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知识讲解二项式定理提高
二项式定理
【学习目标】
1.理解并掌握二项式定理,了解用计数原理证明二项式定理的方法.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
【要点梳理】
要点一:
二项式定理
1.定义
一般地,对于任意正整数n,都有:
n0n1n1rnrrnn*
(ab)CnaCnabCnabCnb(nN),
这个公式所表示的定理叫做二项式定理,等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。
式中的Cnranrbr做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项为展开式的第r+1项:
Tr1Cnranrbr,
其中的系数Cnr(r=0,1,2,⋯,n)叫做二项式系数,
2.二项式(a+b)n的展开式的特点:
(1)项数:
共有n+1项,比二项式的次数大1;
(2)二项式系数:
第r+1项的二项式系数为Crn,最大二项式系数项居中;
(3)次数:
各项的次数都等于二项式的幂指数n.字母a降幂排列,次数由n到0;字母b升幂排列,
次数从0到n,每一项中,a,b次数和均为n;
3.两个常用的二项展开式:
1(ab)nCn0anCn1an1b
(1)rCnranrbr
(1)nCnnbn(nN*)
2(1x)n1C1nxCn2x2Cnrxrxn
要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项:
Tr1Cnran-rbr(r0,1,2,,n)
公式特点:
①它表示二项展开式的第r+1项,该项的二项式系数是Cnr;
②字母b的次数和组合数的上标相同;
3a与b的次数之和为n。
要点诠释:
(1)二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项Cnranrbr和(b+a)n的二项展开式的第r+1项Cnrbnrar是有区别的,应用二项式定理时,其中的a和b是不能随便交换位置的.
(2)通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的,如(a-b)n的二项展开式的通项是Tr1
(1)rCnranrbr(只需把-b看成b代入二项式定理)。
要点三:
二项式系数及其性质
1.杨辉三角和二项展开式的推导。
在我国南宋,数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表,可直观地看出二项式系数。
(ab)n展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,⋯时,如下表所示
(ab)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11
2
(ab)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯121
3
(ab)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1331
4
(ab)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14641
5
(ab)5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15101051
(ab)6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1615201561
上表叫做二项式系数的表,也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。
表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。
用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中anrbr的系数Cnr的意义:
为了得到(a+b)n展开式中anrbr的系数,可以考虑在(ab)(ab)(ab)这n个括号中取r个b,则这种取法种数为Cnr,即为anrbr的系数.
2.(ab)n的展开式中各项的二项式系数Cn0、C1n、Cn2⋯Cnn具有如下性质:
①对称性:
二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即CrnCnnr;
②增减性与最大值:
二项式系数在前半部分逐渐增大,在后半部分逐渐减小,在中间取得最大值.其中,n
当n为偶数时,二项展开式中间一项的二项式系数Cn2最大;当n为奇数时,二项展开式中间两项的二项
n1n1
式系数Cn2,Cn2相等,且最大.
③各二项式系数之和为2n,即Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4Cnn2n;
4二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,
即Cn0Cn2Cn4
Cn1Cn3Cn5
2n
要点诠释:
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中,第r+1项Cnranrbr的二项式系数是组合数Crn,展开式的系数是单项式Cnranrbr的系数,二者不一定相等。
如(a-b)n的二项展开式的通项是Tr1
(1)rCnranrbr,在这里对应项的二项式系数都是Cnr,但项的
rr
系数是
(1)rCnr,可以看出,二项式系数与项的系数是不同的概念.
3.(abc)n展开式中apbqcr的系数求法(p,q,r0的整数且pqrn)
(ab
c)n[(ab)c]nCnr(ab)nrcrCnrCnqranrqbqcr
如:
(a
10!
bc)10展开式中含a3b2c5的系数为C130C72C55
10753!
2!
5!
要点诠释:
三项或三项以上的展开式问题,把某两项结合为一项,利用二项式定理解决。
要点四:
二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项(或其系数).
