二次函数寒假作业.docx
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二次函数寒假作业.docx
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二次函数寒假作业
寒假作业
一、单选题(共7小题)
1.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出四个结论:
①c>0;②若B(﹣
,y1),C(﹣
,y2)为图象上的两点,则y1<y2;③2a﹣b=0;④
<0,其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点B坐标为(﹣1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a﹣2b+c<0;③b2﹣4ac>0;④当y<0时,x<﹣1或x>2.其中正确的有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致如图所示,下列说法:
①2a+b=0;
②当﹣1<x<3时,y<0;
③若(x1,y1)(x2,y2)在函数图象上,当x1<x2时,y1<y2;
④9a+3b+c=0,
其中正确的是( )
A.①②④B.①④C.①②③D.③④
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下面结论成立的是( )
A.abc>0,b2﹣4ac>0B.abc<0,b2﹣4ac<0
C.abc>0,2a+b<0D.abc<0,2a+b>0
5.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣
,0),对称轴为直线x=1,下列5个结论:
①abc<0;②a﹣2b+4c=0;③2a+b>0;④2c﹣3b<0;⑤a+b≤m(am+b).其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:
(1)b<2a;
(2)a+c﹣b>0;(3)b>c>a;(4)b2+2ac<3ab.其中正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,分析下列四个结论,其中正确结论的个数有( )
①abc<0;②3a+c>0;③(a+c)2<b2;④4ac﹣8a<b2
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(共8小题)
8.关于x的方程3k﹣5x=9的解是非负数,则k的取值范围是 .
9.已知关于x的不等式3x+mx>﹣5的解集如图所示,则m的值为 .
10.若不等式(m﹣6)x>m﹣6,两边同除以(m﹣6),得x<1,则m的取值范围为 .
11.已知关于x的不等式(3a﹣2)x+2<3的解集是x<2,则a= .
12.对于任意的﹣1≤x≤1,x﹣a﹣5>0恒成立,则a的取值范围是 .
13.若不等式(a+4)x<5的解集是x>﹣1,则a的值为 .
14.不等式组
的解集是3<x<a+2,则a的取值范围是 .
15.不等式(﹣2m+1)x>﹣2m+1的解集为x<1,则m的取值范围是 .
三、解答题(共40小题)
16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象与x轴,y轴的交点分别为点A,点B,与反比例函数y=
(k≠0)的图象交于C,D两点,CE⊥x轴于点E,连接DE,AC=3
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△CDE的面积.
17.如图,一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=
的图象交于A、B两点.点A的横坐标为2,点B的纵坐标为1.
(1)求a,b的值.
(2)在反比例y2=
第三象限的图象上找一点P,使点P到直线AB的距离最短,求点P的坐标.
18.如图,A、B两点的坐标分别为(﹣2,0),(0,3),将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC,过点C作CD⊥OB,垂足为D,反比例函数y=
的图象经过点C.
(1)直接写出点C的坐标,并求反比例函数的解析式;
(2)点P在反比例函数y=
的图象上,当△PCD的面积为3时,求点P的坐标.
19.已知:
如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,与x轴负半轴交于点D,OB=
,tan∠DOB=
.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当S△ACO=
S△OCD时,求点C的坐标.
20.如图,已知反比例函数y=
的图象与直线y=ax+b相交于点A(﹣2,3),B(1,m).
(1)求出直线y=ax+b的表达式;
(2)在x轴上有一点P使得△PAB的面积为18,求出点P的坐标.
21.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=
的图象相交于A(1,2),B(n,﹣1)两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线AB交x轴于点C,点P是x轴上的点,若△ACP的面积是4,求点P的坐标.
22.如图,已知点A(﹣2,﹣2)在双曲线y=
上,过点A的直线与双曲线的另一支交于点B(1,a).
(1)求直线AB的解析式;
(2)过点B作BC⊥x轴于点C,连结AC,过点C作CD⊥AB于点D.求线段CD的长.
23.如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=
的图象相交,其中一个交点的横坐标是2.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将一次函数y=x+1的图象向下平移2个单位,求平移后的图象与反比例函数y=
图象的交点坐标;
(3)直接写出一个一次函数,使其过点(0,5),且与反比例函数y=
的图象没有公共点.
