二项式定理公开课教案Word文档下载推荐.docx
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b)3(a
a4
4a3b6a2b2
4ab3
b4
b)5
b)5(a
a5
5a4b10a3b2
10a2b3
5ab4
b5
教师将以上各展开式的系数整理成如下模型
11
121
1331
14641
15101051
请你找出以上数据上下行之间的规律。
下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。
以(ab)5的展开式为例,说出各项字母排列的规律;
项数与乘方指数的关
系;
展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列,且两个
字母的和等于乘方指数;
②展开式的项数比乘方指数多1项;
③展开式中第二项的系数等
于乘方指数。
-1-
初步归纳出下式:
(ab)n
an
an1ban2b2
an3b3
bn
(※)
(设计意图:
以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”
,起到了“先行组织者”的
作用,虽然,教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生,但是,它毕竟不是最后
的结果,而是一种寻找系数规律的有效工具,便于学生将新的学习材料同自己原有的认知
结构联系起来,并纳入到原有认知结构中而出现意义。
这样的学习是有意义的而不是机械
的,是主动建构的而不是被动死记的心理过程。
)
练习:
展开(ab)7
教师作阶段性评价,告诉学生以上的系数表是我国宋代数学家杨辉的杰作,称为杨辉
三角形,这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400多年。
你们今天做了与杨辉同样的探索,以
鼓励学生探究的热情,并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。
第二步:
继续设疑
如何展开(ab)100以及(ab)n(n
N)呢?
让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的,激发学生继续学习新的更简捷
的方法的欲望。
继续新授
师:
为了寻找规律,我们将(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)中第一个括号中的字母分别记成a1,b1;
第二个括号中的字母分别记成a2,b2;
依次类推。
请再次用多项式乘法运算法则计算:
(ab)4(a1b1)(a2
a1a2a3a4
b2)(a3b3)(a4b4)
,,
a4
a1a2a3b4a1a2a4b3
a1a2b3b4a1a3b2b4
a1b2b3b4a2b1b3b4
b1b2b3b4
a1a3a4b2
a1a4b2b3
a3b1b2b4
2
3
a3b
4
1
a2a3b1b4
a2a4b1b3
a3a4b1b2,,,
a2b2
a4b1b2b3
ab3
b4
上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”,用以激活学生认知结构中已有
的知识与经验,便于学生进行类比学习,用已有的知识与经验同化当前学习的新知识,并
迁移到陌生的情境之中。
以a2b2项为例,有几种情况相乘均可得到
a2b2项?
这里的字母a,b各来自
哪个括号?
既然以上的字母
a,b分别来自4个不同的括号,a2b2
项的系数你能用组合数
来表示吗?
-2-
问题3:
你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?
(预期答案:
有4个括号,每个括号中有两个字母,一个是a、一个是b。
每个括
号只能取一个字母,任取两个a、两个b,然后相乘,问不同的取法有几种?
问题4:
请用类比的方法,求出二项展开式中的其它各项系数,并将式子:
(ab)4
(ab)(ab)(ab)(ab)
ab3
括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。
呈现二项式定理——板书课题:
(ab)n
Cn0an
Cn1an1bCn2an2b2
Cnranrbr
Cnnbn(nN)。
3、深化认识
请学生总结:
①二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么?
②二项式定理展开式的结构特征是什么?
哪一项最具有代表性?
由此,学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念,这是本课的重点。
教师用边讲边问的形式,通过让学生自己总结、发现规律,挖掘学习材
料潜在的意义,从而使学习成为有意义的学习。
4、巩固应用
【例1】展开①(1
1)4
②(2x
)6
x
【例2】①求
②求
(12x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
(x1)9的展开式中含x3项的系数。
变式:
在二项式定理中,令a1,bx,得到怎样的公式?
(1x)n1C1nxCn2x2CnrxrCnnxn
思考:
Cn0Cn1Cn2CnrCnn?
为什么?
-3-
Cn1
Cn2
Cnr
Cnn
?