2.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立。
利用赋值法(即通过对a、b取不同的特殊值)可解决与二项式系数有关的问题,注意取值要有利
于问题的解决,可以取一个值或几个值,也可以取几组值,解决问题时要避免漏项等情况。
设f(x)(axb)n
a0
a1x
2
a2x
anxn
(1)令x=0,则a0
f(0)
bn
(2)令x=1,则a0
a1a2
an
f
(1)(a
b)n
(3)令x=-1,则a0
a1
a2a
3
(1)nan
f
(1)(ab)
(4)a0a2a4f
(1)2f(-1)
(5)a1a3a5f
(1)-2f(-1)
3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法:
如:
求证:
32n28n9能被64整除(nN*)
4.证明有关的不等式问题:
(缩小),
)的形式。
有些不等式,可应用二项式定理,结合放缩法证明,即把二项展开式中的某些正项适当删去或把某些负项删去(放大),使等式转化为不等式,然后再根据不等式的传递性进行证明。
①
(1x)n1nx;②(1x)n1nxn(n1)x2;(x0)
2
1
如:
求证:
2
(1)n
n
5.进行近似计算:
求数的n次幂的近似值时,把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数
当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
①(1x)n1nx;②(1x)n1nxn(n1)x2;2
如:
求1.056的近似值,使结果精确到0.01;
【典型例题】
类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数
5
例1.求2x32的二项式的展开式.
2x2
思路点拨】按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项,但要注意符号.解析】
1)解法
2x
3
2x2
0
C50(2x)523x2C51(2x)4
3
2x2
C52(2x)3
3
2x2
C53(2x)2
2x2
C54(2x)
2x2
C55
3
2x2
32x5
120x2
180
135
4
x
405
8x7
243
32x10
解法二:
2x
3
2x2
3)5
32x10
(4x3
1
10
32x10
11512
10(1024x153840x1232x
[C50(4x3)5
134
C51(4x3)4(3)
2332332343455
C5(4x)(3)C5(4x)(3)C5(4x)(3)C5(3)]
963
5760x94320x61620x3243)
405243。
8x732x10。
32x5120x2180135
4xx
【总结升华】记准、记熟二项式(a+b)n的展开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条件,对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简捷.
变式】求
2x
6
的二项式的展开式.
举一反三:
答案】先将原式化简。
再展开.
2x1
13(2x1)
x
13[C60(2x)6C61(2x)5C62(2x)4x
334256
C63(2x)3C64(2x)2C65(2x)C66]
11
(64x6
54
192x5240x4
160x3
2
60x212x1)
例2.试求:
2
(1)(x3-22)5的展开式中x5的系数;
x2
1
(2)(2x2-1)6的展开式中的常数项;
x
【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n,然后再求展开式中含x的项.因为题中条件和求解部
分都涉及指定项问题,故选用通项公式.
【解析】
(1)Tr+1=C5r(x3)5r(22)r
(2)rC5rx155r
x
依题意15-5r=5,解得r=2故(-2)2C5r=40为所求x5的系数
2)Tr+1=C6r(2x2)6-r
(1)r=(-1)r·26-r·C6rx123r
x
依题意12-3r=0,解得r=4
故
(1)4·22C62=60为所求的常数项.
总结升华】
1.利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项,所求的是第几项,相应的r是多少;
2.注意系数与二项式系数的区别;
3.在求解过程中要注意幂的运算公式的准确应用。
举一反三:
【变式1】求(x21)9的展开式中x3的二项式系数及x3的系数.
x
【答案】126,126;
r29r1rrr183r
通项Tr1C9(x)()
(1)C9x,
x
∵183r3,∴r5,
故展开式中x3的二项式系数为C95C94126,
55
x3的系数为
(1)5C95126.
变式2】求(3x
1)15的展开式中的第
4项.
答案】
5
455x2;
T4C135(3x)153(
(1)3C135x
15
6
5
455x2。
变式3】
(1)求
(3x
9的展开式常数项;
x
2)求(x3
9的展开式的中间两项
答案】∵Tr1C9r(3x)9r(3x)rC9r32r9
3
r
2,
3
∴
(1)当932r0,r6时展开式是常数项,即常数项为
T7C96332268;
2)(3x
9的展开式共10项,它的中间两项分别是第5项、第6项,
C94
89912
389x912
425
423,T6C953
x
109x92
x2
378x3
例3.求二项式
1
2x
10
的展开式中的有理项.
思路点拨】
展开式中第r+1项为C1r0(x2)10r
1
2x
r
,展开式中的有理项,就是通项中
x的指数为
正整数的项.