24.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=﹣
的图象相交于点A(﹣1,m)、B(n,﹣1)两点.
(1)求一次函数表达式;
(2)求△AOB的面积.
25.如图,直线y=3x﹣5与反比例函数y=
的图象相交于A(2,m),B(n,﹣6)两点,连接OA,OB.
(1)求k和n的值;
(2)求△AOB的面积.
26.小红经营的网店以销售文具为主,其中一款笔记本进价为每本10元,该网店在试销售期间发现,每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,三对对应值如下表:
销售单价x(元)
12
14
16
每周的销售量y(本)
500
400
300
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)通过与其他网店对比,小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15,且x为整数),设每周销售该款笔记本所获利润为w元,当销售单价定为多少元时每周所获利润最大,最大利润是多少元?
27.某超市经销一种商品,每千克成本为50元,经试销发现,该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,其每天销售单价,销售量的四组对应值如下表所示:
销售单价x(元/千克)
55
60
65
70
销售量y(千克)
70
60
50
40
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式;
(2)为保证某天获得600元的销售利润,则该天的销售单价应定为多少?
(3)当销售单价定为多少时,才能使当天的销售利润最大?
最大利润是多少?
28.网络销售已经成为一种热门的销售方式,为了减少农产品的库存,我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗,为提高大家购买的积极性,直播时,板栗公司每天拿出2000元现金,作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足关系式:
y=﹣100x+5000.经销售发现,销售单价不低于成本价且不高于30元/kg.当每日销售量不低于4000kg时,每千克成本将降低1元,设板栗公司销售该板栗的日获利为w(元).
(1)请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,销售这种板栗日获利最大?
最大利润为多少元?
(3)当w≥40000元时,网络平台将向板栗公司收取a元/kg(a<4)的相关费用,若此时日获利的最大值为42100元,求a的值.
29.超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?
30.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每涨价1元,则月销售量就减少10千克.
(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?
(2)当月利润为8750元时,每千克水果售价为多少元?
(3)当每千克水果售价为多少元时,获得的月利润最大?
31.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A(﹣1,0)和B(2,3)两点,抛物线与y轴交于点C.
(1)求一次函数和二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.
32.如图,直线y=﹣2x+10分别与x轴,y轴交于A,B两点,点C为OB的中点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D是直线AB下方的抛物线上的一点,且△ABD的面积为
,求点D的坐标;
(3)点P为抛物线上一点,若△APB是以AB为直角边的直角三角形,求点P到抛物线的对称轴的距离.
33.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣2交x轴于A,B两点,交y轴于点C,且OA=2OC=8OB.点P是第三象限内抛物线上的一动点.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)若PC∥AB,求点P的坐标;
(3)连接AC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标.
34.如图①,一个横截面为抛物线形的隧道,其底部的宽AB为8m,拱高为4m,该隧道为双向车道,且两车道之间有0.4m的隔离带,一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道,需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙,按如图②所建立平面直角坐标系.
(1)求该抛物线对应的函数关系式;
(2)通过计算说明该货车能安全通过的最大高度.
35.河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥,水面宽为6米时,水面离桥孔顶部3米.把桥孔看成一个二次函数的图象,以桥孔的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)请求出这个二次函数的表达式;
(2)因降暴雨水位上升1米,此时水面宽为多少?
36.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),D为抛物线的顶点.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)求△CDB的面积.
(3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P,使△PDC是等腰三角形?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
37.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,点C是AB的中点,以OC为半径作⊙O.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)若OC=2,求OA的长.
38.如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥DC,连接AC,BC.
(1)求证:
AC是∠DAB的角平分线;
(2)若AD=2,AB=3,求AC的长.
39.如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O经过Rt△ACD的直角边DC上的点F,交AC边于点E,点F是弧EB的中点,∠C=90°,连接AF.
(1)求证:
直线CD是⊙O切线.
(2)若BD=2,OB=4,求tan∠AFC的值.
40.如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的⊙O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB.
(1)求证:
AE是⊙O的切线;
(2)连接DE,若∠A=30°,求
.
41.如图,AB是⊙O的直径,点D在直径AB上(D与A,B不重合),CD⊥AB,且CD=AB,连接CB,与⊙O交于点F,在CD上取一点E,使EF=EC.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若D是OA的中点,AB=4,求CF的长.
