,则
A
1T,从而ATAI,AAAAI
1)T11
A(,故
11
A2A,()1
1condA2AA。
2
22
20、设A,BRnn,且为Rnn上矩阵的算子范数,证明:
cond(AB)cond(A)cond(B)
11111
cond(AB)(AB)ABBAABBAAB
11
(AA)(BB)cond(A)cond(B)
21、设Axb,其中A为非奇异矩阵,证明:
(1)
T
AA为对称正定矩阵;
(2)
T
cond(AA)(cond(A))
2
2
TT2
x(AA)x(Ax)Axb0,所以
T
AA为对称正定矩阵。
2
(cond(A))
2
T
max(AA)
T
min(AA)
由于
T
AA为对称正定矩阵,所以
TT
AAAA
TTT1
cond(AA)AA(AA)
2
22
TTT
max((AA)(AA))
TTT
min((AA)(AA))
TTT
max((AA)(AA))
TTT
min((AA)(AA))
则
TT
max(AAAA)
TT
min(AAAA)
T2
max(AA)
T2
min(AA)
T
max(AA)
T
min(AA)
(cond(A))
2
2
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