【例3】解决起始问题:
1)n
Cn07n
Cn17n1
Cnn17Cnn,
前面是7的倍数,因此余数为
1,故应该为星期二。
说明:
解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。
四、课堂小结
①本节课我们主要学习了二项式的展开,有两种方法,一是杨辉三角形,二是二项
式定理,两种方法各有千秋。
②二项式定理的表达式以及展开式的通项,
③要正确区别“项的系数”和“二项式系数”,
④将二项式定理中的字母赋上适当的值,就可以求一些特殊的组合多项式的值。
二项式定理
的展开式:
由多项式乘法法则得(a+b)
(a+b)=(a+b)(a+b)=a+2ab+b
;
从上述过程中可以发现,(a+b)n是n个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,
每个(a+b)相乘时有两个选择,选
a或选b,而且每个(a+b)中的a或b选定后,
才能得到展开式的一项,由分步乘法计数原理,可以得到这样的项的项数,然
后合并同类项。
探索(a+b)4的展开式的形式。
a4-kbk,
4个括号中取a和取b的个数和为4,即每一项的形式是
(1)k=0时,a4-kbk=a4,四个括号中全都取
a,相当于取
0个b,有C40项
,即a的系数为得:
C4
(2)k=1时,四个括号中有
1个取b,剩下的
3个取a,得:
·
C3
(3)k=1时,四个括号中有
2个取b,剩下的
2个取a,得:
C2
(4)k=3时,四个括号中有
3个取b,剩下的
1个取a,得:
C
C
(5)k=4时,四个括号中全都取
b,得:
Cb
b+C4
b+C4
4b
(a+b)=C
a+Ca
ab+C
(a+b)n的展开式又是什么呢?
猜想:
(
)
n
0n
1n1
knkk
nn
*
CnaCnab
Cnab
Cnb
nN
ab
证明:
对(a+b)n分类,按b可以分n+1类,
⑴不取b:
Cn
a;
⑵取
n-1
b;
1个b:
Ca
⑶取
1n-22
2个b:
b;
,,,,,
k
n-k
取
个
(k+1)
b:
-4-
(n+1)取n个b:
然后将上述过程合起来,就得到二项展开式,
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+,+Cnkan-kbk+,
+Cnnbn(n∈N+)
这就是二项式定理。
它有n+1项,各项的系数
r(
r
0,1,
叫二项式系数,
nrr
叫二项展
Cna
开式的通项,用Tr1表示,即通项为展开式的第
k+1项:
Tr1
Cnranrbr.
二项式定理中,设a1,b
x,则(1
x)n
Cn1x
Cnrxr
xn
你怎么记忆这个公式?
①项数:
共n+1项,是关于a与b的n次齐次多项式;
②指数:
a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列;
b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列。
例1
求(2
1)6的展开式.
解:
(2
1)6
13(2x1)6
6
(2x)
5
1]
3[(2x)
C6
C6(2x)
64x
192x
240x
60
12
.
160
例2
(1)求(1
2x)7
的展开式的第
4项的系数;
(2)求(x
)9
的展开式中x
3的系数及二项式系数
(1+2x)
7的展开式的第四项是T31C73(2x)3
280x3,
∴(1+2x)7的展开式的第四项的系数是
280.
(2)∵(x
1)9的展开式的通项是Tr1
C9rx9r(
1)r
(1)rC9rx92r,∴
9-2r=3,r=3,
∴x3的系数
(1)3C93
84,x3的二项式系数C93
84.
-5-
例3.⑴求(x
a)12的展开式中的倒数第
项;
⑵求(x
3)9的展开式常数
⑴(x
a)12
的展开式中共13项,它的倒数第4项是第10项,
T91
C129x12
9a9
C123x3a9
220x3a9.
⑵∵Tr1
C9r(x)9r(
3)r
C9r32r9x
,
9
∴当9
3r0,r6时展开式是常数项,即常数项为T7
C9633
2268;
“杨辉三角”
(ab)1,,,,,,,,,,,,,
b)2,,,,,,,,,,,,
b)3,,,,,,,,,,,
b)4,,,,,,,,,,
b)5,,,,,,,,,
10
b)6,,,,,,,,
16
15
20
这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”。
“杨辉三角”的特征:
⑴表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。
当n不大时,可以根据这个表来求二项式系数。
⑵设表中不为1的数Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1,Cnr,所以
Crn+1=Cnn-1+Cnr。
⑶《详解九章算术》中的“杨辉三角”如右图。
二项式系数的性质
(ab)n展开式的二项式系数依次是C0n,C1n,C2n,,Cnn
-6-
从函数角度看,Crn可看成是以r为自变量的函数f(x),
其定义域
是0,1,2,,n,对于确定的n,还可以画出它的图象;
例如,当n=6
时,其图象是7个孤立的点(如图)
⑴对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵CnmCnnm).直
线r
n是图象的对称轴.
⑵增减性与最大值.∵Cnkn(n
1)(n
2)(nk
1)
Cnk1
1,
k!
∴Cnk相对于Cnk1的增减情况由n
1决定,n
k1
当kn1时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小
的,且在中间取得最大值;
n1
当n是偶数时,中间一项Cn2
取得最大值;
当n是奇数时,中间两项Cn
,Cn
取得最大值.
⑶各二项式系数和:
∵
(1x)n
1Cn1x
令
x1,
则
2n
C0
C1
Cr
Cn
-7-
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- 二项式 定理 公开 教案