20
x
解析】设二项式的通项为Tr1C1r0(x2)10r12x
令205rZ,即r=0,2,4,6,8时,205rZ。
22
C100
x20
20
x,
C120
x15
4515
x,
4
C140
10
x
10510
x,
8
T7
C160
1055
x,
32
8
T9C180x0145
9102256
∴二项式
10
1
1的展开式中的常数项是第
2x
9项:
45;有理项是第
256
1项:
x20,第3项:
4515
x
4
第5项:
105x10,第7项:
105x5,第9项:
45
832256
总结升华】
求有理项是对x的指数是整数情况的讨论,要考虑到一些指数或组合数的序号的要求.
举一反三:
变式】如果在
24x
的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项。
答案】
(1)展开式中前三项的系数分别为1,n,n(n1)
28
思路点拨】
将(1x)2变形为12xx2,要使两个因式的乘积中出现
x3,根据式子的结构可以分
由题意得:
2×n=1+n(n1)得n=8。
2
8
1163r
设第r+1项为有理项,
Tr1c8
21rx4,则r是4的倍数,所以r=0,4,8。
有理项为T1x4,T5
35x,T9
1
2。
89
256x2
类型二、二项式之积及三项式展开问题
例4.求(1x)2(1x)5的展开式中x3的系数.
类讨论:
当前一个因式为1时,后面的应该为x3;当前一个因式为x时,后面的应该为x2;当前一个因
式为x2时,后面的应该为x;也可以利用通项公式Tr1Cnranrbr化简解答。
【解析】
解法一:
(1x)2(1x)5(12xx2)(1x)5,
(1x)5的通项公式Tk1
C5k(x)k
(1)kC5kxk(k
0,1,2,3,4,5
),
分三类讨论:
1)
当前一个因式为
1时,后面的应该为
x3,即T4
(1)3C52x3
10x3;
2)
当前一个因式为
2x时,后面的应该为
2
x2,即T3
(1)2C52x2
10x2;
3)
当前一个因式为
2
x2时,后面的应该为
x,即T2
(1)1C51x1
5x;
故展开式中x3的系数为
10
210
5。
解法二:
(1x)2的通项公式
Tr1
C2r
xr(r
0,1,2),
(1x)5的通项公式
C5k
(x)k
(1)kC5kxk,(k0,1,2,3,4,5
),
k
令kr3,则k
r
1或
2
3,
0
从而x3的系数为
C51
C21C52C53
5。
举一反三:
变式1】求(1
x2)(1
x)5的展开式中x3的系数.
答案】15;
(1x)5的通项公式Tk1
C5k(x)k
(1)kC5kxk(k
0,1,2,3,4,5
),
分二类讨论:
1)当前一个因式为1
时,后面的应该为x3,即T4
(1)3C52x3
10x3;
2)当前一个因式为x2时,后面的应该为x,即T2
111
(1)1C51x1
5x;
故展开式中x3的系数为15。
【变式2】在(1+x)5(1-x)4的展开式中,x3的系数为.
【答案】(1+x)5(1-x)4=(1+x)(1-x2)4,其中(1-x2)4展开的通项为C4r·(-x2)r,故展开式中x3的系数为C41=-4.
例5.求(1+x+x2)8展开式中x5的系数.
思路点拨】要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,
然后再用一次二项式定理,,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开解析】
解法
(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8,所以Tr1
x2)r,则x5的系数由(x+x2)r来决定,
T'
krk2kkrkrCrkxrkx2kCrkxrk,令r+k=5,解得
5或
r
4或
r
3
rrk
0
k
1
k
2
C8(x
k
1
含x5的系数为C85C50C84C41C83C32504。
解法二:
(1xx2)8[(1x)x2]8C80(1x)8C81(1x)7x2
C82(1x)6(x2)2C83(1x)5(x2)3C87(1x)(x2)7C88(x2)8,
则展开式中含x5的系数为C80C85C81C73C82C61504。
解法三:
(1+x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)⋯(1+x+x2)(共8个),这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三:
(1)有2个括号各出1个x2,其余6个括号恰有1个括号出1个x,这种方式共有C82C16种;
(2)有1个括号出1个x2,其余7个括号中恰有3个括号各出1个x,共有C81C61种;
(3)没有1个括号出x2,恰有5个括号各给出1个x,共有C85种.所以x5的系数是
C81
C81C73C85
504.