42.如图,AB为⊙O的直径,射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧
的中点,过点C作CE⊥AD,垂足为E,连接AC.
(1)求证:
CE是⊙O的切线;
(2)若∠BAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.
43.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径.直线l与⊙O相切于点A,在l上取一点D使得DA=DC,线段DC,AB的延长线交于点E.
(1)求证:
直线DC是⊙O的切线;
(2)若BC=2,∠CAB=30°,求图中阴影部分的面积(结果保留π).
44.如图,AB为⊙O的直径,C、D是半圆AB的三等分点,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E.
(1)求证:
CE是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
45.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF.
(1)求证:
∠BAC=2∠CAD;
(2)若AF=10,BC=4
,求tan∠BAD的值.
46.从一副扑克牌中取出红桃J,Q,K和黑桃J,Q,K这两种花色的六张扑克牌.
(1)将这六张牌背面朝上,洗匀,随机抽取一张,求这张牌是红桃K的概率;
(2)将这三张红桃分为一组,三张黑桃分为一组,分别将这两组牌背面朝上洗匀,然后从这两组牌中各随机抽取一张,请利用列表或画树状图的方法,求其中一张是J一张Q的概率.
47.某学校组织了以“纪念革命先烈,激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动,参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个,地点如下:
A:
陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆;
B:
陇南市两当兵变纪念馆;
C:
甘南州迭部县腊子口战役纪念馆;
D:
张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆.
小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动目的地,请你用树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率.
48.某校组织开展运动会,小明和扎西两名同学准备从100米短跑(记为项目A),800米中长跑(记为项目B),跳远(记为项目C),跳高(记为项目D),即从A,B,C,D四个项目中,分别选择一个项目参加比赛.请用画树状图或列表法求两名同学选到相同项目的概率.
49.A,B两个不透明的盒子里分别装有三张卡片,其中A盒里三张卡片上分别标有数字1,2,3,B盒里三张卡片上分别标有数字4,5,6,这些卡片除数字外其余都相同,将卡片充分摇匀.
(1)从A盒里抽取一张卡、抽到的卡片上标有数字为奇数的概率是 ;
(2)从A盒,B盒里各随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求抽到的两张卡片上标有的数字之和大于7的概率.
50.有四张正面分别标有数字1,2,3,4的不透明卡片,它们除数字外无其他差别,现将它们背面朝上洗匀.
(1)随机抽取一张卡片,卡片上的数字是奇数的概率为 .
(2)随机抽取一张卡片,然后放回洗匀,再随机抽取一张卡片,请用列表或画树状图的方法,求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率.
51.某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组,要求每名同学必须参加,并且只能选择其中一个小组.为了解学生对四个课外活动小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图.
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次被调查的学生有 人;
(2)请补全条形统计图,并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数;
(3)通过了解,喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖,现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛,请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.
52.某校为了了解初中学生每天的睡眠时间(单位为小时),随机调查了该校的部分初中学生,根据调查结果,绘制出如图统计图.
请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的初中学生人数为 人,扇形统计图中的m= ,条形统计图中的n= ;
(2)所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是 ,方差是 ;
(3)该校共有1600名初中学生,根据样本数据,估计该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的人数.
53.中华文化源远流长,文学方面,《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查,根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图.
请根据以上信息,解决下列问题:
(1)本次调查所得数据的众数是 部,中位数是 部;
(2)扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为 度;
(3)请将条形统计图补充完整;
(4)没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读,请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率.
54.从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩(满分为120分),制成如图的统计直方图,已知成绩在80~90分(含80分,不含90分)的学生为抽查人数的15%,且规定成绩大于或等于100分为优秀.
(1)求被抽查学生人数及成绩在100~110分的学生人数m;
(2)在被抽查的学生中任意抽取1名学生,则这名学生成绩为优秀的概率;
(3)若该校初三年级共有300名学生,请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数.
55.我市将面向全市中小学开展“经典诵读”比赛.某中学要从2名男生2名女生共4名学生中选派2名学生参赛.
(1)请列举所有可能出现的选派结果;
(2)求选派的2名学生中,恰好为1名男生1名女生的概率.
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