总结升华】高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题,所用解法一般为二项式
定理展开,或将三项式转化为二项式.
举一反三:
变式1】
12的展开式中的常数项.
6
答案】∵
12
13∴所求展开式中的常数项是-C63=-20x6
变式2】在(1+x+px2)10的展开式中,试求使x4的系数为最小值时p的值.答案】由通项Tr1C1r0(xpx2)rC1r0xr(1px)r,
又(1+px)r的通项为Crm(px)m。
rmmrm
Tr1C10Crpx。
而m+r=4,且0≤m≤r≤10。
m0m1m2
,或,或
r4r3r2
∴x4的系数为
C140C40
C130C13pC120C22p2
45p2360p210
45(p28p)21045(p4)2510。
∴仅当类型三:
例6.
p=-4时,x4的系数为最小。
有关二项式系数的性质及计算的问题1)求(1+2x)7展开式中系数最大的项;2)求(1-2x)7展开式中系数最大的项。
利用展开式的通项,得到系数的表达式,
1)设第
思路点拨】解析】
进而求出其最大值。
r+1项系数最大,则有
C7r2r
C7r2r
C7r
C7r
12r
12r
7!
即r!
(7r)!
7!
r)!
r!
(7
16
2r
2r
7!
(r1)!
(7r1)!
7!
1)!
(7r
(r
2r
2r
1)!
r,
2
7r
r1
r
解得
3,即
13
3
41
3
513,
∴r=5。
∴系数最大的项为
T6
C75
55
25x5
672x5。
系数最大的项必为正项,即在第一、括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大的项必在中间或偏右,故只需要比较和T7两项系数大小即可,
2)展开式共有
8项,
三、五、七这四项中取得。
又因
(1-2x)7
T5
T5系数C74
(2)4
T7系数C76
(2)6
CC7173
1,
所以系数最大的项是第五项,
T5C74(2x)4560x4。
【总结升华】求展开式中系数最大的项,一般是解一个不等式组rr1TrTr1
举一反三:
12n
【变式】设(x)n展开式的第10项系数最大,求n.
55
【答案】展开式的通项为Tr1Crn(1x)nr
(2)rCrn
(1)nr
(2)rxnr
5555
r2r
∴其系数为Crn2n
n5n
∵第10项系数最大,
29
92
Cnn
5
29
C92
Cnn
5
28
82
Cnn
5,
10
102
Cnn
5
25
解得25n142
∴n=13或n=14
,又∵nN+
变式2】
已知
2a
n
的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式
系数最大的项。
答案】
因为Cn4
Cn6
5
2Cn5,所以
n!
n!
4!
(n
4)!
6!
(n6)!
2n!
。
5!
(n5)!
即n2-21n+98=0,解得n=14或7。
当n=14时,第8项的二项式系数最大,
T8
C174
(2a)7
3432a7。
当n=7时,
第4项与第
5项的二项式系数最大,
T4C73
4
12(2a)3
35a3,T5C741
2572
3
(2a)4
70a4。
类型四、利用赋值法进行求有关系数和。
例7.已知(1―2x)7=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,求:
(1)a1+a2+⋯+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=―1①,令x=―1,则a0―a1+a2―a3+a4―a5+a6―a7=37②,
4)|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|7a|。
1)
因为a0a0=C70
1(或令
x=9,得
a0=1),所以a1+a2+a3+⋯+a7=―2。
2)
由(①―②)
÷2得a1
a3a5
a7
137
2
1094。
3)
由(①+②)
÷2得a0
137
a2a4
a6
方法一:
因为
(1―2x)7展开式中,
1093。
2
a2,a4,
(4)
所以|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a7|=(a0+a2+a4+a6)―(a1+a3+a5+a7)=1093―(―1094)=2187。
方法二:
|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|7a|,即(1+2x)7展开式中各项的系数和,所以|a0|+|a1|+⋯+|7a|=37=2187。
a0,
a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,
【总结升华】求展开式的各项系数之和常用赋值法。
“赋值法”是解决二项式系数常用的方法,根据题目要
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- 知识 讲解 二项式 定理 提高